1、- 1 -哈尔滨市第六中学 2018 届高考冲刺押题卷（二）文科数学一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的1. 集合 ， ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】分别根据完全平方式和绝对值为非负数，求出 及 两函数的值域，确定出两集合，找出两集合的公共部分即可得到两集合的交集.【详解】由集合 中的函数 ，集合 ；由集合 中的函数 中 ，得到 ，集合 ，则 ，故选 C.【点睛】集合分为有限集合和无限集合，若集合个数比较少时可以用列举法表示；若集合是无限集合就用描述法表示，并注意代表元素是什么集合的交、
2、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或 图进行处理2. 设有下面四个命题：若复数 满足 ，则 ； ：若复数 满足 ，则 ；：若复数 ， 满足 ，则 ； ：若复数 ，则 其中的真命题为 A. ， B. ， C. ， D. ，【答案】B【解析】- 2 -令 ，则由 得 ，所以 ，故 正确；当 时，因为 ，而 知，故 不正确；当 时，满足 ，但 ，故 不正确；对于 ，因为实数的共轭复数是它本身，也属于实数，故 正确，故选 B.点睛:分式形式的复数，分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简成 的形式进行判断，共轭复数只需实部不变，虚部变为原来的相反数即可.3. 已知 ，则 的值等于（ ）A.
3、 B. C. D. 【答案】D【解析】因为 ,所以 .，故选 A.4. 若 ，则下列不等式： ； ； ； 中正确的不等式有（ ）个.A. 个 B. 个 C. 个 D. 个【答案】C【解析】故错；故对；， ，当且仅当 时等号成立，而 ，故，故对；，故对；综上，正确的不等式有 3 个.本题选择 C 选项.- 3 -5. 已知双曲线 的离心率为 2，则椭圆 的离心率为( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】将双曲线的方程化为标准方程，求得离心率，化简可得 ，再将椭圆方程化为标准方程，代入离心率公式，从而可得结果.【详解】双曲线 即为 ，可得离心率化简可得 ，则椭圆 即为 ，可得离心率
4、为 ，故选 A.【点睛】本题主要考查双曲线与椭圆的方程及离心率，属于中档题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：直接求出 ，从而求出;构造 的齐次式，求出 ;采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解;根据圆锥曲线的统一定义求解6. 设 是半径为 1 的圆 上的三点，且 ，则 的最大值为A. B. C. D. 1【答案】C【解析】- 4 -以 OA,OB 所在直线分别为 轴， 轴，则 ,设 ，且 ，所以，由于 ，所以，当 时， 有最大值 ，选 A.7. 若函数 对任意的 都有 ，则 等于（ ）A. 3 B. 0 C. D. 【答案】C【解析】【分析】由题
5、意判断函数的对称轴为 ，说明 是函数的最值，从而可判断选项.【详解】由题意可知函数 对任意的 都有 ，函数关于 对称，可得 是函数的最值，故选 C.【点睛】本题考查函数的基本性质，函数的对称性的应用，意在考查灵活运用所学知识解决问题的能力，属于中档题.8. 已知实数 ，执行如图所示的程序框图，则输出的 不小于 的概率为 - 5 -A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由程序框图的流程，写出前三项循环得到的结果，得到输出的值与输入的值的关系，令输出值大于等于 得到输入值的范围，利用几何概型概率公式求出输出的 不小于 的概率.【详解】设实数 ，经过第一次循环得到 ；经过第二次循环得到
6、；经过第三次循环得到 ，此时输出 ，输出的值为 ，令 得 ，由几何概型概率得到输出的 不小于 的概率为 ，故选 B.【点睛】本题主要考查条件语句以及算法的应用，属于中档题 .算法是新课标高考的一大热- 6 -点，其中算法的交汇性问题已成为高考的一大亮，这类问题常常与函数、数列、不等式等交汇自然，很好地考查考生的信息处理能力及综合运用知识解决问題的能力，解决算法的交汇性问题的方：（1）读懂程序框图、明确交汇知识，(2）根据给出问题与程序框图处理问题即可.9. 某正四棱锥的正（主）视图和俯视图如图所示，该正四棱锥的侧棱长是 A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用三视图的数据，由正四
7、棱锥法性质，根据勾股定理可得结果.【详解】由三视图可知该正四棱锥，底面正方形对角线长是 ，可得底面边长为 2，高为 3，所以正四棱锥的侧棱长为 ，故选 B.【点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等” ，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.10. 已知抛物线 ，过焦点 作直线与抛物线交于点 ， ，设 ， ，则 的最小值为 A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】
8、- 7 -由抛物线 与过其焦点 的直线方程联立，消去 整理成关于 一元二次方程，设出两点坐标，再依据抛物线的定义，由韦达定理可以求得结论.【详解】由题意知，抛物线 的焦点坐标为 ，直线方程为 ，当斜率 存在时，设直线 的方程为 ，联立抛物线方程，可得 ，设出 ，则 ，依据抛物线定义得出 ，当斜率 不存在时， ，则 的最小值是 4，故选 D.【点睛】本题主要考查抛物线的定义以及直线与抛物线的位置关系，属于中档题.与焦点、准线有关的问题一般情况下都与拋物线的定义有关，解决这类问题一定要注意点到点的距离与点到直线的距离的转化：（1）将抛线上的点到准线距离转化为该点到焦点的距离；(2)将抛物线上的点到
9、焦点的距离转化为到准线的距离，使问题得到解决.11. 点 从点 出发，按逆时针方向沿周长为 的正方形运动一周，记 ， 两点连线的距离与点 走过的路程 为函数 ，则 的图像大致是（ ） A. B. C. D. - 8 -【答案】C【解析】如图，当 时， 为正比例函数，当 时， 不是正比例函数，且 图象关于 对称，只有 项符合要求12. 在 中， ，点 在边 上，且满足 ，若 ，则可等于（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】设 ，利用两角和差的正切公式计算 ，整理解得 ，即可计算解得的值.【详解】， ，设 ， 又 ，整理解得 ， （舍去） ，- 9 -或 ， ，故选 A.【点睛】
10、本题主要考查三角函数的定义，两角差的正切公式，意在考查对基础知识掌握的熟练程度，考查了数形结合思想和转化思想，属于难题.二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分将答案写在答题卡上相应的位置13. 已知实数 、 满足约束条件 ，若使得目标函数 取最大值时有唯一最优解 ，则实数 的取值范围是_（答案用区间表示）【答案】【解析】【分析】画出不等式组的可行域，将目标函数变形，数形结合判断出 最大时，从而可得 的取值范围.【详解】作出不等式组 表示的可行域，如图所示，令 ，则可得 ，当 最大时，直线的纵截距最大，画出直线 将 变化，结合图象得到当 时，直线经过 时纵截距最大，故答案为
11、 .【点睛】本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线） ；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解） ；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.14. 为了考查考生对于“数学知识形成过程”的掌握情况，某高校自主招生考试面试中的一- 10 -个问题是：写出对数的换底公式，并加以证明甲、乙、丙三名考生分别写出了不同的答案公布他们的答案后，三考生之间有如下对话，甲说：“我答错了” ；乙说：“我答对了” ；丙说：“乙答错了”
12、评委看了他们的答案，听了他们之间的对话后说：你们三人的答案中只有一人是正确的，你们三人的对话中只有一人说对了根据以上信息，面试问题答案正确的考生为_【答案】丙【解析】分析：利用反证法对每个人的说法进行分析、排除可得结论详解：当甲的答案正确时，则甲的说法错误，乙、丙的说法有一个正确，符合题意故甲的答案正确当乙的答案正确时，则乙的说法正确，甲、丙的说法不正确，与符合题意矛盾故乙的答案不正确当丙的答案正确时，则丙的说法正确，甲、乙的说法不正确，与符合题意矛盾故丙的答案不正确综上可得甲的答案正确点睛：本题考查演绎推理的应用，解答类似问题的常用方法是反证法，即假设每个说法都正确，通过推理看是否能得到矛盾
13、，经过逐步排除可得结果15. 过原点 作圆 的两条切线，设切点分别为 ，则线段 的长为_.【答案】4【解析】可得圆方程是 又由圆的切线性质及在三角形中运用正弦定理得视频16. 已知四面体 中, ,且 , , ,则该四面体的外接球的表面积为_.【答案】【解析】【分析】- 11 -根据已知，结合勾股定理，可得 ，由勾股定理可证明 ，取 的中点 ，则，即 为该四面体的外接球的球心，求出球半径所得，代入球的表面积公式，可得结论.【详解】，且 ，又 ，即 ，取 的中点 ，根据直角三角形的性质，可得 ，即 为该四面体的外接球的球心，则该四面体的外接球的半径 ，故该四面体的外接球的表面积 ，故答案为 .【点
14、睛】本题主要考查三棱锥外接球表面积的求法，属于难题.要求外接球的表面积和体积，关键是求出球的半径，求外接球半径的常见方法有：若三条棱两垂直则用（ 为三棱的长） ；若 面 （ ） ，则 （ 为外接圆半径） ；可以转化为长方体的外接球；特殊几何体可以直接找出球心和半径.三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤17. 已知数列 的前 项和为 , 满足 , 且 .(1) 令 , 证明: ； (2) 求 的通项公式.【答案】 （1）见解析（2）【解析】- 12 -【分析】（1）由 ，利用 可化为 ，从而可得结果；（2）根据“累加法”可得 ，可得 ，从而
15、，检验 时是否符合即可得结果.【详解】 （1）证明：S n=n2ann 2（n1） ，n2 时，S n=n2（S nS n1 ）n 2（n1） ，化为： Sn =n，b n= ，b nb n1 =n（n2） （2）解：b 1=2a1=1b n=n+（n1）+2+1= b n= = ，可得 Sn= a n=SnS n1 = = （n2） ，n=1 时也符合a n= 【点睛】本题主要考查数列的通项公式与前 项和公式之间的关系，属于中档题. 已知数列前项和与第 项关系，求数列通项公式，常用公式 ，将所给条件化为关于前项和的递推关系或是关于第 项的递推关系，若满足等比数列或等差数列定义，用等比数列或等
16、差数列通项公式求出数列的通项公式，否则适当变形构造等比或等数列求通项公式. 在利用 与通项 的关系求 的过程中，一定要注意 的情况.18. 一台机器使用的时间较长，但还可以使用，它按不同的转速生产出来的某机械零件有一些会有缺点，每小时生产有缺点零件的多少，随机器运转速度而变化，下表为抽样试验的结果：转速 x(转/秒) 16 14 12 8- 13 -每小时生产有缺点的零件数 y(件) 11 9 8 5（1）利用散点图或相关系数 r 的大小判断变量 y 对 x 是否线性相关？为什么？（2）如果 y 与 x 有线性相关关系，求回归直线方程；（3）若实际生产中，允许每小时的产品中有缺点的零件最多为
17、10 个，那么机器的运转速度应控制在什么范围内？（最后结果精确到 0.001参考数据： ， ）回归分析有关公式：r= ， ， 【答案】 （1）y 与 x 有线性性相关关系（2） （3）【解析】【分析】（1）利用所给的数据根据公式求出两个变量的相关系数，得到相关关系数趋势大于 ,得到两个变量具有线性相关关系；（2）先做出横坐标和纵坐标的平均数，求出利用小二乘法求线性回归方程的系数公式中所需的量，利用公式可得系数 的值，从而求出 ，进而可得线性回归方程；（3）根据上一问做出的线性回归方程，使得函数值小于或等于 ，解出不等式即可.【详解】 （1） ， ， ，y 与 x 有线性性相关关系（2）解： ，
18、回归直线方程为：- 14 -（3） ，解得【点睛】本题主要考查线性回归方程的求法与应用，属于中档题.求回归直线方程的步骤：依据样本数据确定两个变量具有线性相关关系；计算 的值；计算回归系数 ；写出回归直线方程为 ； 回归直线过样本点中心 是一条重要性质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势.19. 如图，已知 平面 ， 是矩形， ， ， 是 中点，点 在 边上（1）求三棱锥 的体积； （2）求证： ；（3）若 平面 ，试确定 点的位置【答案】 （1） （2）见解析（3）见解析【解析】【分析】（1）由三棱锥 的体积等于三棱锥 的体积，利用棱锥的体积公式可得结论；（2）先证
19、明 平面 ，可得 ，再由等腰三角形的性质可得从而利用线面垂直的判定定理可得 平面 即可；（3）利用 平面 ，可得 ，根据 是 中点，可得结论.【详解】 （1）解：三棱锥 EPAD 的体积等于三棱锥 PEAD 的体积PA平面 ABCD，ABCD 是矩形，PA=AB=1， ，V PEAD =三棱锥 EPAD 的体积为 ；（2）证明：PA平面 ABCD，EB平面 ABCD，EBPA- 15 -EBAB，PAAB=AEB平面 PABAF平面 PABAFEBPA=AB=1，F 是 PB 中点，AFPBEBPB=B，AF平面 PBCPE平面 PBCAFPE；（3）解：E 是 BC 中点EF平面 PAC，P
20、C平面 PAC，EFPCF 是 PB 中点，E 是 BC 中点【点睛】本题主要考查线面垂直的判定与性质，棱锥的体积公式，属于中档题. 解答空间几何体中垂直关系时，一般要根据已知条件把空间中的线线、线面、面面之间垂直关系进行转化，转化时要正确运用有关的定理，找出足够的条件进行推理；证明直线和平面垂直的常用方法有：（1）利用判定定理；（2）利用判定定理的推论 ；（3）利用面面平行的性质 ；（4）利用面面垂直的性质，当两个平面垂直时，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面.20. 已知动圆 过定点 ，且在 轴上截得的弦 长为 (1)求动圆圆心 的轨迹 的方程；(2)设点 是轨迹 上的两点, 且
21、 ，记 ，求 的最小值【答案】 （1） （2）【解析】试题分析: (1) 根据垂径定理得等量关系 ，再将等量关系用坐标表示，可得动圆圆心 的轨迹 的方程；（2）先用 ， 坐标化简条件，得 ，而 ，根据弦长公式及点到直线距离公式可得 .最后利用基本不等式求最值.- 16 -试题解析: (1)设 ， 的中点 ，连 ，则： ， ， .又 , ，整理得 .(2)设 ， ，不失一般性，令 ，则 ， , ,解得 直线 的方程为： ， ,即 ，令 得 ，即直线 恒过定点 ，当 时， 轴， ， 直线 也经过点 . .由可得 , .当且仅当 ，即 时， .- 17 -21. 已知（1）证明： ；（2）若 时，
22、恒成立，求实数 的取值范围.【答案】 （1）见解析（2）【解析】【分析】（1）令 ，利用单调性可证明函数 的最小值不小于零，从而可得结论；（2）令，函数 ，对 分三种情况讨论，分别利用导数研究函数的单调性，利用单调性可排除不合题意的 的取值范围，筛选出符合题意的的取值范围.【详解】 （1）令 ，令 ，可得函数 在 上单调递增，因此存在 ，使得 可得 ，函数 在 上单调递减，在 上单调递增，函数 在 处取得极小值即最小值，因此 ;（2）令函数 时， ，可得 ，函数 在 上单调递增，满足条件，- 18 -时， 在 上单调递增，时， 此时函数 在 上单调递增，满足条件，时，存在 ，使得因此函数 在
23、上单调递减，因此 不满足条件舍去,综上可得， 的取值范围是 .【点睛】本题是以导数的运用为背景的函数综合题，主要考查了函数思想，化归思想，抽象概括能力，综合分析问题和解决问题的能力，属于较难题，近来高考在逐年加大对导数问题的考查力度，不仅题型在变化，而且问题的难度、深度与广度也在不断加大，本部分的要求一定有三个层次：第一层次主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式甚至数列及函数单调性有机结合，设计综合题.22. 极坐标与参数方程在直角坐标系 xOy 中,以原点
24、 O 为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线 C1的极坐标方程为 2= ,直线 l 的极坐标方程为 = .(1)写出曲线 C1与直线 l 的直角坐标方程;(2)设 Q 为曲线 C1上一动点,求 Q 点到直线 l 距离的最小值.【答案】 （1） （2）【解析】试题分析：（I）借助题设条件运用极坐标与直角坐标之间的关系求解；（II）借助题设运用参数方程建立函数探求试题解析：- 19 -（I） ， 4 分（II）设 ，则点 到直线 的距离当且仅当 ，即 时， 点到直线 距离的最小值为 10 分考点：极坐标与参数方程等有关知识的综合运用23. 不等式选讲已知函数 ，且 的解集为 （1）求 的值；（2）若 都是正实数，且 ，求证： 【答案】 （I）m=1;（II）见解析.【解析】试题分析：（I）考查绝对值不等式的解法（II）采用配“1”法应用基本不等式证明或者采用柯西不等式证明.试题解析：（I）依题意 ,即 , （II）方法 1:当且仅当 ,即 时取等号 方法 2: 由柯西不等式得 整理得- 20 -当且仅当 ,即 时取等号.
