1、- 1 -哈师大青冈实验中学 2017-2018 学年度第二学期期中考试高二数学理试题一选择题：（本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的）1. 由直线 x ， x2，曲线 y 及 x 轴所围图形的面积为12 1xA B C ln 2 D2ln 2154 174 122. 命题“若 ，则 ”及它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中真命ab2c题有A.0 个 B. 2 个 C.3 个 D. 4 个 3. 为了调查老师对微课堂的了解程度，某市拟采用分层抽样的方法从 三所中学抽,ABC取 60 名教师进行调查，已知 三所学校分别有 180,270
2、,90 名教师，则从 学校中,ABC应抽取的人数为 A.10 B.12 C.18 D. 244. 如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）已知甲组数据的中位数为 15，乙组数据的平均数为 16.8，则 ， 的值分别为A.2,5 B.5,5 C.5,8 D.8,85. 通过随机询问 110 名性别不同的大学生是否爱好某项运动，由列联表及 公式算得：2K，参照附表得到的正确结论是 8.46k.841A. 在犯错的概率不超过 的前提下，认为“爱好该运动 与性别无关”0.1B. 在犯错的概率不超过 的前提下，认为“爱好该运动与性别有关”C. 在犯错的概率不超过
3、的前提下，认为“爱好该运动与性别有关”0D. 在犯错的概率不超过 的前提下，认为“爱好该运动与性别无关”16. 已知集合 ， ，若 成26AxR1BxRmxB立的一个充分不必要的条件是 ，则实数 的取值范围是xA- 2 -A. B. C. D. 2m2m22m7. 右边程序框图的算法思路源于数学名著几何原本中的“辗转相除法”若输 入的 ， 分别为 ， ，执行该程序框图（图中 “ ”表示 除以 的余数，例： ），则输出的 等于 A. B. C. D. 8. 如图所示的程序框图中，若输出的 是 ，则处应填SA. B. C. D. 5n6n7n8n9. 命题“ ， ”的否定是A. ， B. ，C.
4、， D. ，10.已知椭圆 过点 ，当 取得最小值时，椭圆的离心率为21(0)xyab32（ ， ） 2abA. B. C. D. 12 3311.用数学归纳法证明 的第二步从 到*11+,123nNnnk成立时，左边增加的项数是1nkA . B. C. D.2k 12k21k12.已知双曲线 :21(0,)xyab的右焦点为 (,0)F，设 A， B为双曲线 上关C C于原点对称的两点， AF的中点为 M， B的中点为 N，若原点 O在以线段 MN为直径的圆上，直线 B的斜率为 37，则双曲线 的离心率为CA. 4 B. 2 C. 5 D. 3二填空题：（本题共 4 小题，每小题 5 分，共
5、 20 分）13. 某校 1000 名高三学生参加了一次数学考试，这次考试考生的分数服从正态分布，若分数在 内的概率为 ，估计这次考试分数不超过 分的人数为 2(90,)N70,10.77014. 给出下列等式： 23；2141+23；23534； - 3 -由以上等式推出一个一般结论：对于 23141, +2()2 nnN15.已知命题 ，使 ；命题 的解集是 下列:pxRta1x2:30qx1x结论：命题“ ”是假命题； 命题“ ”是假命题； 命题“ ”是q（ ）ppq（ ）真命题； 命题“ ”是真命题其中正确的是 （填所有正确命题的（ ） （ ）pq序号）16.已知圆 ，圆 ，直线 分别
6、过圆心 ，且22:(1)Mxy22:(+1)Nxy12,l,MN与圆 相交于 , 与圆 相交于 , 是椭圆 上的任意一动点，则1lAB2lCDP34xy的最小值为 .PCD三解答题：（本题共 6 小题，共 70 分，解答题应写出文字说明证明过程或演算步骤）17.（本小题 10 分） 在长方体 中， ，过 、1ABCD2ABC1A、 三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体1B，且这个几何体的体积为 1ACD10（1）求棱 的长；（2）求点 到平面 的距离1ABC18. （本小题 12 分）设 f(x)2 x3 ax2 bx1 的导数为 f( x)，若函数 y f( x)的图象关于直
7、线 x 对称，且 f(1)0。12(1)求实数 a， b 的值；(2)求函数 f(x)的极值。19. （本小题 12 分）为了更好地规划进货的数量，保证蔬菜的新鲜程度，某蔬菜商店从某一年的销售数据中，随机抽取了 组数据作为研究对象，如表所示（ （吨）为买进蔬菜的数x量， （天）为销售y天数） ：2 3 4 5 6 7 9 121 2 3 3 4 5 6 8ABCD11- 4 -（1）根据上表数据在所给坐标系中绘制散点图，并用最小二乘法求出 关于 的线性回归yx方程 ；ybxa（2）根据（1）中的计算结果，该蔬菜商店准备一次性买进 25 吨，预计需要销售多少天？（参考数据和公式： ，888821
8、1114,32,4,364iii ixyxyx， ）1122()nniiiii iibxxaybx20.（本小题 12 分）从某市的中学生中随机调查了部分男生，获得了他们的身高数据，整理得到如下频率分布直方图（1）求 的值并估计该市中学生中的全体男生的平均身高a（假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替）；（2）从该市的中学生中随机抽取一名男生 ，根据直方图中的信息，估计其身高在 180 以上的概率若从全市中学的男cm生（ 人数众多）中随机抽取 3 人，用 表示身高在 180 以Xcm上的男生人数，求随机变量 的分布列和数学期望 E21.（本小题 12 分）已知椭圆2:1(02)xyCn（1
9、）若椭圆 的离心率为 ，求 的值；1n（2）若过点 任作一条直线 与椭圆 交于不同的两点 ，在-2,0Nl ,AB轴上是否存在点 ，使得 ?若存在，求出点xM180ANMB的坐标；若不存在，请说明理由22.（本小题12分）已知函数()ln1,.afxR- 5 -(1) 若 ()yfx在 01,)Py处的切线平行于直线 1yx，求函数 ()yfx的单调区间；(2) 若 0a，且对 (,2e时， ()0fx恒成立，求实数 a的取值范围.- 6 -哈师大青冈实验中学 2017-2018 年度高二下学期期中考试（答案） 数学试卷考试时间：120 分钟 满分：150 分一选择题：（ 本题共 12 小题，
10、每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的）1. 由直线 x ， x2，曲线 y 及 x 轴所围图形的面积为( D )12 1xA B C ln 2 D2ln 2154 174 122. 命题“若 ，则 ”及它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中真命ab2cb题有（ B ）A.0 个 B. 2 个 C.3 个 D. 4 个3. 为了调查老师对微课堂的了解程度，某市拟采用分层抽样的方法从 三所中学抽,ABC取 60 名教师进行调查，已知 三所学校分别有 180,270,90 名教师，则从 学校,ABC中应抽取的人数为 （ A ）A.10 B.12 C.18 D.
11、244. 如图所示中的茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）已知甲组数据的中位数为 15，乙组数据的平均数为 16.8，则 ， 的值分别为 （ C ）A.2,5 B.5,5 C.5,8 D.8,85.通过随机询问 110 名性别不同的大学生是否爱好某项运动，由列联表并由 公式算得：2K，8.46k参照附表得到的正确结论是 （ C ）A. 在犯错的概率不超过 的前提下，认为“爱好该运动与性别无关”B. 在犯错的概率不超过 的前提下，认为“爱好该运动与性别有关”- 7 -C. 在犯错的概率不超过 的前提下，认为“爱好该运动与性别有关”01D. 在犯错的概率不超过 的
12、前提下，认为“爱好该运动与性别无关”6. 已知集合 ， ，若26AxR1BxRm成立的一个充分不必要的条件是 ，则实数 的取值范围是（ xBAA ）A. B. C. D. 2m22m27. 右边程序框图的算法思路源于数学名著几何原本中的“辗转相除法”若输入的 ， 分别为 ， ，执行该程序框图（图中“ ”表示除以 的余数，例： ），则输出的 等于 （ C ）A. B. C. D. 8. 阅读如图所示的程序框图，若输出的 是 ，则处应填 （ B ）SA. B. C. D. 5n6n7n89. 命题“ ， ”的否定是 （ B ）A. ， B. ，C. ， D. ，10.已知椭圆 过点 ，当 取得最小
13、值时，椭圆的离心率为 21(0)xyab32（ ， ） 2ab（ D ）A. B. C. D. 12232311. 用数学归纳法证明 的第二步从 到*11+,13nNnnk成立时，左边增加的项数是（ A ）1nk- 8 -A . B. C. D.2k 21k 12k21k 来源:学_科_网12. 已知双曲线 :2(0,)xyab的右焦点为 (,0)F，设 A， B为双曲线 上C C关于原点对称的两点， AF的中点为 M， B的中点为 N，若原点 O在以线段 MN为直径的圆上，直线 B的斜率为 37，则双曲线 的离心率为（ B ）CA. 4 B. 2 C. 5 D. 3二填空题：（本题共 4 小
14、题，每小题 5 分，共 20 分）13. 某校 1000 名高三学生参加了一次数学考试，这次考试考生的分数服从正态分布，若分数在 内的概率为 ，估计这次考试分数不超过 分的人2(90,)N70,10.770数为 150 14. 给出下列等式： 23；2141+23；2354； 由以上等式推出一个一般结论：对于 211, +2()2 nnN1()2n15.已知命题 ，使 ，命题 的解集是 下列:pxRta1x2:30qx12x结论：命题“ ”是假命题； 命题“ ”是假命题；q（ ）p命题“ ”是真命题；命题“ ”是真命题p（ ） （ ） （ ） q其中正确的是 （填所有正确命题的序号）16.已
15、知圆 ，圆 ，直线圆 分别过圆心 ，且22:(1)Mxy22:(+1)Nxy12,l,MN与圆 相交于 , 与圆 相交于 , 是椭圆 上的任意一动点，则1lAB2lCDP34xy的最小值为 6 .PCD3解答题：（本题共 6 小题，共 70 分，解答题应写出文字说明证明过程或演算步 ABCD1A1- 9 -骤）17.（本小题 10 分） 在长方体 中， ，过 、 、 三点的1ABCD2ABC1AB平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体 ，且这个几何体的体积1D为 10（1）求棱 的长；1A（2）求点 到平面 的距离D1BC17.【答案】 （1）3（2） 1|62nDd18. （本小题
16、12 分）设 f(x)2 x3 ax2 bx1 的导数为 f( x)，若函数 y f( x)的图象关于直线 x 对称，且 f(1)0。12(1)求实数 a， b 的值；(2)求函数 f(x)的极值。18.- 10 -得 b12。-6 分(2)由(1)知 f(x)2 x33 x212 x1，所以 f( x)6 x26 x126( x1)( x2)，令 f( x)0， 即 6(x1)( x2)0，解得 x2 或 x1，当 x(，2)时， f( x)0，即 f(x)在(，2)上单调递增；当 x(2,1)时， f( x)0，即 f(x)在(1，)上单调递增。从而函数 f(x)在 x2 处取得极大值 f
17、(2)21，在 x1 处取得极小值 f(1)6。-12 分19. （本小题 12 分）为了更好地规划进货的数量，保证蔬菜的新鲜程度，某蔬菜商店从某一年的销售数据中，随机抽取了 组数据作为研究对象，如表所示（ （吨）为买进蔬菜的质量， （天）为销xy售天数）：2 3 4 5 6 7 9 121 2 3 4 5 6 7 8参考公式： ， 1122()nniiiii iixyxyb aybx- 11 -（1）根据上表数据在下列网格中绘制散点图；（2）根据上表提供的数据，用最小二乘法求出 关于 的线性回归方程yx；ybxa（3）根据（）中的计算结果，若该蔬菜商店准备一次性买进 25 吨，则预计需要销售
18、多少天解：（1） 散点图如图所示：（2） 依题意， ，所以 ，所以回归直线方程为 （3） 由（）知，当 时， 即若一次性买进蔬菜 吨，则预计需要销售 天20. （本小题 12 分）从某市的中学生中随机调查了部分男生，获得了他们的身高数据，理得到如下频率分布直方图- 12 -（1）求 的值；a（2）假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替，估计该市中学生中的全体男生的平均身高；（3）从该市的中学生中随机抽取一名男生，根据直方图中的信息，估计其身高在 180以上的概率若从全市中学的男生（人数众多）中随机抽取 3 人，用 表示身cm X高在 180 以上的男生人数，求随机变量 的分布列和数学期望
19、XE（1） 根据题意得： 解得 （2） 设样本中男生身高的平均值为 ，则所以估计该市中学全体男生的平均身高为 （3） 从全市中学的男生中任意抽取一人，其身高在 以上的概率约为 由已知得，随机变量 的可能取值为 ， ， ， 所以 ； ； 随机变量 的分布列为因为 ，所以 21. （本小题 12 分）已知椭圆2:1(02)xyCn- 13 -（1）若椭圆 的离心率为 ，求 的值；C12n（2）若过点 任作一条直线 与椭圆 交于不同的-,0NlC两点 ，在 轴上是否存在点 ，使得,ABxM?若存在，求出点 的坐标；180M若不存在，请说明理由（1） 因为 ， ，所以 又 ，所以有 ，得 （2） 若存
20、在点 ，使得 ，则直线 和 的斜率存在，分别设为 ， ，且满足 依题意，直线 的斜率存在，故设直线 的方程为 由 得 因为直线 与椭圆 有两个交点，所以 即 ，解得 设 ， ，则 ， ， 令 ，即 ，- 14 -即 ，当 时， ，所以 ，化简得， ，所以 当 时，检验也成立所以存在点 ，使得 22.（本小题12分）已知函数()ln1,.afxR(1) 若 ()yfx在 01,Py处的切线平行于直线 yx，求函数 ()yfx的单调区间；(2) 若 0a，且对 (,2e时， ()0fx恒成立，求实数 a的取值范围.22.解: (1) ()ln1,.fxaR)(f定义域为 ),(,直线 1yx的斜率
21、为 ,af)(2, )(f, 2.所以 22xf由 0xf得 ; 由 0 xxf得所以函数 ()yf的单调增区间为 )(， ,减区间为 (0,).-6分(2) a，且对 ,2xe时， fx恒成立ln10(,x在 恒 成 立,即 .(ln1)ax设 20ln)l() exxg.,(,1nx当 0时, )(xg, 为 增 函 数)- 15 -当 ex20时, 0)(xg, 为 减 函 数)(.所以当 1时,函数 在 2e上取到最大值,且 1ln)(g所以 )(x,所以a1.所以实数 a的取值范围为 ),1(.-12分（法二）讨论法， 在 上是减函数，在 上是增函数.2()xf()f0,a(,)a当 时， ，解得 ， .ae1ln01a2e当 时， ，解得 ， .2()2l(2)fxeeln综上 .1a
