1、180 分 解答题标准练(二)1(2018威海模拟)在 ABC 中，边 BC 上一点 D 满足 AB AD， AD DC.3(1)若 BD2 DC2，求边 AC 的长；(2)若 AB AC，求 sin B.解 (1) AB AD，在 Rt ABD 中，sin ABD ，ADBD 32 ABD60， AB1.在 ABC 中， AB1， BC3，由余弦定理可得，AC2 AB2 BC22 ABBCcos ABC19213 7，12 AC .7(2)在 ACD 中，由正弦定理可得 ，ADsin C DCsin DAC AD DC，3 ，3sin C 1sin DAC AB AC， B C， BAC18
2、02 B， BAD90， DAC BAC BAD1802 B90902 B，2 ，3sin B 1sin90 2B ，3sin B 1cos 2B化简得 2 sin2Bsin B 0，3 3即( sin B1)(2sin B )0，3 3sin B0，sin B .332(2018安徽省亳州市涡阳一中模拟)如图，在斜三棱柱 ABC A1B1C1中，已知 B1C1A190，异面直线 AB1 A1C，且 AA1 AC.(1)求证：平面 ACC1A1平面 A1B1C1；(2)若 AC1 AA1 B1C1，求直线 A1C1与平面 ABB1A1所成角的正弦值(1)证明 因为 AA1 AC，所以四边形 A
3、CC1A1是菱形，所以 A1C AC1，又因为异面直线 AB1 A1C， AC1 AB1 A，AB1， AC1平面 AB1C1，所以 A1C平面 AB1C1，又 B1C1平面 AB1C1，所以 A1C B1C1.又因为 B1C1A190，即 B1C1 A1C1，且 A1C1 A1C A1， A1C， A1C1平面 ACC1A1，所以 B1C1平面 ACC1A1，又 B1C1平面 A1B1C1，所以平面 ACC1A1平面 A1B1C1.(2)解 设 O 是 A1C1的中点，因为 AC1 AA1，所以 AO A1C1，由(1)可知， AO平面 A1B1C1，3以 O 为坐标原点，过点 O 且与 C
4、1B1平行的直线为 x 轴，以 OC1所在直线为 y 轴，以 OA 所在直线为 z 轴，建立空间直角坐标系 O xyz，设 AA12，则 A(0,0， )， A1(0，1,0)，3C1(0,1,0)， B1(2,1,0)，设 A1C1与平面 ABB1A1所成的角为 ，因为 (0,2,0)， (2,2,0)， (0,1， )，A1C1 A1B1 A1A 3设平面 ABB1A1的一个法向量是 n( x， y， z)，则Error! 即Error!不妨令 x1，则 y1， z ，可得 n ，33 (1， 1， 33)所以 sin |cos ， n| ，A1C1 2273 217所以直线 A1C1与平
5、面 ABB1A1所成角的正弦值为 .2173(2018山西省运城市康杰中学模拟)在某校举行的航天知识竞赛中，参与竞赛的文科生与理科生人数之比为 13，且成绩分布在40,100内，分数在 80 以上(含 80)的同学获奖按文、理科用分层抽样的方法抽取 200 人的成绩作为样本，得到成绩的频率分布直方图(见下图)(1)填写下面的 22 列联表，判断能否有超过 95%的把握认为“获奖与学生的文、理科有关”？4文科生 理科生 总计获奖 5不获奖总计 200(2)将上述调査所得的频率视为概率，现从该校参与竞赛的学生中，任意抽取 3 名学生，记“获奖”学生人数为 X，求 X 的分布列及期望附表及公式： K
6、2 ， n a b c d.nad bc2a bc da cb d其中 n a b c d.P(K2 k0) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879解 (1)文科生 理科生 总计获奖 5 35 40不获奖 45 115 160总计 50 150 200K2 4.1673.841，2005115 354525015040160 256所以有超过 95%的把握认为“获奖与学生的文、理科有关” (2)由表中数据可知，将频率视为概率，从该校参赛学生中任意抽取一人，抽到获奖同学的概率为 .15X 的所有
7、可能的取值为 0,1,2,3，且 X B .(3，15)P(X k)C k 3 k(k0,1,2,3)k3 (15) (1 15)P(X0)C 0 30 ，03 (15) (45) 64125P(X1)C 1 31 ，13 (15) (45) 48125P(X2)C 2 1 ，23 (15) (45) 121255P(X3)C 3 0 ，3 (15) (45) 1125所以 X 的分布列为X 0 1 2 3P 64125 48125 12125 1125E(X)3 .15 354(2018安徽省“皖江八校”联考)已知椭圆 C： 1( ab0)的左焦点为 F( c,0)，x2a2 y2b2右顶点
8、为 A，点 E 的坐标为(0， c)， EFA 的面积为 ，过点 E 的动直线 l 被椭圆 C 所截得b22的线段 MN 长度的最小值为 .463(1)求椭圆 C 的方程；(2)B 是椭圆 C 上异于顶点的一点，且直线 OB l， D 是线段 OB 延长线上一点，且|DB| |MN|， D 的半径为| DB|， OP， OQ 是 D 的两条切线，切点分别为 P， Q，求 POQ75的最大值，并求出取得最大值时直线 l 的斜率解 (1)由已知，可得 (c a)c .12 b22又由 b2 a2 c2，可得 2c2 ac a20，解得 a2 c，设椭圆 C 的方程为 1，x24c2 y23c2当直
9、线 l 的斜率不存在时，线段 MN 的长为 2 c；3当直线 l 的斜率存在时，设 l 的方程为 y kx c，由Error! 得(4 k23) x28 kcx8 c20， (8 kc)232 c2(4k23)0，从而| MN| k2 14k2 346ck2 12k2 14k2 32 c34k2 44k2 24k2 322 c 3， ，1u (0， 13)7因此 |OB|r 57 u23u 7u 1 1，57 13 4u 7u2 5 (7u 2)2 25当且仅当 2，即 u 时等号成立，7u 72此时 k ，所以 sin ，24 POQ2 12因此 ，所以 POQ 的最大值为 . POQ2 6
10、 3综上所述， POQ 的最大值为 ， 3取得最大值时直线 l 的斜率 k .245(2018四川省成都市第七中学模拟)已知函数 f(x) (x0， aR)3 xex ax(1)当 a 时，判断函数 f(x)的单调性；34(2)当 f(x)有两个极值点时，若 f(x)的极大值小于整数 m，求 m 的最小值解 (1)由题意知，f( x) ex 3 xexx 3 xex ax2 (x0) x2 3x 3ex ax2令 h(x)( x23 x3)e x a(x0)，则 h( x)( x2 x)ex，当 00， h(x)为增函数；当 x1 时， h( x) ，34所以 h(x)max h(1)e a0
11、)，8则 h( x)( x2 x)ex，当 00， h(x)为增函数；当 x1 时， h( x)0，h e32 a2.(1，32)又由得 a e( x 3 x2 3)，2把它代入得 f(x2)(2 x2)e，9所以当 x2 时， f( x2)(1 x2)ef 32.(32) 12所以满足题意的整数 m 的最小值为 3.6在数列 an中， Sn1 4 an2， a11.(1) 设 cn ，求证：数列 cn是等差数列；an2n(2) 求数列 an的通项公式及前 n 项和的公式(1)证明 Sn1 4 an2，当 n2， nN *时， Sn4 an1 2.得 an1 4 an4 an1 .方法一 对
12、an1 4 an4 an1 两边同除以 2n1 ，得2 ，an 12n 1 an2n an 12n 1即 2 ，an 12n 1 an 12n 1 an2n即 cn1 cn1 2 cn，数列 cn是等差数列由 Sn1 4 an2，得 a1 a24 a12，则 a23 a125， c1 ， c2 ，a12 12 a222 54故公差 d ，54 12 34 cn是以 为首项， 为公差的等差数列12 34方法二 an1 2 an2 an4 an12( an2 an1 )，令 bn an1 2 an，则 bn是以 a22 a14 a12 a12 a13 为首项，2 为公比的等比数列， bn32 n1
13、 ， cn ，an2n10 cn1 cn an 12n 1 an2n an 1 2an2n 1 ，bn2n 1 32n 12n 1 34c1 ，a12 12 cn是以 为首项， 为公差的等差数列12 34(2)解 由(1)可知数列 是首项为 ，公差为 的等差数列，an2n 12 34 ( n1) n ， an(3 n1)2 n2 是数列 an的通项公式an2n 12 34 34 14设 Sn(31)2 1 (321)2 0(3 n1)2 n2 ，则 2Sn(31)2 0(321)2 1(3 n1)2 n1 ， Sn2 Sn Sn(31)2 1 3(2 02 12 n2 )(3 n1)2 n113 (3 n1)2 n12n 1 12 113(3 n4)2 n12(3 n4)2 n1 .数列 an的通项公式为 an(3 n1)2 n2 ，前 n 项和公式为Sn2(3 n4)2 n1 ， nN *.
