1、1(二)数 列1(2018三明质检)已知正项数列 an的前 n 项和为 Sn， a11，且( t1)Sn a 3 an2( tR)2n(1)求数列 an的通项公式；(2)若数列 bn满足 b11， bn1 bn an1 ，求数列 的前 n 项和 Tn.12bn 7n解 (1)因为 a11，且( t1) Sn a 3 an2，2n所以( t1) S1 a 3 a12，所以 t5.21所以 6Sn a 3 an2.2n当 n2 时，有 6Sn1 a 3 an1 2，2n 1得 6an a 3 an a 3 an1 ，2n 2n 1所以( an an1 )(an an1 3)0，因为 an0，所以
2、an an1 3，又因为 a11，所以 an是首项 a11，公差 d3 的等差数列，所以 an3 n2( nN *)(2)因为 bn1 bn an1 ， b11，所以 bn bn1 an(n2， nN *)，所以当 n2 时，bn( bn bn1 )( bn1 bn2 )( b2 b1) b1 an an1 a2 b1 .3n2 n2又 b11 也适合上式，所以 bn (nN *)3n2 n22所以 12bn 7n 13n2 n 7n ，13 1nn 2 16 (1n 1n 2)所以 Tn 16 (1 13 12 14 1n 1n 2) ，16 (32 1n 1 1n 2) .3n2 5n12
3、n 1n 22(2018葫芦岛模拟)设等差数列 an的前 n 项和为 Sn，且 S3， ， S4成等差数列，S52a53 a22 a12.(1)求数列 an的通项公式；(2)设 bn2 n1 ，求数列 的前 n 项和 Tn.anbn解 (1)设等差数列 an的首项为 a1，公差为 d，由 S3， ， S4成等差数列，S52可知 S3 S4 S5，得 2a1 d0，由 a53 a22 a12，得 4a1 d20，由，解得 a11， d2，因此， an2 n1( nN *)(2)令 cn (2 n1) n1 ，anbn (12)则 Tn c1 c2 cn， Tn113 5 2(2 n1) n1 ，
4、12 (12) (12)Tn1 3 25 3(2 n1) n，12 12 (12) (12) (12)，得 Tn12 (2 n1) n12 12 (12)2 (12)n 1 (12)12 (2 n1) n 3 ，1 (12)n 1 (12) 2n 32n Tn6 (nN *)2n 32n 133(2018厦门质检)已知等差数列 an满足( n1) an2 n2 n k， kR.(1)求数列 an的通项公式；(2)设 bn ，求数列 bn的前 n 项和 Sn.4n2anan 1解 (1)方法一 由( n1) an2 n2 n k，令 n1,2,3，得到 a1 ， a2 ， a3 ，3 k2 10
5、 k3 21 k4 an是等差数列，2 a2 a1 a3，即 ，20 2k3 3 k2 21 k4解得 k1.由于( n1) an2 n2 n1(2 n1)( n1)，又 n10， an2 n1( nN *)方法二 an是等差数列，设公差为 d，则 an a1 d(n1) dn( a1 d)，( n1) an( n1)( dn a1 d) dn2 a1n a1 d， dn2 a1n a1 d2 n2 n k 对于 nN *均成立，则Error! 解得 k1， an2 n1( nN *)(2)由 bn 4n2anan 1 4n22n 12n 1 14n24n2 1 14n2 11 1，12n 1
6、2n 1 12( 12n 1 12n 1)得 Sn b1 b2 b3 bn 1 1 1 112(1 13) 12(13 15) 12(15 17) 12( 12n 1 12n 1) n12(1 13 13 15 15 17 12n 1 12n 1) n12(1 12n 1) n (nN *)n2n 1 2n2 2n2n 14(2018天津河东区模拟)已知等比数列 an满足条件 a2 a43( a1 a3)，a2n3 a ， nN *.2n4(1)求数列 an的通项公式；(2)数列 bn满足 n2， nN *，求 bn的前 n 项和 Tn.b1a1 b2a2 bnan解 (1)设 an的通项公式
7、为 an a1qn1 (nN *)，由已知 a2 a43( a1 a3)，得 a1q a1q33( a1 a1q2)，所以 q3.又由已知 a2n3 a ，2n得 a1q2n1 3 a q2n2 ，所以 q3 a1，21所以 a11，所以 an的通项公式为 an3 n1 (nN *)(2)当 n1 时， 1， b11，b1a1当 n2 时， n2，b1a1 b2a2 bnan所以 ( n1) 2，b1a1 b2a2 bn 1an 1由得 2 n1，bnan所以 bn(2 n1)3 n1 ， b11 也符合，综上， bn(2 n1)3 n1 (nN *)所以 Tn13 033 1(2 n3)3
8、n2 (2 n1)3 n1 ，3Tn13 133 2(2 n3)3 n1 (2 n1)3 n，由得2 Tn13 02(3 13 23 n1 )(2 n1)3 n13 023 (2 n1)3 n3n 1 13 113 n3(2 n1)3 n(22 n)3n2，所以 Tn1( n1)3 n(nN *)5(2018宿州模拟)已知数列 an的前 n 项和为 Sn，数列 Sn的前 n 项和为 Tn，满足Tn2 Sn n2.(1)证明数列 an2是等比数列，并求出数列 an的通项公式；(2)设 bn nan，求数列 bn的前 n 项和 Kn.解 (1)由 Tn2 Sn n2，得 a1 S1 T12 S11
9、，解得 a1 S11，由 S1 S22 S24，解得 a24.当 n2 时， Sn Tn Tn1 2 Sn n22 Sn1 ( n1) 2，即 Sn2 Sn1 2 n1，5Sn1 2 Sn2 n1，由得 an1 2 an2， an1 22( an2)，又 a222( a12)，数列 an2是以 a123 为首项，2 为公比的等比数列， an232 n1 ，即 an32 n1 2( nN *)(2) bn3 n2n1 2 n， Kn3(12 022 1 n2n1 )2(12 n)3(12 022 1 n2n1 ) n2 n.记 Rn12 022 1 n2n1 ，2Rn12 122 2( n1)2 n1 n2n，由，得 Rn2 02 12 22 n1 n2n n2n (1 n)2n1，1 2n1 2 Rn( n1)2 n1. Kn3( n1)2 n n2 n3( nN *)
