1、1第 3 课时 简单复合函数的导数学习目标 1.了解复合函数的概念，掌握复合函数的求导法则.2.能够利用复合函数的求导法则，并结合已经学过的公式、法则进行一些复合函数的求导(仅限于形如 f(ax b)的导数)知识点 复合函数的概念及求导法则已知函数 yln(2 x5)， ysin( x2)思考 这两个函数有什么共同特征？答案 函数 yln(2 x5)， ysin( x2)都是由两个基本函数复合而成的梳理复合函数的概念一般地，对于两个函数 y f(u)和 u g(x)，如果通过变量 u， y 可以表示成x 的函数，那么称这个函数为函数 y f(u)和 u g(x)的复合函数，记作y f(g(x)
2、.复合函数的求导法则复合函数 y f(g(x)的导数和函数 y f(u)， u g(x)的导数间的关系为yx yu ux，即 y 对 x 的导数等于 y 对 u 的导数与 u 对 x 的导数的乘积.1函数 ye x的导数为 ye x.( )2函数 f(x)sin( x)的导数为 f( x)cos x( )3函数 ycos(3 x1)由函数 ycos u， u3 x1 复合而成( )2类型一 求复合函数的导数命 题 角 度 1 单 纯 的 复 合 函 数 求 导例 1 求下列函数的导数(1)y ；11 2x2(2)ylog 2(2x1)；(3)ye cos x1 ；(4)ysin 2 .(2x
3、3)考点 简单复合函数的导数题点 简单复合函数的导数解 (1) y12()x，设 y12u， u12 x2，则 y( )(12 x2) (4 x)(12)31)(4 x)2 x3.12(2)设 ylog 2u， u2 x1，则 yx yu ux .2uln 2 22x 1ln 2(3)设 ye u， ucos x1，则 yx yu uxe u(sin x)e cos x1 sin x.(4)y1 cos(4x 23)2对于 tcos ，(4x23)设 u4 x ，23则 tcos u， tu ux4sin u4sin .(4x23)3 y2sin .(4x23)反思与感悟 (1)求复合函数的导
4、数的步骤(2)求复合函数的导数的注意点：分解的函数通常为基本初等函数；求导时分清是对哪个变量求导；计算结果尽量简洁跟踪训练 1 求下列函数的导数(1)y( x24) 2；(2) yln(6 x4)；(3)y10 3x2 ；(4) y ；2x 1(5)ysin ；(6) ycos 2x.(3x 4)考点 简单复合函数的导数题点 简单复合函数的导数解 (1) y2( x24)( x24)2( x24)2 x4 x316 x.(2)y (6x4) .16x 4 33x 2(3)y(10 3x2 ln 10)(3x2)310 3x2 ln 10.(4)y (2x1) .122x 1 12x 1(5)y
5、cos 3cos .(3x 4) (3x 4) (3x 4)(6)y2cos x(cos x)2cos xsin xsin 2 x.命 题 角 度 2 复 合 函 数 与 导 数 运 算 法 则 结 合 求 导例 2 求下列函数的导数(1)y ；ln 3xex(2)y x ；1 x2(3)y xcos sin .(2x 2) (2x 2)考点 简单复合函数的导数题点 简单复合函数的导数4解 (1)(ln 3 x) (3x) ，13x 1x yln 3x ex ln 3xexex2 .1x ln 3xex 1 xln 3xxex(2)y( x )1 x2 x x( )1 x2 1 x2 1 x2
6、x21 x2 .1 2x21 x21 x2(3) y xcos sin(2x 2) (2x 2) x(sin 2 x)cos 2x xsin 4x，12 y (12xsin 4x) sin 4x cos 4x412 x2 sin 4x2 xcos 4x.12反思与感悟 (1)在对函数求导时，应仔细观察及分析函数的结构特征，紧扣求导法则，联系学过的求导公式，对不易用求导法则求导的函数，可适当地进行等价变形，以达到化异求同、化繁为简的目的(2)复合函数的求导熟练后，中间步骤可以省略，即不必再写出函数的复合过程，直接运用公式，由外及内逐层求导跟踪训练 2 求下列函数的导数(1)ysin 3xsin
7、x3；(2)y xln(12 x)考点 简单复合函数的导数题点 简单复合函数的导数解 (1) y(sin 3xsin x3)(sin 3x)(sin x3)3sin 2xcos xcos x33x23sin 2xcos x3 x2cos x3.(2)y xln(12 x) xln(12 x)5ln(12 x) .2x1 2x类型二 复合函数导数的应用例 3 设 f(x)ln( x1) ax b(a， bR， a， b 为常数)，曲线 y f(x)与直线x 1y x 在(0,0)点相切，求 a， b 的值32考点 简单复合函数的导数题点 简单复合函数的导数的综合应用解 由曲线 y f(x)过(0
8、,0)点，可得 ln 11 b0，故 b1.由 f(x)ln( x1) ax b，x 1得 f( x) a，1x 1 12x 1则 f(0)1 a a，12 32即为曲线 y f(x)在点(0,0)处的切线的斜率由题意，得 a ，故 a0.32 32反思与感悟 复合函数导数的应用问题，正确的求出此函数的导数是前提，审题时注意所给点是不是切点，挖掘题目隐含条件，求出参数，解决已知经过一定点的切线问题，寻求切点是解决问题的关键跟踪训练 3 曲线 ye sin x在点(0,1)处的切线与直线 l 平行，且与 l 的距离为 ，求直线2l 的方程考点 简单复合函数的导数题点 简单复合函数的导数的综合应用
9、解 由 ye sin x，得 y(e sin x)cos xesin x，即 =0|x1，则切线方程为 y1 x0，即 x y10.若直线 l 与切线平行，可设直线 l 的方程为 x y c0.两平行线间的距离 d ，得 c3 或 c1.|c 1|2 2故直线 l 的方程为 x y30 或 x y10.61函数 y (exe x)的导数是( )12A. (exe x) B. (exe x)12 12Ce xe x De xe x考点 简单复合函数的导数题点 简单复合函数的导数答案 A解析 y (exe x)12ex e x 122函数 y x2cos 的导数为( )(2x 3)A y2 xco
10、s x2sin(2x 3) (2x 3)B y2 xcos 2 x2sin(2x 3) (2x 3)C y x2cos 2 xsin(2x 3) (2x 3)D y2 xcos 2 x2sin(2x 3) (2x 3)考点 简单复合函数的导数题点 简单复合函数的导数答案 B解析 y( x2)cos x2 (2x 3) cos(2x 3)2 xcos x2 (2x 3) sin(2x 3)(2x 3)2 xcos 2 x2sin .(2x 3) (2x 3)3已知函数 f(x)ln(3 x1)，则 f(1)_.考点 简单复合函数的导数题点 简单复合函数的导数答案 32解析 f( x) (3x1)
11、 ， f(1) .13x 1 33x 1 324函数 y2cos 2x 在 x 处的切线斜率为_12考点 简单复合函数的导数7题点 简单复合函数的导数的综合应用答案 1解析 由函数 y2cos 2x1cos 2 x，得 y(1cos 2 x)2sin 2 x，所以函数在 x 处的切线斜率为2sin 1.12 (212)5曲线 y e在点(4，e 2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为_考点 简单复合函数的导数题点 简单复合函数的导数的综合应用答案 e 2解析 y ex，12切线的斜率 k e2，12则切线方程为 ye 2 (x4)，e22令 x0，得 ye 2，令 y0，得 x2，切线与坐标轴
12、围成的面积为 2|e 2|e 2.12求简单复合函数 f(ax b)的导数实质是运用整体思想，先把简单复合函数转化为常见函数 y f(u)， u ax b 的形式，然后再对 y f(u)与 u ax b 分别求导，并把所得结果相乘灵活应用整体思想把函数化为y f(u)， u ax b 的形式是关键.一、选择题1下列函数不是复合函数的是( )A y x3 1 B ycos1x (x 4)C y D y(2 x3) 41ln x考点 简单复合函数的导数8题点 复合函数的判断答案 A解析 A 中的函数是一个多项式函数，B 中的函数可看作函数 u x ， ycos u 的复合函 4数，C 中的函数可看
13、作函数 uln x， y 的复合函数，D 中的函数可看作函数1uu2 x3， y u4的复合函数，故选 A.2函数 y( x1) 2(x1)在 x1 处的导数等于( )A1 B2C3 D4考点 简单复合函数的导数题点 简单复合函数的导数答案 D解析 y( x1) 2( x1)( x1) 2(x1)2( x1)( x1)( x1) 23 x22 x1，所以 y| x1 4.3设函数 f(x)(12 x3)10，则 f(1)等于( )A0 B60C1 D60考点 简单复合函数的导数题点 简单复合函数的导数答案 B解析 f( x)10(12 x3)9(6 x2)所以 f(1)10(12) 9(6)6
14、0.4函数 y xln(2x5)的导数为( )Aln(2 x5) Bln(2 x5)x2x 5 2x2x 5C2 xln(2x5) D.x2x 5考点 简单复合函数的导数题点 简单复合函数的导数答案 B解析 y xln(2x5) xln(2 x5) xln(2x5)9ln(2 x5) x (2x5)12x 5ln(2 x5) .2x2x 55设曲线 y axln( x1)在点(0,0)处的切线方程为 y2 x，则 a 等于( )A0 B1C2 D3考点 简单复合函数的导数题点 简单复合函数的导数的综合应用答案 D解析 y a ，由题意得 =0|xy2，即 a12，1x 1所以 a3.6曲线 y
15、e 2 x1 在点(0,2)处的切线与直线 y0 和 y x 围成的三角形的面积为( )A. B.13 12C. D123考点 简单复合函数的导数题点 简单复合函数的导数的综合应用答案 A解析 =0|xy2e 20 2，曲线在点(0,2)处的切线方程为 y2 x2.由Error! 得 x y ，23 A ，(23， 23)则围成的三角形的面积为 1 .12 23 137已知点 P 在曲线 y 上， 为曲线在点 P 处的切线的倾斜角，则 的取值范围是( )4ex 1A. B.0， 4) 4， 2)10C. D.( 2， 34 34， )考点 简单复合函数的导数题点 简单复合函数的导数的综合应用答
16、案 D解析 y 4exex 12 4exex2 2ex 1 . 4ex 1ex 2e x 2 ，1ex (当 且 仅 当 ex 1ex 1时 等 号 成 立 )e x 24，1ex y1,0)，即 tan 1,0)， .34， )二、填空题8函数 ysin 2 xcos 3x 的导数是_考点 简单复合函数的导数题点 简单复合函数的导数答案 2cos 2 xcos 3x3sin 2 xsin 3x解析 ysin 2 xcos 3x， y(sin 2 x)cos 3 xsin 2 x(cos 3x)2cos 2 xcos 3x3sin 2 xsin 3x.9曲线 y xex1 在点(1,1)处切线
17、的斜率为_考点 简单复合函数的导数题点 简单复合函数的导数的综合应用答案 2解析 ye x1 xex1 ( x1)e x1 ，故曲线在点(1,1)处的切线斜率为(11)e 11 2.10若 y f(x)(2 x a)2，且 f(2)20，则 a_.考点 简单复合函数的导数题点 简单复合函数的导数答案 111解析 令 u2 x a，则 yx yu ux( u2)(2 x a)4(2 x a)，则 f(2)4(22 a)20， a1.11若曲线 ye x上点 P 处的切线平行于直线 2x y10，则点 P 的坐标是_考点 简单复合函数的导数题点 简单复合函数的导数的综合应用答案 (ln 2,2)解
18、析 设 P(x0， 0e)，0=|xy 2，得 x0 ln 2， P(ln 2,2)12已知直线 y x1 与曲线 yln( x a)相切，则 a 的值为_考点 简单复合函数的导数题点 简单复合函数的导数的综合应用答案 2解析 设切点坐标是( x0， x01)，依题意有Error!由此得 x01， a2.三、解答题13曲线 ye 2xcos 3x 在点(0,1)处的切线与直线 l 平行，且与 l 的距离为 ，求直线 l 的5方程考点 简单复合函数的导数题点 简单复合函数的导数的综合应用解 由 y(e 2xcos 3x)(e 2x)cos 3 xe 2x(cos 3x)2e 2xcos 3xe
19、2x(3sin 3 x)e 2x(2cos 3x3sin 3 x)，得 =0|y2.则切线方程为 y12( x0)，即 2x y10.若直线 l 与切线平行，可设直线 l 的方程为2x y c0，两平行线间的距离 d ，得 c6 或 c4.|c 1|5 5故直线 l 的方程为 2x y60 或 2x y40.12四、探究与拓展14已知 f(x)为偶函数，当 x0 时， f(x)e x1 x，则曲线 y f(x)在点(1,2)处的切线方程是_考点 简单复合函数的导数题点 简单复合函数的导数的综合应用答案 2 x y0解析 设 x0，则 x0， f( x)e x1 x.因为 f(x)为偶函数，所以
20、 f(x)e x1 x， f( x)e x1 1， f(1)2，即所求的切线方程为 y22( x1)，即 2x y0.15求曲线 yln(2 x1)上的点到直线 l：2 x y30 的最短距离考点 简单复合函数的导数题点 简单复合函数的导数的综合应用解 作出直线 l：2 x y30 和曲线 yln(2 x1)的图象(图略)可知它们无公共点，所以平移直线 l，当 l 与曲线相切时，切点到直线 l 的距离就是曲线上的点到直线 l 的最短距离，y (2x1) .12x 1 22x 1设切点为 P(x0， y0)，所以 2，所以 x01，22x0 1所以 y0ln(211)0， P(1,0)所以曲线 yln(2 x1)上的点到直线 l：2 x y30 的最短距离为 P(1,0)到直线l：2 x y30 的距离，最短距离 d .|21 0 3|22 12 55 5
