(全国通用版)2019高考数学二轮复习124分项练11圆锥曲线文.doc

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1、1124 分项练 11 圆锥曲线1(2018大连模拟)设椭圆 C: y21 的左焦点为 F,直线 l: y kx(k0)与椭圆 C 交x24于 A, B 两点,则 的值是( )|AF| |BF|A2 B2 C4 D43 3答案 C解析 设椭圆的右焦点为 F2,连接 AF2, BF2,因为| OA| OB|,| OF| OF2|,所以四边形 AFBF2是平行四边形,所以| BF| AF2|,所以| AF| BF| AF| AF2|2 a4.2(2018洛阳统考)已知双曲线 1( b0)的右焦点与抛物线 y212 x 的焦点重合,x24 y2b2则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于( )A. B3

2、 C5 D45 2答案 A解析 因为抛物线 y212 x 的焦点坐标为 ,(3, 0)依题意得 4 b29,所以 b25,所以双曲线的方程为 1,x24 y25所以其渐近线方程为 y x,52所以双曲线的一个焦点到渐近线的距离为2 .| 53 0|5 4 53(2018唐山模拟)已知 P 是抛物线 y24 x 上任意一点, Q 是圆 2 y21 上任意一(x 4)点,则| PQ|的最小值为( )A. B3 C. 1 D2 152 3 3答案 D解析 设点 P 的坐标为 ,(14m2, m)由圆的方程 2 y21,(x 4)可得圆心坐标 A ,(4, 0)| PA|2 2 m2 21212,(1

3、4m2 4) 116(m2 8)| PA|2 ,3 Q 是圆 2 y21 上任意一点,(x 4)| PQ|的最小值为 2 1.34(2018重庆模拟)已知抛物线 y24 x 的焦点为 F,以 F 为圆心的圆与抛物线交于 M, N两点,与抛物线的准线交于 P, Q 两点,若四边形 MNPQ 为矩形,则矩形 MNPQ 的面积是( )A16 B12 C4 D33 3 3答案 A解析 根据题意,四边形 MNPQ 为矩形,可得| PQ| MN|,从而得到圆心 F 到准线的距离与到 MN 的距离是相等的,所以 M 点的横坐标为 3,代入抛物线方程,设 M 为 x 轴上方的交点,从而求得 M(3,2 ),

4、N(3,2 ),3 3所以| MN|4 , 4,3 |NP|从而求得四边形 MNPQ 的面积为 S44 16 .3 35已知 F1, F2分别是双曲线 1( a0, b0)的左、右焦点,以 F1F2为直径的圆交渐x2a2 y2b2近线 ay bx 于点 P(P 在第一象限), PF1交双曲线左支于 Q,若 Q 是线段 PF1的中点,则该双曲线的离心率为( )A. B. C. 1 D. 13 5 5 5答案 C解析 联立直线方程与圆的方程Error!结合 c2 a2 b2,且点 P 位于第一象限可得 P(a, b),双曲线的左焦点为 F1( c,0),3则 PF1的中点为 Q ,(a c2 ,

5、b2)点 Q 在双曲线上,则 1,(a c)24a2 b24b2整理可得 c22 ac4 a20,即 e22 e40,解得 e1 ,5又双曲线的离心率 e1,故 e 1.56(2018威海模拟)已知双曲线 C: 1( ab0)的左、右焦点分别为 F1, F2,以 F2x2a2 y2b2为圆心, F1F2为半径的圆交 C 的右支于 P, Q 两点,若 F1PQ 的一个内角为 60,则 C 的离心率为( )A. B. 13 3C. D.3 12 62答案 C解析 由对称性可知 PQF1为等腰三角形,若 PQF1的一个内角为 60,则 PQF1是等边三角形, F1PQ 的三个内角都为 60, PF2

6、Q120,设 PQ 交 x 轴于点 A,则| AF2| |F2P| c,| PA| c,12 3不妨设 P 在第一象限,则 P(2c, c),3代入双曲线方程可得 1.4c2a2 3c2b2 1.4c2a2 3c2c2 a2化简得 4c48 a2c2 a40,即 4e48 e210,解得 e2 或 (舍),2 32 2 32 e (负值舍去)1 327已知点 P 在抛物线 y2 x 上,点 Q 在圆 2( y4) 21 上,则| PQ|的最小值为( )(x12)A. 1 B. 1352 3324C2 1 D. 13 10答案 A解析 设抛物线上点的坐标为 P(m2, m)圆心 与抛物线上的点的

7、距离的平方(12, 4)d2 2( m4) 2 m42 m28 m .(m212) 654令 f(m) m42 m28 m ,654则 f( m)4( m1)( m2 m2),由导函数与原函数的关系可得函数在区间(,1)上单调递减,在区间(1,)上单调递增,函数的最小值为 f(1) ,由几何关系可得| PQ|的最小值为454 1 1.454 3528(2018昆明模拟)已知抛物线 C: y22 px(p0),圆 M: 2 y2 p2,直线 l: y k(xp2)(k0),自上而下顺次与上述两曲线交于 A1, A2, A3, A4四点,则 等(xp2) | 1|A1A2| 1|A3A4|于( )

8、A. B. C p D.1p 2p p2答案 B解析 圆 M: 2 y2 p2的圆心为抛物线的焦点 F ,半径为 p.(xp2) (p2, 0)直线 l: y k 过抛物线的焦点 F .(xp2) (p2, 0)设 A2(x1, y1), A4(x2, y2)不妨设 k .p2 p2|A1A2| A1F| A2F| p x1,(x1p2) p2|A3A4| A4F| A3F| p x2 .(x2p2) p2由Error! 得 k2x2 p(k22) x 0,k2p24所以 x1 x2 , x1x2 .pk2 2k2 p245所以 |1|A1A2| 1|A3A4| | 1p2 x1 1x2 p2

9、| |x2 p2 (p2 x1)(p2 x1)(x2 p2)| |x1 x2 pp2x1 x2 x1x2 p24| .|pk2 2k2 pp2pk2 2k2 p24 p24| 2p9(2018江西省景德镇市第一中学等盟校联考)已知抛物线 C: y22 px(p0),过其焦点F 的直线 l 交抛物线于 A, B 两点,若 3 ,且抛物线 C 上存在点 M 与 x 轴上一点 N(7,0)AF FB 关于直线 l 对称,则该抛物线的焦点到准线的距离为( )A4 B5 C. D6112答案 D解析 抛物线 y22 px(p0)的准线为 l: x ,p2如图所示,当直线 AB 的倾斜角为锐角时,分别过点

10、 A, B 作 AP l, BQ l,垂足为 P, Q,过点 B 作 BD AP 交 AP 于点 D,则| AP| AF|,| BQ| BF|,| AF|3| BF| |AB|,34| AP| BQ| AD| AF| BF| |AB|,12在 Rt ABD 中,由| AD| |AB|,12可得 BAD60, AP x 轴, BAD AFx60,6 kABtan 60 ,3直线 l 的方程为 y ,3(xp2)设 M 点坐标为( xM, yM),由Error!可得 xM p , yM ,34 72 32(7 p2)代入抛物线的方程化简可得3p24 p840,解得 p6(负值舍去),该抛物线的焦点

11、到准线的距离为 6.10已知 F1, F2是椭圆和双曲线的公共焦点, P 是它们的一个公共点,且 F1PF2 ,则椭 4圆和双曲线的离心率乘积的最小值为( )A. B. C1 D.12 22 2答案 B解析 设椭圆和双曲线的离心率分别为 e1, e2,设椭圆的长半轴长为 a1,双曲线的半实轴长为 a2,半焦距为 c, P 为第一象限内的公共点,则Error!解得| PF1| a1 a2,| PF2| a1 a2,所以 4c2( a1 a2)2( a1 a2)22( a1 a2)(a1 a2)cos , 4所以 4c2(2 )a (2 )a ,2 21 2 2所以 4 2 ,2 2e21 2 2

12、e2 2 2e21 2 2e2 22e1e2所以 e1e2 ,故选 B.2211(2017全国)设 A, B 是椭圆 C: 1 长轴的两个端点若 C 上存在点 M 满足x23 y2m AMB120,则 m 的取值范围是( )A(0,19,) B(0, 9,)3C(0,14,) D(0, 4,)3答案 A解析 方法一 设椭圆焦点在 x 轴上,则 03 时,焦点在 y 轴上,要使 C 上存在点 M 满足 AMB120,则 tan 60 ,即 ,解得 m9.ab 3 m3 3故 m 的取值范围为(0,19,)故选 A.12已知双曲线 1( a0, b0)的左、右焦点分别为 F1, F2, P 为双曲

13、线右支上一点x2a2 y2b2(异于右顶点), PF1F2的内切圆与 x 轴切于点(2,0)过 F2作直线 l 与双曲线交于 A, B 两点,若使| AB| b2的直线 l 恰有三条,则双曲线离心率的取值范围是( )A(1, ) B(1,2)2C( ,) D(2,)28答案 C解析 | F1F2|2 c(c2 a2 b2),设 PF1F2的内切圆分别与 PF1, F1F2, PF2切于点 G, H, I,则| PG| PI|,| F1G| F1H|,| F2H| F2I|.由双曲线的定义知2a| PF1| PF2| F1G| F2I| F1H| F2H|,又| F1H| F2H| F1F2|2

14、 c,故| F1H| c a,| F2H| c a,所以 H(a,0),即 a2.注意到这样的事实:若直线 l 与双曲线的右支交于 A, B 两点,则当 l x 轴时,| AB|有最小值 b2;2b2a若直线 l 与双曲线的两支各交于一点( A, B 两点),则当 l y 轴时,| AB|有最小值 2a,于是,由题意得 b22a4, b2, c 2 ,a2 b2 2所以双曲线的离心率 e .故选 C.ca 213(2018三明质检)已知中心是坐标原点的椭圆 C 过点 ,且 C 的一个焦点坐标为(1,255)(2,0),则 C 的标准方程为_答案 y21x25解析 根据题意得椭圆的另一个焦点坐标

15、是(2,0),则 2a 1 22 45 1 22 45 2 ,75 355 5所以 a ,因为 c2,所以 b 1,5 5 4从而得到椭圆的标准方程为 y21.x2514在平面直角坐标系 xOy 中,点 M 不与点 O 重合,称射线 OM 与圆 x2 y21 的交点 N 为点 M 的“中心投影点” (1)点 M(1, )的“中心投影点”为_;3(2)曲线 x2 1 上所有点的“中心投影点”构成的曲线的长度是_y239答案 (1) (2)(12, 32) 43解析 (1)| OM| 2,| ON|1,12 32所以 ,则 N 点坐标为 .ON 12OM (12, 32)(2)双曲线 x2 1 的

16、渐近线方程为 y x,由“中心投影点”的定义知,中心投影点y23 3是单位圆上夹在两渐近线之间的与 x 轴相交的两段圆弧,一条渐近线的倾斜角为 , 3因此弧长为 2 1 .23 4315已知点 F1, F2分别是双曲线 C: x2 1( b0)的左、右焦点, O 为坐标原点,点 P 在y2b2双曲线 C 的右支上,且满足| F1F2|2| OP|,tan PF2F14,则双曲线 C 的半焦距的取值范围为_答案 (1,173解析 由| F1F2|2| OP|可得 PF1F2为直角三角形, F1PF290,tan PF2F14,即| PF1|4| PF2|,| PF1|2| PF2|2| F1F2

17、|2,又| PF1| PF2|2 a,可得| PF2| a,23由(| PF2|2 a)2| PF2|24 c2化为(| PF2| a)22 c2 a2 2,可得 c ,(23a a) 173又双曲线中 ca1,所以双曲线 C 的半焦距的取值范围为 .(1,17316(2018威海模拟)抛物线 y22 px(p0)的焦点为 F, P, Q 是抛物线上的两个动点,线段 PQ 的中点为 M,过 M 作抛物线准线的垂线,垂足为 N,若| MN| PQ|,则 PFQ 的最大值为_答案 3解析 如图所示,分别过 P, Q 作抛物线准线的垂线,垂足为 A, B,10设| PF|2 a,| QF|2 b,由

18、抛物线定义,得| PF| PA|,| QF| QB|,在梯形 ABQP 中,2| MN| PA| QB|2 a2 b,| MN| a b.若 PQ 过焦点 F,则| PQ| PF| QF|2 a2 b,又| MN| a b,且| MN| PQ|,2 a2 b a b, a b0,显然不成立, PQ 不过焦点 F.| MN| PQ|,| PQ| a b,设 PFQ ,由余弦定理得,(a b)24 a24 b28 abcos , a2 b22 ab4 a24 b28 abcos ,cos ,3a2 3b2 2ab8ab 6ab 2ab8ab 12当且仅当 a b 时取等号,又 (0,),0 , 3 PFQ 的最大值为 . 3

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