1、1124 分项练 12 圆锥曲线1(2018大连模拟)设椭圆 C： y21 的左焦点为 F，直线 l： y kx(k0)与椭圆 C 交x24于 A， B 两点，则 AFB 周长的取值范围是( )A. B.(2， 4) (6， 4 23)C. D.(6， 8) (8， 12)答案 C解析 根据椭圆对称性得 AFB 的周长为|AF| AF| AB|2 a| AB|4| AB|(F为右焦点)，由 y kx， y21，得 x ，x24 2A 41 4k2| AB| 2|xA|41 k21 k21 4k24 (2,4)( k0)，14 341 4k2即 AFB 周长的取值范围是 .(4 2， 4 4)
2、(6， 8)2(2018烟台模拟)已知双曲线 y21( a0)两焦点之间的距离为 4，则双曲线的渐近x2a2线方程是( )A y x B y x33 3C y x D y x233 32答案 A2解析 由双曲线 y21( a0)的两焦点之间的距离为 4，可得 2c4，所以 c2，x2a2又由 c2 a2 b2，即 a212 2，解得 a ，3所以双曲线的渐近线方程为 y x x.ba 333(2018湖南省岳阳市第一中学模拟)设抛物线 y24 x 上一点 P 到 y 轴的距离为 d1，到直线 l：3 x4 y120 的距离为 d2，则 d1 d2的最小值为( )A2 B. C. D3153 1
3、63答案 A解析 由Error!得 3y216 y480， 25612480， b0)的左、右焦点分别为 F1， F2，以x2a2 y2b2OF2为直径的圆 M 与双曲线 C 相交于 A， B 两点，其中 O 为坐标原点，若 AF1与圆 M 相切，则双曲线 C 的离心率为( )A. B.2 362 2 623C. D.32 62 32 262答案 C解析 根据题意，有| AM| ， ，c2 |MF1| 3c2因为 AF1与圆 M 相切，所以 F1AM ， 2所以由勾股定理可得 c，|AF1| 2所以 cos F1MA ，|AM|F1M| 13所以 cos AMF2 ，且| MF2| ，13 c
4、2由余弦定理可求得 c，|AF2|c24 c24 2c2c2( 13) 63所以 e .2c2a 2c2c 6c3 32 626(2018重庆调研)已知双曲线 1( a0， b0)的左、右两个焦点分别为 F1， F2，以x2a2 y2b2线段 F1F2为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为 M，若| MF1| MF2|2 b，该双曲线的离心率为 e，则 e2等于( )A2 B3C. D.3 222 5 12答案 D解析 以线段 F1F2 为直径的圆的方程为 x2 y2 c2，双曲线经过第一象限的渐近线方程为 y x，ba联立方程Error!求得 M(a， b)，因为 2 b0， b0)上
5、，x2b2 y2a2所以 1，所以 1，a2b2 b2a2 a2c2 a2 c2 a2a2化简得 e4 e210，由求根公式得 e2 (负值舍去)5 1247已知点 P 在抛物线 y2 x 上，点 Q 在圆 2( y4) 21 上，则| PQ|的最小值为( )(x12)A. 1 B. 1352 332C2 1 D. 13 10答案 A解析 设抛物线上点的坐标为 P(m2， m)圆心 与抛物线上的点的距离的平方(12， 4)d2 2( m4) 2 m42 m28 m .(m212) 654令 f(m) m42 m28 m ，654则 f( m)4( m1)( m2 m2)，由导函数与原函数的关系
6、可得函数在区间(，1)上单调递减，在区间(1，)上单调递增，函数的最小值为 f(1) ，由几何关系可得| PQ|的最小值为 1 1.454 454 3528(2018昆明模拟)已知抛物线 C： y22 px(p0)，圆 M： 2 y2 p2，直线 l： y k(xp2)(k0)，自上而下顺次与上述两曲线交于 A1， A2， A3， A4四点，则 等(xp2) | 1|A1A2| 1|A3A4|于( )A. B. C p D.1p 2p p2答案 B解析 圆 M： 2 y2 p2的圆心为抛物线的焦点 F ，半径为 p.(xp2) (p2， 0)直线 l： y k 过抛物线的焦点 F .(xp2)
7、 (p2， 0)设 A2(x1， y1)， A4(x2， y2)不妨设 k .p2 p2|A1A2| A1F| A2F| p x1，(x1p2) p2|A3A4| A4F| A3F| p x2 .(x2p2) p2由Error! 得 k2x2 p(k22) x 0，k2p245所以 x1 x2 ， x1x2 .pk2 2k2 p24所以 |1|A1A2| 1|A3A4| | 1p2 x1 1x2 p2| |x2 p2 (p2 x1)(p2 x1)(x2 p2)| |x1 x2 pp2x1 x2 x1x2 p24| .|pk2 2k2 pp2pk2 2k2 p24 p24| 2p9(2018江西
8、省景德镇市第一中学等盟校联考)已知抛物线 C： y22 px(p0)，过其焦点F 的直线 l 交抛物线于 A， B 两点，若 3 ，且抛物线 C 上存在点 M 与 x 轴上一点 N(7,0)AF FB 关于直线 l 对称，则该抛物线的焦点到准线的距离为( )A4 B5 C. D6112答案 D解析 抛物线 y22 px(p0)的准线为 l： x ，p2如图所示，当直线 AB 的倾斜角为锐角时，分别过点 A， B 作 AP l， BQ l，垂足为 P， Q，过点 B 作 BD AP 交 AP 于点 D，则| AP| AF|，| BQ| BF|，| AF|3| BF| |AB|，34| AP| B
9、Q| AD| AF| BF| |AB|，12在 Rt ABD 中，由| AD| |AB|，126可得 BAD60， AP x 轴， BAD AFx60， kABtan 60 ，3直线 l 的方程为 y ，3(xp2)设 M 点坐标为( xM， yM)，由Error!可得 xM p ， yM ，34 72 32(7 p2)代入抛物线的方程化简可得3p24 p840，解得 p6(负值舍去)，该抛物线的焦点到准线的距离为 6.10已知 F1， F2是椭圆和双曲线的公共焦点， P 是它们的一个公共点，且 F1PF2 ，则椭 4圆和双曲线的离心率乘积的最小值为( )A. B. C1 D.12 22 2答
10、案 B解析 设椭圆和双曲线的离心率分别为 e1， e2，设椭圆的长半轴长为 a1，双曲线的半实轴长为 a2，半焦距为 c， P 为第一象限内的公共点，则Error!解得| PF1| a1 a2，| PF2| a1 a2，所以 4c2( a1 a2)2( a1 a2)22( a1 a2)(a1 a2)cos ， 4所以 4c2(2 )a (2 )a ，2 21 2 2所以 4 2 ，2 2e21 2 2e2 2 2e21 2 2e2 22e1e2所以 e1e2 ，故选 B.2211(2017全国)设 A， B 是椭圆 C： 1 长轴的两个端点若 C 上存在点 M 满足x23 y2m AMB120
11、，则 m 的取值范围是( )A(0,19，) B(0， 9，)3C(0,14，) D(0， 4，)3答案 A7解析 方法一 设椭圆焦点在 x 轴上，则 03 时，焦点在 y 轴上，要使 C 上存在点 M 满足 AMB120，则 tan 60 ，即 ，解得 m9.ab 3 m3 3故 m 的取值范围为(0,19，)故选 A.12已知双曲线 1( a0， b0)的左、右焦点分别为 F1， F2， P 为双曲线右支上一点x2a2 y2b2(异于右顶点)， PF1F2的内切圆与 x 轴切于点(2,0)过 F2作直线 l 与双曲线交于 A， B 两点，若使| AB| b2的直线 l 恰有三条，则双曲线离
12、心率的取值范围是( )8A(1， ) B(1,2)2C( ，) D(2，)2答案 C解析 | F1F2|2 c(c2 a2 b2)，设 PF1F2的内切圆分别与 PF1， F1F2， PF2切于点 G， H， I，则| PG| PI|，| F1G| F1H|，| F2H| F2I|.由双曲线的定义知2a| PF1| PF2| F1G| F2I| F1H| F2H|，又| F1H| F2H| F1F2|2 c，故| F1H| c a，| F2H| c a，所以 H(a,0)，即 a2.注意到这样的事实：若直线 l 与双曲线的右支交于 A， B 两点，则当 l x 轴时，| AB|有最小值 b2；
13、2b2a若直线 l 与双曲线的两支各交于一点( A， B 两点)，则当 l y 轴时，| AB|有最小值 2a，于是，由题意得 b22a4， b2， c 2 ，a2 b2 2所以双曲线的离心率 e .故选 C.ca 213(2018三明质检)已知中心是坐标原点的椭圆 C 过点 ，且 C 的一个焦点坐标为(1，255)(2,0)，则 C 的标准方程为_答案 y21x25解析 根据题意得椭圆的另一个焦点坐标是(2,0)，则 2a 1 22 45 1 22 45 2 ，75 355 5所以 a ，因为 c2，所以 b 1，5 5 4从而得到椭圆的标准方程为 y21.x2514在平面直角坐标系 xOy
14、 中，点 M 不与点 O 重合，称射线 OM 与圆 x2 y21 的交点 N 为点 M 的“中心投影点” (1)点 M(1， )的“中心投影点”为_；39(2)曲线 x2 1 上所有点的“中心投影点”构成的曲线的长度是_y23答案 (1) (2)(12， 32) 43解析 (1)| OM| 2，| ON|1，12 32所以 ，则 N 点坐标为 .ON 12OM (12， 32)(2)双曲线 x2 1 的渐近线方程为 y x，由“中心投影点”的定义知，中心投影点y23 3是单位圆上夹在两渐近线之间的与 x 轴相交的两段圆弧，一条渐近线的倾斜角为 ，因此弧 3长为 2 1 .23 4315已知点
15、F1， F2分别是双曲线 C： x2 1( b0)的左、右焦点， O 为坐标原点，点 P 在y2b2双曲线 C 的右支上，且满足| F1F2|2| OP|，tan PF2F14，则双曲线 C 的半焦距的取值范围为_答案 (1，173解析 由| F1F2|2| OP|可得 PF1F2为直角三角形， F1PF290，tan PF2F14，即| PF1|4| PF2|，| PF1|2| PF2|2| F1F2|2，又| PF1| PF2|2 a，可得| PF2| a，23由(| PF2|2 a)2| PF2|24 c2化为(| PF2| a)22 c2 a2 2，可得 c ，(23a a) 173又
16、双曲线中 ca1，所以双曲线 C 的半焦距的取值范围为 .(1，17316(2018威海模拟)抛物线 y22 px(p0)的焦点为 F， P， Q 是抛物线上的两个动点，线段 PQ 的中点为 M，过 M 作抛物线准线的垂线，垂足为 N，若| MN| PQ|，则 PFQ 的最大值为_答案 3解析 如图所示，分别过 P， Q 作抛物线准线的垂线，垂足为 A， B，10设| PF|2 a，| QF|2 b，由抛物线定义，得| PF| PA|，| QF| QB|，在梯形 ABQP 中，2| MN| PA| QB|2 a2 b，| MN| a b.若 PQ 过焦点 F，则| PQ| PF| QF|2 a2 b，又| MN| a b，且| MN| PQ|，2 a2 b a b， a b0，显然不成立， PQ 不过焦点 F.| MN| PQ|，| PQ| a b，设 PFQ ，由余弦定理得，(a b)24 a24 b28 abcos ， a2 b22 ab4 a24 b28 abcos ，cos ，3a2 3b2 2ab8ab 6ab 2ab8ab 12当且仅当 a b 时取等号，又 (0，)，0 ， 3 PFQ 的最大值为 . 3
