1、1第 19 讲 直角三角形与勾股定理基础满分 考场零失误1.(2018湖南长沙,11,3 分)我国南宋著名数学家秦九韶的著作数书九章里记载有这样一道题目:“问有沙田一块,有三斜,其中小斜五里,中斜十二里,大斜十三里,欲知为田几何?”这道题讲的是:有一块三角形沙田,三条边长分别为 5 里,12 里,13 里,问这块沙田面积有多大?题中的“里”是我国市制长度单位,1 里=500 米,则该沙田的面积为(A)A.7.5 平方千米 B.15 平方千米C.75 平方千米 D.750 平方千米2.(2018温州)我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形(古人称直角三角形为勾股形)分割成一个正方形和两对全等的直角三角
2、形,得到一个恒等式.后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理,如图所示的矩形由两个这样的图形拼成,若 a=3,b=4,则该矩形的面积为( )A.20 B.24 C.994.5323.(2018枣庄)下图是由 8 个全等的矩形组成的大正方形,线段 AB 的端点都在小矩形的顶2点上,如果点 P 是某个小矩形的顶点,连接 PA、PB,那么使ABP 为等腰直角三角形的点 P 的个数是(A)A.2 B.3C.4 D.54.(2018南京,5,2 分)如图,ABCD,且 AB=CD,E、F 是 AD 上两点,CEAD,BFAD.若CE=a,BF=b,EF=c,则 AD 的长为(A)A.a+c B.b+
3、cC.a-b+c D.a+b-c5.(2018吉林,11,3 分)如图,在平面直角坐标系中,A(4,0),B(0,3),以点 A 为圆心,AB 长为半径画弧,交 x 轴的负半轴于点 C,则点 C 坐标为 . 6.(2018黔南州)如图,已知在ABC 中,BC 边上的高 AD 与 AC 边上的高 BE 交于点 F,且BAC=45,BD=6,CD=4,则ABC 的面积为 . 7.(2018台湾)嘉嘉参加机器人设计活动,需操控机器人在 55 的方格棋盘上从 A 点行走至 B 点,且每个小方格皆为正方形,主办单位规定了三条行走路径 R1,R2,R3,其行经位置如图与表所示:路径 编号 图例 行径位置第
4、一条路径 R1 - ACDB3第二条路径 R2 AEDFB第三条路径 R3 AGB已知 A、B、C、D、E、F、G 七点皆落在格线的交点上,且两点之间的路径皆为直线,在无法使用任何工具测量的条件下,请判断 R1、R 2、R 3这三条路径中,最长与最短的路径分别为何?请写出你的答案,并说明理由.8.(2018杭州,21,10 分)如图,在ABC 中,ACB=90,以点 B 为圆心,BC 长为半径画弧,交线段 AB 于点 D;以点 A 为圆心,AD 长为半径画弧,交线段 AC 于点 E,连接 CD.(1)若A=28,求ACD 的度数;(2)设 BC=a,AC=b.线段 AD 的长是方程 x2+2a
5、x-b2=0 的一个根吗?说明理由;若 AD=EC,求 的值.4能力升级 提分真功夫9.(2018南充)如图,在 RtABC 中,ACB=90,A=30,D,E,F 分别为 AB,AC,AD 的中点,若BC=2,则 EF 的长度为(A)A.12.1.32.310.(2018淄博)如图,在 RtABC 中,CM 平分ACB 交 AB 于点 M,过点 M 作 MNBC 交 AC 于点 N,且 MN 平分AMC,若 AN=1,则 BC 的长为(A)A.4 B.6 C.4 D.8311.(2018东营)如图所示,圆柱的高 AB=3,底面直径 BC=3,现在有一只蚂蚁想要从 A 处沿圆柱表面爬到对角 C
6、 处捕食,则它爬行的最短距离是(A)A.31+.32.34+22 .31+212.(2018湖北黄冈,5,3 分)如图,在 RtABC 中,ACB=90,CD 为 AB 边上的高,CE 为 AB边上的中线,AD=2,CE=5,则 CD=(A)5A.2 B.3 C.4 D.2 313.(2018南通)如图,ABC 中,AB=6 cm,AC=4 cm,点 P 以 1 cm/s 的速度2 ,=25从点 B 出发沿边 BAAC 运动到点 C 停止,运动时间为 t s,点 Q 是线段 BP 的中点.(1)若 CPAB,求 t 的值;(2)若BCQ 是直角三角形,求 t 的值;(3)设CPQ 的面积为 S
7、(cm2),求 S(cm2)与 t(s)的关系式,并写出 t 的取值范围.14.(2018扬州)问题呈现如图 1,在边长为 1 的正方形网格中,连接格点 D,N 和 E,C,DN 和 EC 相交于点 P,求 tanCPN的值.方法归纳求一个锐角的三角函数值,我们往往需要找出(或构造出)一个直角三角形.观察发现问题中的CPN 不在直角三角形中,我们常常利用网格画平行线等方法解决此类问题,比如连接格点 M,N,可得 MNEC,则DNM=CPN,连接 DM,那么CPN 就变换到 RtDMN 中.问题解决(1)直接写出图 1 中 tanCPN 的值为 ; (2)如图 2,在边长为 1 的正方形网格中,
8、AN 与 CM 相交于点 P,求 cosCPN 的值;思维拓展(3)如图 3,ABBC,AB=4BC,点 M 在 AB 上,且 AM=BC,延长 CB 到 N,使 BN=2BC,连接 AN 交 CM 的延长线于点 P,用上述方法构造网格求CPN 的度数.6预测猜押 把脉新中考15.(2019改编预测)如图,已知ACB=90,ACBC,分别以ABC 的边 AB,BC,CA 为一边向ABC 外作正方形 ABDE,正方形 BCMN,正方形 CAFG,连接 EF,GM,设AEF,CGM 的面积分别为 S1,S2,则下列结论正确的是 (A)A.S1=S2 B.S1S2 D.S1S 216.(2019改编
9、预测)已知 Word 文本中的图形,在图形的格式中大小菜单下显示有图形的绝对高度和绝对宽度,同一个图形随其放置方向的变化,所显示的绝对高度和绝对宽度也随之变化.如图、是同一个三角形以三条不同的边水平放置时,它们所显示的绝对高度和绝对宽度如下表,现有ABC,已知 AB=AC,当它以底边 BC 水平放置时(如图),它所显示的绝对高度和绝对宽度如下表,那么当ABC 以腰 AB 水平放置时(如图),它所显示的绝对高度和绝对宽度分别是(A)图形 图 图 图 图 图7绝对高度 1.50 2.00 1.20 2.40 ?绝对宽度 2.00 1.50 2.50 3.60 ?A.3.60 和 2.40 B.2.
10、56 和 3.00C.2.56 和 2.88 D.2.88 和 3.0017.阅读下面的情景对话,然后解答问题:老师:我们新定义一种三角形,两边平方和等于第三边平方的 2 倍的三角形叫做奇异三角形.小华:等边三角形一定是奇异三角形!小明:那直角三角形是否存在奇异三角形呢?(1)根据“奇异三角形”的定义,请你判断小华提出的命题:“等边三角形一定是奇异三角形”是 命题(填“真”或“假”); (2)在 RtABC 中,两边长分别是 a=5 、c=10,这个三角形是不是“奇异三角形”?请说明2理由.8答案精解精析基础满分1.A 2.B 3.B 4.D 5.答案 (-1,0)6.答案 607.解析 设每
11、个小方格的边长为 1,第一条路径的长度为 + + =2 + ,12+32 12+12 12+32 102第二条路径的长度为 + +1+ = + + +1,12+12 12+32 12+22 2 105第三条路径的长度为 + =2 + ,42+22 12+32 5 102 + 2 + + + +1,5 10 102 2 105最长路径为 AEDFB,最短路径为 AGB.8.解析 (1)ACB=90,A=28,B=62,由题意知 BD=BC,BCD=BDC=59,ACD=90-BCD=31.(2)线段 AD 的长是方程 x2+2ax-b2=0 的一个根.理由如下:由勾股定理得 AB= = ,2+2
12、 2+2AD= -a,2+2解方程 x2+2ax-b2=0,得 x= = -a,-242+4222+2线段 AD 的长是方程 x2+2ax-b2=0 的一个根.AD=AE,AD=EC,AE=EC= ,2由勾股定理得 a2+b2= ,整理得 = .(12+)2 34能力升级99.B 10.B 11.C 12.C 13.解析 (1)如图 1 中,作 CHAB 于 H.设 BH=x cm,CHAB,CHB=CHA=90,AC 2-AH2=BC2-BH2,(4 )2-(6-x)2=(2 )2-x2,2 5解得 x=2,当点 P 与 H 重合时,CPAB,此时 t=2.(2)如图 2 中,当点 Q 与
13、H 重合时,BP=2BQ=4 cm,此时 t=4.如图 3 中,当 CP=CB=2 cm 时,CQPB,此时 t=6+(4 -2 )=6+4 -2 .5 2 5 2 5(3)S=,06,-324+6+922,66+42.14.解析 (1)2.(2)如图,取格点 D,连接 CD,DM.CDAN,CPN=DCM,易知DCM 是等腰直角三角形,DCM=CDM=45,cosCPN=cosDCM= .22(3)如图,取格点 M,连接 AM、MN.PCMN,CPN=ANM,AM=MN,AMN=90,ANM=MAN=45,CPN=45.10预测猜押15.A 16.D 17.解析 (1)真.设等边三角形的一边为 a,则 a2+a2=2a2,符合“奇异三角形”的定义,“等边三角形一定是奇异三角形”是真命题.(2)当 c 为斜边时,b= =5 ,2-2 2a=b,a 2+c22b 2(或 b2+c22a 2),RtABC 不是奇异三角形.当 b 为斜边时,b= =5 ,2+2 6a 2+b2=200,2c2=200,a 2+b2=2c2,RtABC 是“奇异三角形”.
