1、1第一部分 专题七 第二讲 计数原理与二项式定理A 组1将 6 名男生，4 名女生分成两组，每组 5 人，参加两项不同的活动，每组 3 名男生和 2 名女生，则不同的分配方法有( B )A240 种 B120 种 C60 种 D 180 种解析 不同的分配方法有 C C 120.36242若二项式(2 x )7的展开式中 的系数是 84，则实数 a( C )ax 1x3A2 B 54C1 D24解析 二项式(2 x )7的通项公式为 Tr1 C (2x)7 r( )rC 27 rarx72 r，令ax r7 ax r772 r3，得 r5.故展开式中 的系数是 C 22a584，解得 a1.1
2、x3 573用数字 1,2,3,4,5 组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为( D )A24 B48 C60 D72解析 由题意，可知个位可以从 1,3,5 中任选一个，有 A 种方法，其他数位上的数13可以从剩下的 4 个数字中任选，进行全排列，有 A 种方法，所以奇数的个数为4A A 3432172，故选 D1344(2018濮阳二模)将数字“124467”重新排列后得到不同的偶数个数为( D )A72 B120 C192 D240解析 由题意，末尾是 2 或 6，不同的偶数个数为 C A 120；末尾是 4，不同的偶1235数个数为 A 120.故共有 120120240(个)，故
3、选 D55( )8二项展开式中的常数项为( B )3x2xA56 B112 C56 D112 解析 Tr1 C ( )8 r( )r(1) r2rC x ，令 84 r0， r2，常r83x2x r8 8 4r3数项为(1) 222C 112.2826在( x2 )6的展开式中，常数项等于( D )12xA B 54 54C D1516 1516解析 本题考查二项式定理，二项式( x2 )6的展开式的通项公式为 C (x2)6 r(12x r6)2( )rC x123 r，令 123 r0 得 r4，则二项式( x2 )6的展开式中的常数项为12x 12 r6 12x( )4C .故选 D12
4、 46 15167有 5 名同学参加唱歌、跳舞、下棋三项比赛，每项比赛至少有一人参加，其中甲同学不能参加跳舞比赛，则参赛方案的种数为( B )A112 B100 C92 D76解析 甲同学有 2 种参赛方案，其余四名同学，若只参加甲参赛后剩余的两项比赛，则将四名同学先分为两组，分组方案有 C C 7，再将其分到两项比赛中去，共14 3C24C2A2有分配方案数为 7A 14；若剩下的四名同学参加三项比赛，则将其分成三组，分组方2法数是 C ，分到三项比赛上去的分配方法数是 A ，故共有方案数 C A 36.根据两个基本24 3 243原理共有方法数 2(1436)100(种)8( x2 x1)
5、 5的展开式中 x3的系数为( A )A30 B24 C20 D20解析 本题考查二项式定理1( x2 x)5展开式的第 r1 项 Tr1 C (x2 x)r5r， r0,1,2,3,4,5， Tr1 展开式的第 k1 项为 C C (x2)r k( x)kC C (1)r5kr r5krkx2r k， r0,1,2,3,4,5， k0,1， r，当 2r k3，即Error!或Error!时是含 x3的项，所以含 x3项的系数为 C C (1)C C (1) 3201030.故选 A2512 3539有大小、形状完全相同的 3 个红色小球和 5 个白色小球，排成一排，共有 56 种不同的排列
6、方法？解析 从 8 个位置中选 3 个放红球，有 C 56 种不同方法3810(2018昆明二模)( x2) 6的展开式中 x2的系数为 240.解析 ( x2) 6的展开式的通项公式为 Tr1 C (2) rx6 r，令 6 r2，求得r6r4，可得( x2) 6的展开式中 x2的系数为 C (2) 4240.4611设 a， b， c1,2,3,4,5,6，若以 a， b， c 为三条边的长可以构成一个等腰(含3等边)三角形，则这样的三角形有 27 个解析 由题意知以 a， b， c 为三条边的长可以构成一个等腰(含等边)三角形，(1)先考虑等边三角形情况则 a b c1,2,3,4,5,
7、6，此时有 6 个(2)再考虑等腰三角形情况，若 a， b 是腰，则 a b，当 a b1 时， ca b2，则 c1，与等边三角形情况重复；当 a b2 时， c4，则 c1,3( c2 的情况等边三角形已经讨论了)，此时有 2 个；当 a b3 时， c6，则 c1,2,4,5，此时有 4 个；当 a b4 时， c8，则 c1,2,3,5,6，此时有 5 个；当 a b5 时， c10，有 c1,2,3,4,6，此时有 5 个；当 a b6 时， c12，有 c1,2,3,4,5，此时有 5 个；由分类加法计数原理知有 24555627 个12设有 5 幅不同的国画，2 幅不同的油画，7
8、 幅不同的水彩画(1)从中任选一幅画布置房间，有几种不同的选法？(2)从这些国画、油画、水彩画中各选一幅画布置房间，有几种不同的选法？(3)从这些画中任选出两幅不同画种的画布置房间，有几种不同的选法？解析 (1)利用分类加法计数原理：52714(种)不同的选法(2)国画有 5 种不同选法，油画有 2 种不同的选法，水彩画有 7 种不同的选法，利用分步乘法计数原理得到 52770(种)不同的选法(3)选法分三类，分别为选国画与油画、油画与水彩画、国画与水彩画，由分类加法计数原理和分步乘法计数原理知共有 52275759(种)不同的选法B 组1安排 6 名歌手演出顺序时，要求歌手乙、丙均排在歌手甲
9、的前面或者后面，则不同排法的种数是( D )A180 B240 C360 D480解析 将 6 个位置依次编号为 1、2、3、6 号，当甲排在 1 号或 6 号位时，不同排法种数为 2A 种；当甲排在 2 号或 5 号位时，不同排法种数为 2A A 种；当甲排在 35 13 4号或 4 号位置时，不同排法种数有 2(A A A A )种，23 233共有不同排法种数，2A 2A A 2(A A A A )480 种，故选 D5 134 23 2332如图， M、 N、 P、 Q 为海上四个小岛，现要建造三座桥，将这四个小岛连接起来，则不同的建桥方法有( C )A8 种 B12 种 C16 种
10、D20 种4解析 把四个小岛看作四个点，可以两两之间连成 6 条线段，任选 3 条，共有 C 种36情形，但有 4 种情形不满足题意，不同的建桥方法有 C 416 种，故选 C363设(1 x x2)n a0 a1x a2nx2n，则 a2 a4 a2n的值为( B )A B 3n 12 3n 12C3 n2 D3 n解析 (赋值法)令 x1，得 a0 a1 a2 a2n1 a2n3 n.再令 x1 得，a0 a1 a2 a2n1 a2n1.令 x0 得 a01.则得 2(a0 a2 a2n)3 n1， a0 a2 a2n ，3n 12 a2 a4 a2n a0 1 .3n 12 3n 12
11、3n 124用数字 0,1,2,3,4,5 组成没有重复数字的五位数，其中比 40 000 大的偶数共有( B )A144 个 B120 个 C96 个 D72 个解析 据题意，万位上只能排 4,5.若万位上排 4，则有 2A34个；若万位上排 5，则有 3A34个所以共有 2A343 A34524120(个)故选 B5若( x2 )n的展开式中前三项的系数成等差数列，则展开式中一次项的系数为( 12xB )A B 32 74C6 D7解析 因为( x2 )n的展开式通项为 Tr1 C (x2)n r( )r( )rC x2n3 r，其系数12x rn 12x 12 rn为( )rC .故展开
12、式中前三项的系数为 C ， C ， C ，由已知可得这三个数成等差数列，12 rn 0n 121n 142n所以 C C 2 C ，即 n29 n80，解得 n8 或 n1(舍去)0n142n 121n令 2n3 r163 r1，可得 r5，所以一次项的系数为( )5C .12 58 746(2018太原模拟)用 5,6,7,8,9 组成没有重复数字的五位数，其中有且仅有一个奇5数夹在两个偶数之间的五位数的个数为( A )A36 B48 C72 D120解析 第一步，将 3 个奇数全排列有 A 种方法；3第二步，将 2 个偶数插入，使它们之间只有一个奇数，共 3 种方法；第三步，将 2 个偶数
13、全排列有 A 种方法，所以，所有的方法数是 3A A 36.2 327(2018漳州二模)已知(2 x1) 10 a0 a1x a2x2 a9x9 a10x10，则a2 a3 a9 a10的值为( D )A20 B0 C1 D20解析 令 x1 得 a0 a1 a2 a9 a101，再令 x0，得 a01，所以a1 a2 a9 a100，又易知 a1C 21(1) 920，所以910a2 a3 a9 a1020.8(2018江西宜春二模)若( x3 )n的展开式中含有常数项，且 n 的最小值为 a，1x则 dx( C )a aa2 x2A0 B 6863C D49492解析 由展开式的通项 ，
14、由展开式中含有常数项，得 3n r0 有整数解，72故 n 的最小值为 7， dx .7 772 x2 4929将编号 1,2,3,4 的四个小球放入 3 个不同的盒子中，每个盒子里至少放 1 个，则恰有 1 个盒子放有 2 个连号小球的所有不同放法有 18 种(用数字作答)解析 先把 4 个小球分为(2,1,1)一组，其中 2 个连号小球的种类有(1,2，)，(2,3)，(3,4)为一组，分组后分配到三个不同的盒子里，共有 C A 18 种13310现有 16 张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各 4 张，从中任取 3 张，要求取出的这些卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多 1 张
15、，不同取法的种数为 472.解析 由题意，不考虑特殊情况，共有 C 种取法，其中每一种卡片各取三张，有3164C 种取法，两种红色卡片，共有 C C 种取法，故所求的取法共有34 24 126C 4C C C 5601672472.316 34 241211若对于任意实数 x，有 x5 a0 a1(x2) a5(x2) 5，则 a1 a3 a5 a089.解析 令 x3 得 a0 a1 a53 5，令 x1 得 a0 a1 a51，两式相减得a1 a3 a5 121，令 x2 得 a02 532，故 a1 a3 a5 a01213289.35 1212如果(3 x )n的展开式中各项系数之和为
16、 128，则展开式中 的系数是 21.13x2 1x3解析 (3 x )n的展开式的各项系数之和为(31 )n2 n128，所以 n7，13x2 1312所以(3 x )n(3 x )7，其展开式的通项为 Tr1 C (3x)7 r( )13x2 13x2 r7 13x2rC 37 rx7 r( x )r(1) rC 37 rx7 r，由 7 r3，得 r6，所以 的r723 r7 53 53 1x3系数是 C (1) 6321.r713某医科大学的学生中，有男生 12 名、女生 8 名在某市人民医院实习，现从中选派5 名学生参加青年志愿者医疗队(1)某男生甲与某女生乙必须参加，共有多少种不同
17、的选法？(2)甲、乙均不能参加，有多少种选法？(3)甲、乙二人至少有一人参加，有多少种选法？(4)医疗队中男生和女生都至少有一名，有多少种选法？解析 (1)只需从其他 18 人中选 3 人即可，共有 C 816(种)318(2)只需从其他 18 人中选 5 人即可，共有 C 8568(种)518(3)分两类：甲、乙中只有一人参加，则有 C C 种选法；甲、乙两人都参加，则有12 418C 种选法318故共有 C C C 6936(种)12 418 318(4)方法一(直接法)：男生和女生都至少有一名的选法可分为四类：1 男 4 女；2 男 3女；3 男 2 女；4 男 1 女，所以共有 C C
18、 C C C C C C 14656(种)12 48 21 38 312 28 412 18方法二(间接法)：由总数中减去 5 名都是男生和 5 名都是女生的选法种数，得C (C C )14656(种)520 58 51214设 f(n)( a b)n(nN *， n2)，若 f(n)的展开式中，存在某连续 3 项，其二项式系数依次成等差数列，则称 f(n)具有性质 P.(1)求证： f(7)具有性质 P.(2)若存在 n2016，使 f(n)具有性质 P，求 n 的最大值解析 (1) f(7)的展开式中第二、三、四项的二项式系数分别为7C 7，C 21，C 35，17 27 37因为 C C 2C ，即 C ，C ，C 成等差数列，所以 f(7)具有性质 P.17 37 27 17 27 37(2)设 f(n)具有性质 P，则存在 kN *,1 k n1，使 C ，C ，C 成等差数列，k 1n kn k 1n所以 C C 2C ，k 1n k 1n kn整理得：4 k24 nk( n2 n2)0，即(2 k n)2 n2，所以 n2 为完全平方数，又 n2016，由于 4422016245 2，所以 n 的最大值为 44221934，此时 k989 或 945.
