1、1专题能力训练 20 概率、统计与统计案例一、能力突破训练1.某公司的班车在 7:30,8:00,8:30发车,小明在 7:50至 8:30 之间到达发车站乘坐班车,且到达发车站的时刻是随机的,则他等车时间不超过 10分钟的概率是( )A. B.13 12C. D.23 342.已知 x与 y之间的一组数据:x 0 1 2 3y m 3 5.5 7已求得关于 y与 x的线性回归方程为 =2.1x+0.85,则 m的值为( )A.1 B.0.85 C.0.7 D.0.53.某市 2016年各月的平均气温()数据的茎叶图如下:则这组数据的中位数是( )2A.19 B.20 C.21.5 D.234
2、.(2018全国 ,理 8)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果 .哥德巴赫猜想是“每个大于 2的偶数可以表示为两个素数的和”,如 30=7+23.在不超过 30的素数中,随机选取两个不同的数,其和等于 30的概率是( )A. B.112 114C. D.115 1185.为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系,随机调查了该社区 5户家庭,得到如下统计数据表:收入 x/万元 8.2 8.6 10.0 11.3 11.9支出 y/万元 6.2 7.5 8.0 8.5 9.8根据上表可得回归直线方程 x+ ,其中 =0.76, .据此估计,该社区一户年收入为 15= =
3、万元家庭的年支出为( )A.11.4万元B.11.8万元C.12.0万元D.12.2万元6.如图,点 A的坐标为(1,0),点 C的坐标为(2,4),函数 f(x)=x2.若在矩形 ABCD内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率等于 . 7.有一个底面圆的半径为 1,高为 2的圆柱,点 O为这个圆柱底面圆的圆心,在这个圆柱内随机取一点 P,则点 P到点 O的距离大于 1的概率为 . 38.某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品,产量分别为 200,400,300,100件 .为检验产品的质量,现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取 60件进行检验,则应从丙种型号的产品中抽取 件 . 9.
4、一辆小客车有 5个座位,其座位号为 1,2,3,4,5,乘客 P1,P2,P3,P4,P5的座位号分别为 1,2,3,4,5,他们按照座位号从小到大的顺序先后上车,乘客 P1因身体原因没有坐 1号座位,这时司机要求余下的乘客按以下规则就座:如果自己的座位空着,就只能坐自己的座位;如果自己的座位已有乘客就座,就在这 5个座位的剩余空位中任意选择座位 .(1)若乘客 P1坐到了 3号座位,其他乘客按规则就座,则此时共有 4种坐法 .下表给出了其中两种坐法,请填入余下两种坐法(将乘客就座的座位号填入表中空格处);乘客 P1 P2 P3 P4 P53 2 1 4 53 2 4 5 1座位号(2)若乘客
5、 P1坐到了 2号座位,其他乘客按规则就座,求乘客 P5坐到 5号座位的概率 .10.(2018全国 ,理 18)某工厂为提高生产效率,开展技术创新活动,提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式 .为比较两种生产方式的效率,选取 40名工人,将他们随机分成两组,每组 20人,第一组工人用第一种生产方式,第二组工人用第二种生产方式 .根据工人完成生产任务的工作时间(单位:min)绘制了如下茎叶图:(1)根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高?并说明理由 .(2)求 40名工人完成生产任务所需时间的中位数 m,并将完成生产任务所需时间超过 m和不超过 m的工人数填入下面的列联表:超过 m 不超过 m
6、第一种生产方式4第二种生产方式(3)根据(2)中的列联表,能否有 99%的把握认为两种生产方式的效率有差异?附: K2= ,(-)2(+)(+)(+)(+)P(K2 k) 0.050 0.010 0.001k 3.841 6.635 10.82811.下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量 x(单位:t)与相应的生产能耗 y(单位:吨标准煤)的几组对照数据 .x 3 4 5 6y 2.5 3 4 4.5(1)请画出上表数据的散点图;(2)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出 y关于 x的线性回归方程 x+ ;= (3)已知该厂技术改造前生产 100 t甲产品的生产能耗为
7、90吨标准煤 .试根据(2)求出的线性回归方程,预测生产 100 t甲产品的生产能耗比技术改造前降低多少吨标准煤?(参考数值:3 2.5+43+54+64.5=66.5)二、思维提升训练12.某城市为了解游客人数的变化规律,提高旅游服务质量,收集并整理了 2014年 1月至 2016年 12月期间月接待游客量(单位:万人)的数据,绘制了下面的折线图 .5根据该折线图,下列结论错误的是( )A.月接待游客量逐月增加B.年接待游客量逐年增加C.各年的月接待游客量高峰期大致在 7,8月D.各年 1月至 6月的月接待游客量相对于 7月至 12月,波动性更小,变化比较平稳13.某产品在某零售摊位的零售价
8、 x(单位:元)与每天的销售量 y(单位:个)的统计资料如下表所示:由表可得回归直线方程 x+ 中的 =-4,据此模型预测零售价为 15元时,每天的销售量为( )= x 16 17 18 19y 50 34 41 31A.51个 B.50个C.49个 D.48个14.从分别标有 1,2,9的 9张卡片中不放回地随机抽取 2次,每次抽取 1张 .则抽到的 2张卡片上的数奇偶性不同的概率是( )A. B. C. D.518 49 59 7915.从区间0,1随机抽取 2n个数 x1,x2,xn,y1,y2,yn,构成 n个数对( x1,y1),(x2,y2),(xn,yn),其中两数的平方和小于
9、1的数对共有 m个,则用随机模拟的方法得到的圆周率 的近似值为( )A. B.4 2C. D.4 216.如图,在边长为 e(e为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆,则它落到阴影部分的概率为 . 617.记集合 A=(x,y)|x2+y24和集合 B=(x,y)|x+y-20, x0, y0表示的平面区域分别为 1和 2,若在区域 1内任取一点 M(x,y),则点 M落在区域 2的概率为 . 18.(2018全国 ,理 18)下图是某地区 2000年至 2016年环境基础设施投资额 y(单位:亿元)的折线图 .为了预测该地区 2018年的环境基础设施投资额,建立了 y与时间变量 t的两个
10、线性回归模型 .根据2000年至 2016年的数据(时间变量 t的值依次为 1,2,17)建立模型 : =-30.4+13.5t;根据2010年至 2016年的数据(时间变量 t的值依次为 1,2,7)建立模型 : =99+17.5t.(1)分别利用这两个模型,求该地区 2018年的环境基础设施投资额的预测值;(2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠?并说明理由 .19.A,B,C三个班共有 100名学生,为调查他们的体育锻炼情况,通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间,数据如下表(单位:小时):A班 6 6.5 7 7.5 8B班 6 7 8 9 10 11 12C班 3 4.5 6 7.
11、5 9 10.5 12 13.5(1)试估计 C班的学生人数;(2)从 A班和 C班抽出的学生中,各随机选取一人,A 班选出的人记为甲,C 班选出的人记为乙.假设所有学生的锻炼时间相互独立,求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率;7(3)再从 A,B,C三个班中各随机抽取一名学生,他们该周的锻炼时间分别是 7,9,8.25(单位:小时),这 3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为 1,表格中数据的平均数记为 0,试判断 0和 1的大小 .(结论不要求证明)20.某学校研究性学习小组对该校高三学生视力情况进行调查,在高三的全体 1 000名学生中随机抽取了 100名学生的体检表,并得
12、到如下直方图:(1)若直方图中前三组的频数成等比数列,后四组的频数成等差数列,试估计全年级视力在 5.0以下的人数;(2)学习小组成员发现,学习成绩突出的学生,近视的比较多,为了研究学生的视力与学习成绩是否有关系,对年级名次在 150名和 9511 000名的学生进行了调查,得到如下数据:年级名次是否近视 150 9511 000近视 41 32不近视 9 18根据表中的数据,能否在犯错误的概率不超过 0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系?(3)在(2)中调查的 100名学生中,按照分层抽样在不近视的学生中抽取了 9人,进一步调查他们良好的护眼习惯,并且在这 9人中任取 3人,记名次在 1
13、50名的学生人数为 X,求 X的分布列和数学期望 .附:P(K2 k0) 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005k0 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879K2= ,其中 n=a+b+c+d.(-)2(+)(+)(+)(+)8专题能力训练 20 概率、统计与统计案例一、能力突破训练1.B 解析 这是几何概型问题,总的基本事件空间如图所示,共 40分钟,等车时间不超过 10分钟的时间段为 7:50至 8:00和 8:20至 8:30,共 20分钟,故他等车时间不超过 10分钟的概率为 P=,故选 B.2040=122.D 解析 由题意,得 =1.5, (m+3
14、+5.5+7)= ,将( )代入线性回归方程 =2.1x+0.85,得=14 +15.54 , m=0.5.3.B 解析 由茎叶图可知,这组数据的中位数为 =20.20+2024.C 解析 不超过 30的素数有“2,3,5,7,11,13,17,19,23,29”共 10个 .其中和为 30的有7+23,11+19,13+17共 3种情况,故 P=3210=115.5.B 解析 =10, =8,=8.2+8.6+10+11.3+11.95 =6.2+7.5+8+8.5+9.85-0.76 =8-0.7610=0.4.= =0.76x+0.4.当 x=15时, =0.7615+0.4=11.8.
15、6 解析 S 阴影 = (4-x2)dx= ,S 矩形 ABCD=4,.512 21 53P=阴影矩形 =512.7 解析 设“ 点 P到点 O的距离大于 1”为事件 A,则 表示事件“点 P到点 O的距离小于或等于.23 1”.在圆柱内以 O为球心,以 1为半径作半球,则半球的体积 V 半球 = 13= ,1243 239又 V 圆柱 = 122=2,由几何概型, P( )= 故所求事件 A的概率 P(A)=1-P( )=1-半球圆柱 =13. 13=23.8.18 解析 抽取比例为 ,故应从丙种型号的产品中抽取 300 =18(件),答案为 18.601 000=350 3509.解 (1
16、)当乘客 P1坐在 3号位置上,此时 P2的位置没有被占,只能坐在 2位置, P3位置被占,可选剩下的任何一个座位,即可选 1,4,5;当 P3选 1位置, P4位置没被占,只能选 4位置, P5选剩下的,只有一种情况;当 P3选 4位置, P4可选 5位置也可选 1位置, P5选剩下的,有两种情况;当 P3选 5位置, P4只可选 4位置, P5选剩下的,有一种情况,填表如下:乘客 P1 P2 P3 P4 P53 2 1 4 53 2 4 5 13 2 4 1 5座位号3 2 5 4 1(2)若乘客 P1坐到了 2号座位,其他乘客按规则就坐,则所有可能的坐法可用下表表示:于是,所有可能的坐法
17、共 8种 .设“乘客 P5坐到 5号座位”为事件 A,则事件 A中的基本事件的个数为 4,所以 P(A)=48=12.所以乘客 P5坐到 5号座位的概率是12.10.解 (1)第二种生产方式的效率更高 .10理由如下: 由茎叶图可知,用第一种生产方式的工人中,有 75%的工人完成生产任务所需时间至少 80分钟,用第二种生产方式的工人中,有 75%的工人完成生产任务所需时间至多 79分钟 .因此第二种生产方式的效率更高 . 由茎叶图可知,用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为 85.5分钟,用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为 73.5分钟 .因此第二种生产方式的效
18、率更高 . 由茎叶图可知,用第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间高于 80分钟;用第二种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间低于 80分钟 .因此第二种生产方式的效率更高 . 由茎叶图可知,用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎 8上的最多,关于茎 8大致呈对称分布;用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎 7上的最多,关于茎 7大致呈对称分布 .又用两种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布的区间相同,故可以认为用第二种生产方式完成生产任务所需的时间比用第一种生产方式完成生产任务所需的时间更少 .因此第二种生产方式的效率更高 .以上给出了 4种理由,考生答出其
19、中任意一种或其他合理理由均可得分 .(2)由茎叶图知 m= =80.79+812列联表如下:超过 m 不超过 m第一种生产方式 15 5第二种生产方式 5 15(3)由于 K2= =106.635,所以有 99%的把握认为两种生产方式的效40(1515-55)220202020率有差异 .11.解 (1)由题设所给数据,可得散点图如图 .(2)由对照数据,计算得 =86, =4.5(t), =3.5(t).4=12 =3+4+5+64 =2.5+3+4+4.5411已知 xiyi=66.5,4=1所以由最小二乘法确定的回归方程的系数为=0.7,= 4=1-44=12-42=66.5-44.53
20、.586-44.52=3.5-0.74.5=0.35.=因此,所求的线性回归方程为 =0.7x+0.35.(3)由(2)的回归方程及技术改造前生产 100 t甲产品的生产能耗,得降低的生产能耗为 90-(0.7100+0.35)=19.65(吨标准煤) .二、思维提升训练12.A 解析 由题图可知 2014年 8月到 9月的月接待游客量在减少,故 A错误 .13.C 解析 由题意知 =17.5, =39,代入回归直线方程得 =109,即得回归直线方程 =-4x+109,将 x=15代入回归方程,得 =-415+109=49,故选 C.14.C 解析 从分别标有 1,2,9的 9张卡片中不放回地
21、随机抽取 2次,每次抽取 1张,共有 种29不同情况 .其中 2张卡片上的数奇偶性不同的有( )种情况,则抽到的 2张卡片上的数奇1514+1415偶性不同的概率 P= 故选 C.1514+141529 =59.15.C 解析 利用几何概型求解,由题意可知, ,所以 =14圆正方形 =141212 = 4.16 解析 S 阴 =2 (e-ex)dx=2(ex-ex) =2,S 正方形 =e2,P=.22 10 |10 22.17 解析 作圆 O:x2+y2=4,区域 1就是圆 O内部(含边界),其面积为 4 . 12区域 2就是图中 OAB内部(含边界),且 S OAB= 22=2.1212由
22、几何概型,点 M落在区域 2的概率 P=圆 =12.18.解 (1)利用模型 ,该地区 2018年的环境基础设施投资额的预测值为 =-30.4+13.519=226.1(亿元) .利用模型 ,该地区 2018年的环境基础设施投资额的预测值为 =99+17.59=256.5(亿元) .(2)利用模型 得到的预测值更可靠 .理由如下:(i)从折线图可以看出,2000 年至 2016年的数据对应的点没有随机散布在直线 y=-30.4+13.5t上下,这说明利用 2000年至 2016年的数据建立的线性模型 不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势 .2010年相对 2009年的环境基础设施投资额有
23、明显增加,2010 年至 2016年的数据对应的点位于一条直线的附近,这说明从 2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势,利用 2010年至 2016年的数据建立的线性模型 =99+17.5t可以较好地描述 2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势,因此利用模型 得到的预测值更可靠 .(ii)从计算结果看,相对于 2016年的环境基础设施投资额 220亿元,由模型 得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低,而利用模型 得到的预测值的增幅比较合理,说明利用模型 得到的预测值更可靠 .(以上给出了 2种理由,答出其中任意一种或其他合理理由均可得分)19.解 (1)由题意知,抽出
24、的 20名学生中,来自 C班的学生有 8名 .根据分层抽样方法,C 班的学生人数估计为 100 =40.820(2)设事件 Ai为“甲是现有样本中 A班的第 i个人”, i=1,2,5,事件 Cj为“乙是现有样本中 C班的第 j个人”, j=1,2,8.由题意可知, P(Ai)= ,i=1,2,5;P(Cj)= ,j=1,2,8.15 18P(AiCj)=P(Ai)P(Cj)= ,i=1,2,5,j=1,2,8.1518=14013设事件 E为“该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长” .由题意知,E=A1C1 A1C2 A2C1 A2C2 A2C3 A3C1 A3C2 A3C3 A4C1 A4C2
25、 A4C3 A5C1 A5C2 A5C3 A5C4.因此 P(E)=P(A1C1)+P(A1C2)+P(A2C1)+P(A2C2)+P(A2C3)+P(A3C1)+P(A3C2)+P(A3C3)+P(A4C1)+P(A4C2)+P(A4C3)+P(A5C1)+P(A5C2)+P(A5C3)+P(A5C4)=15140=38.(3) 13.841.100(4118-329)250507327 =30073因此在犯错误的概率不超过 0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系 .(3)依题意 9人中年级名次在 150名和 9511 000名分别有 3人和 6人,X可取 0,1,2,3,P(X=0)= ;P(X=1)= ,3639=521261339=1528P(X=2)= ;P(X=3)=162339=3143339=184.X的分布列为X 0 1 2 3P521 1528 314 18414X的数学期望 E(X)=0 +1 +2 +3 =1.5211528314184
