1、1专题对点练 23 圆锥曲线中的最值、范围、证明问题1.(2018全国 ,文 20)设抛物线 C:y2=2x,点 A(2,0),B(-2,0),过点 A的直线 l与 C交于 M,N两点 .(1)当 l与 x轴垂直时,求直线 BM的方程;(2)证明: ABM= ABN.2.已知椭圆 C的两个顶点分别为 A(-2,0),B(2,0),焦点在 x轴上,离心率为 .32(1)求椭圆 C的方程;(2)点 D为 x轴上一点,过 D作 x轴的垂线交椭圆 C于不同的两点 M,N,过 D作 AM的垂线交 BN于点E.求证: BDE与 BDN的面积之比为 4 5.3.已知抛物线 x2=2py(p0)的焦点为 F,
2、直线 x=4与 x轴的交点为 P,与抛物线的交点为 Q,且|QF|= |PQ|.54(1)求抛物线的方程;(2)如图所示,过 F的直线 l与抛物线相交于 A,D两点,与圆 x2+(y-1)2=1相交于 B,C两点( A,B两点相邻),过 A,D两点分别作抛物线的切线,两条切线相交于点 M,求 ABM与 CDM的面积之积的最小值 .24.已知椭圆 C: =1(ab0)的左、右交点分别为 F1,F2,且 |F1F2|=4 ,A 是椭圆上x2a2+y2b2 3 ( 3,- 132)一点 .(1)求椭圆 C的标准方程和离心率 e的值;(2)若 T为椭圆 C上异于顶点的任意一点, M,N分别为椭圆的右顶
3、点和上顶点,直线 TM与 y轴交于点P,直线 TN与 x轴交于点 Q,求证: |PN|QM|为定值 .5.已知圆 O:x2+y2=r2,直线 x+2 y+2=0与圆 O相切,且直线 l:y=kx+m与椭圆 C: +y2=1相交于 P,Q2x22两点, O为坐标原点 .(1)若直线 l过椭圆 C的左焦点,且与圆 O交于 A,B两点,且 AOB=60,求直线 l的方程;(2)如图,若 POQ的重心恰好在圆上,求 m的取值范围 .6.已知椭圆 C与双曲线 y2-x2=1有共同焦点,且离心率为 .63(1)求椭圆 C的标准方程;(2)若 A为椭圆 C的下顶点, M,N为椭圆 C上异于 A的两点,直线
4、AM与 AN的斜率之积为 1. 求证:直线 MN恒过定点,并求出该定点坐标; 若 O为坐标原点,求 的取值范围 .OMON7.已知抛物线 C:y2=2px(p0)的焦点为 F,A为 C上位于第一象限的任意一点,过点 A的直线 l交 C于另一点 B,交 x轴的正半轴于点 D.(1)若当点 A的横坐标为 3,且 ADF为等边三角形时,求 C的方程;(2)对于(1)中求出的抛物线 C,若点 D(x0,0) ,记点 B关于 x轴的对称点为 E,AE交 x轴于(x012)点 P,且 AP BP,求证:点 P的坐标为( -x0,0),并求点 P到直线 AB的距离 d的取值范围 .3专题对点练 23答案1.
5、(1)解 当 l与 x轴垂直时, l的方程为 x=2,可得 M的坐标为(2,2)或(2, -2).所以直线 BM的方程为 y= x+1或 y=- x-1.12 12(2)证明 当 l与 x轴垂直时, AB为 MN的垂直平分线,所以 ABM= ABN.当 l与 x轴不垂直时,设 l的方程为 y=k(x-2)(k0), M(x1,y1),N(x2,y2),则 x10,x20.由 得 ky2-2y-4k=0,可知 y1+y2= ,y1y2=-4.y=k(x-2),y2=2x 2k直线 BM,BN的斜率之和为 kBM+kBN= .y1x1+2+ y2x2+2=x2y1+x1y2+2(y1+y2)(x1
6、+2)(x2+2)将 x1= +2,x2= +2及 y1+y2,y1y2的表达式代入 式分子,可得 x2y1+x1y2+2(y1+y2)=y1k y2k=0.2y1y2+4k(y1+y2)k = -8+8k所以 kBM+kBN=0,可知 BM,BN的倾斜角互补,所以 ABM= ABN.综上, ABM= ABN.2.(1)解 设椭圆 C的方程为 =1(ab0).x2a2+y2b2由题意得 解得 c= .a=2,ca= 32, 3所以 b2=a2-c2=1.所以椭圆 C的方程为 +y2=1.x24(2)证明 设 M(m,n),则 D(m,0),N(m,-n).由题设知 m 2,且 n0 .直线 A
7、M的斜率 kAM= ,nm+2故直线 DE的斜率 kDE=- .m+2n所以直线 DE的方程为 y=- (x-m),直线 BN的方程为 y= (x-2).m+2n n2-m联立 y= -m+2n(x-m),y= n2-m(x-2),解得点 E的纵坐标 yE=- .n(4-m2)4-m2+n2由点 M在椭圆 C上,得 4-m2=4n2.所以 yE=- n.45又 S BDE= |BD|yE|= |BD|n|,S BDN= |BD|n|,12 25 12所以 BDE与 BDN的面积之比为 4 5.3.解 (1)由题意可知 P(4,0),Q ,|QF|= ,(4,8p) 8p+p2由 |QF|= |
8、PQ|,则 ,解得 p=2,54 8p+p2=548p 抛物线的方程为 x2=4y.(2)设 l:y=kx+1,A(x1,y1),D(x2,y2),联立 整理得 x2-4kx-4=0,则 x1x2=-4,y=kx+1,x2=4y, 由 y= x2,求导 y= ,14 x2直线 MA:y- (x-x1),x214=x12即 y= x- ,x12 x2144同理求得 MD:y= x- ,x22 x224联立 解得 则 M(2k,-1),y=x1x2-x214,y=x2x2-x224, x=2k,y= -1,M 到 l的距离 d= =2 ,2k2+21+k2 1+k2 ABM与 CDM的面积之积 S
9、 ABMS CDM= |AB|CD|d214= (|AF|-1)(|DF|-1)d214= y1y2d2= d2=1+k21,14 14x21x2216当且仅当 k=0时取等号,当 k=0时, ABM与 CDM的面积之积取最小值 1.4.(1)解 由已知得 c=2 ,F1(-2 ,0),F2(2 ,0), 2a=|AF1|+|AF2|3 3 3= +( 3+2 3)2+(- 132)2=8.( 3-2 3)2+(- 132)2a= 4,b 2=a2-c2=4,e= .ca=12 椭圆 C的标准方程为 =1,e= .x216+y24 12(2)证明 T(x0,y0)(x00, y00),则 =1
10、.x2016+y204M(4,0),N(0,2), 直线 TN的方程为 y-2= x,令 y=0,得 Q ,y0-2x0 (-2x0y0-2,0)直线 TM的方程为 y= (x-4),y0x0-4令 x=0,得 P .(0,-4y0x0-4)则 |MQ|= ,则 |PN|= .|4+2x0y0-2|=|2x0+4y0-8y0-2 | |2+ 4y0x0-4|=|2x0+4y0-8x0-4 |QM|PN|= =16,|4(x0+2y0-4)2(y0-2)(x0-4)|=|16(x0y0-2x0-4y0+8)x0y0-2x0-4y0+8|PN|QM| 为定值 16.5.解 (1) 直线 x+2 y
11、+2=0与圆 O:x2+y2=r2相切,2r= ,|0+0+2|12+(22)2=23x 2+y2= .49 左焦点坐标为 F(-1,0),设直线 l的方程为 y=k(x+1),由 AOB=60,得圆心 O到直线 l的距离 d= .33又 d= , ,|k|k2+1 |k|k2+1= 13解得 k= ,22 直线 l的方程为 y= (x+1).22(2)设 P(x1,y1),Q(x2,y2),由 得(1 +2k2)x2+4kmx+2m2-2=0.x22+y2=1,y=kx+m由 0,得 2k2+1m2,()且 x1+x2=- .4km1+2k25由 POQ重心 恰好在圆 x2+y2= 上,得(
12、 x1+x2)2+(y1+y2)2=4,(x1+x23 ,y1+y23 ) 49即( x1+x2)2+k(x1+x2)+2m2=4,即(1 +k2)(x1+x2)2+4km(x1+x2)+4m2=4. +4m2=4,16(1+k2)k2m2(1+2k2)2 - 16k2m21+2k2化简得 m2= ,代入()得 k0 .又 m2= =1+ =1+ .(1+2k2)24k2+1 (1+2k2)24k2+1 4k44k2+1 44k2+1k4由 k0,得 0, 0,m 21,得 m的取值范围为 m1.1k2 4k2+1k46.解 (1)设椭圆 C的标准方程为 =1(ab0),y2a2+x2b2由题
13、意可得 a2-b2=2,e= ,c= ,解得 a= ,b=1,ca= 63 2 3即有椭圆的标准方程为 +x2=1;y23(2) 证明:设 M(x1,y1),N(x2,y2),由 A(0,- ),直线 AM与 AN的斜率之积为 1,可得 =1,3y1+ 3x1 y2+ 3x2即有 x1x2=y1y2+ (y1+y2)+3,3由题意可知直线 MN的斜率存在且不为 0,设直线 MN:y=kx+t,代入椭圆方程,可得(3 +k2)x2+2ktx+t2-3=0,可得 x1x2= ,x1+x2=- ,t2-33+k2 2kt3+k2y1+y2=k(x1+x2)+2t=2t- ,2k2t3+k2= 6t3
14、+k2y1y2=k2x1x2+kt(x1+x2)+t2=k2 +kt +t2= ,t2-33+k2 (- 2kt3+k2) 3t2-3k23+k2则 +3,t2-33+k2=3t2-3k23+k2 + 3(6t3+k2)化为 t2+3 t+6=0,3解得 t=-2 (- 舍去),3 3则直线 MN的方程为 y=kx-2 ,3即直线 MN恒过定点,该定点坐标为(0, -2 );3 由 可得 =x1x2+y1y2OMON=t2-33+k2+3t2-3k23+k2 =4t2-3-3k23+k2= ,45-3k23+k2由(3 +k2)x2+2ktx+t2-3=0,可得 = 4k2t2-4(t2-3)
15、(3+k2)=48k2-36(3+k2)0,解得 k29.令 3+k2=m,则 m12,且 k2=m-3,即有 -3,45-3k23+k2=45-3(m-3)m =54m由 m12,可得 -30,y1+y2=4m,y1y2=-y2=4x,x=my+x0 124x0,设 P的坐标为( xP,0),则 =(x2-xP,-y2), =(x1-xP,y1),PE PA6由题知 ,所以( x2-xP)y1+y2(x1-xP)=0,即 x2y1+y2x1=(y1+y2)xP= ,显然PE PAy22y1+y21y24 =y1y2(y1+y2)4y1+y2=4m0,所以 xP= =-x0,即证 xP(-x0,0).y1y24由题知 EPB为等腰直角三角形,所以 kAP=1,即 =1,也即 =1,所以 y1-y2=4, (y1+y2)2-4y1y2=16,y1+y2x1-x2 y1+y214(y21-y22)即 16m2+16x0=16,m2=1-x0,x01,又因为 x0 ,12所以 x01,d= ,令 =t ,x0=2-t2,d= -2t,易12 |-x0-x0|1+m2 = 2x01+m2= 2x02-x0 2-x0 (1,62 2(2-t2)t =4t知 f(t)= -2t在 上是减函数,所以 d .4t (1,62 63,2)
