1、15 向心加速度学考 选考学习目标1.理解向心加速度的概念2知道向心加速度和线速度、角速度的关系式3能够运用向心加速度公式求解有关问题.考试要求d d一、向心加速度的方向1定义：任何做匀速圆周运动的物体的加速度都指向圆心，这个加速度叫做向心加速度2向心加速度的作用：向心加速度的方向总是与速度方向垂直，故向心加速度的作用只改变速度的方向，对速度的大小无影响二、向心加速度的大小1向心加速度公式：(1)基本公式 an 2r.v2r(2)拓展公式 an r v.4 2T22向心加速度的公式既适用于匀速圆周运动，也适用于非匀速圆周运动1判断下列说法的正误(1)匀速圆周运动的加速度始终不变()(2)匀速圆
2、周运动是匀变速运动()2(3)匀速圆周运动的加速度的大小不变()(4)根据 a 知加速度 a 与半径 r 成反比()v2r(5)根据 a 2r 知加速度 a 与半径 r 成正比()2在长 0.2 m 的细绳的一端系一小球，绳的另一端固定在水平桌面上，使小球以 0.6 m/s的速度在桌面上做匀速圆周运动，则小球运动的角速度为_，向心加速度为_答案 3 rad/s 1.8 m/s 2解析 角速度 rad/s3 rad/svr 0.60.2小球运动的向心加速度 an m/s21.8 m/s 2.v2r 0.620.2一、向心加速度及其方向如图甲所示，表示地球绕太阳做匀速圆周运动(近似的)；如图乙所示
3、，表示光滑桌面上一个小球由于细线的牵引，绕桌面上的图钉做匀速圆周运动(1)在匀速圆周运动过程中，地球、小球的运动状态发生变化吗？若变化，变化的原因是什么？(2)地球受到的力沿什么方向？小球受到几个力的作用，合力沿什么方向？(3)地球和小球的加速度方向变化吗？匀速圆周运动是一种什么性质的运动呢？答案 (1)地球和小球的速度方向不断发生变化，所以运动状态发生变化运动状态发生变化的原因是因为受到力的作用(2)地球受到太阳的引力作用，方向沿半径指向圆心小球受到重力、支持力、线的拉力作用，合力等于线的拉力，方向沿半径指向圆心3(3)物体的加速度跟它所受合力方向一致，所以地球和小球的加速度都是时刻沿半径指
4、向圆心，即加速度方向是变化的匀速圆周运动是一种变加速曲线运动对向心加速度及方向的理解(1)向心加速度的方向：总指向圆心，方向时刻改变(2)向心加速度的作用：向心加速度的方向总是与速度方向垂直，故向心加速度只改变速度的方向，对速度的大小无影响(3)圆周运动的性质：不论向心加速度 an的大小是否变化，其方向时刻改变，所以圆周运动的加速度时刻发生变化，圆周运动是变加速曲线运动例 1 下列关于向心加速度的说法中正确的是( )A向心加速度表示做圆周运动的物体速率改变的快慢B向心加速度描述线速度方向变化的快慢C在匀速圆周运动中，向心加速度是恒定的D匀速圆周运动是匀变速曲线运动答案 B解析 匀速圆周运动中速
5、率不变，向心加速度只改变速度的方向，A 错误，B 正确；匀速圆周运动中，向心加速度的大小不变，方向时刻变化，故 C、D 错误二、向心加速度的大小1向心加速度的几种表达式： an 2r r v .v2r 4 2T22向心加速度与半径的关系，如图 1 所示图 1例 2 (2018浙江 4 月选考科目考试) A、 B 两艘快艇在湖面上做匀速圆周运动(如图 2)，在相同时间内，它们通过的路程之比是 43，运动方向改变的角度之比是 32，则它们( )图 2A线速度大小之比为 434B角速度大小之比为 34C圆周运动的半径之比为 21D向心加速度大小之比为 12答案 A解析 时间相同，路程之比即线速度大小
6、之比，故 A 项正确；运动方向改变的角度之比即对应扫过的圆心角之比，由于时间相同，角速度大小之比也为 32，B 项错误；路程比除以角度比得半径比为 89，C 项错误；由向心加速度 an 知线速度平方比除以半径比即向心v2r加速度大小之比为 21，D 项错误例 3 如图 3 所示，一球体绕轴 O1O2以角速度 匀速旋转， A、 B 为球体上两点，下列说法中正确的是( )图 3A A、 B 两点具有相同的角速度B A、 B 两点具有相同的线速度C A、 B 两点的向心加速度的方向都指向球心D A、 B 两点的向心加速度之比为 21答案 A解析 A、 B 为球体上两点，因此， A、 B 两点的角速度
7、与球体绕轴 O1O2旋转的角速度相同，A 对；如图所示， A 以 P 为圆心做圆周运动， B 以 Q 为圆心做圆周运动，因此， A、 B 两点的向心加速度方向分别指向 P、 Q，C 错；设球的半径为 R，则 A 运动的半径 rA Rsin 60，B 运动的半径 rB Rsin 30， ，B 错； ，D 错vAvB rA rB sin 60sin 30 3 aAaB 2rA 2rB 3例 4 如图 4 所示， O1为皮带传动的主动轮的轴心，主动轮半径为 r1， O2为从动轮的轴心，从动轮半径为 r2， r3为固定在从动轮上的小轮半径已知 r22 r1， r31.5 r1.A、 B、 C 分别是三
8、个轮边缘上的点，则点 A、 B、 C 的向心加速度之比是(假设皮带不打滑)( )5图 4A123 B243C843 D362答案 C解析 因为皮带不打滑， A 点与 B 点的线速度大小相同，都等于皮带运动的速率根据向心加速度公式 an ，可得 aA aB r2 r121.由于 B、 C 是固定在同一个轮上的两点，所v2r以它们的角速度相同根据向心加速度公式 an r 2，可得 aB aC r2 r321.5.由此得aA aB aC843，故选 C.讨论圆周运动的向心加速度与线速度、角速度、半径的关系，可以分为两类问题：(1)皮带传动问题，两轮边缘线速度大小相等，常选择公式 an ，此时 an与
9、 r 成反比v2r(2)同轴传动问题，各点角速度相等，常选择公式 an 2r，此时 an与 r 成正比1(向心加速度公式)关于质点的匀速圆周运动，下列说法中正确的是( )A由 an 可知， an与 r 成反比v2rB由 an 2r 可知， an与 r 成正比C由 v r 可知， 与 r 成反比D由 2 f 可知， 与 f 成正比答案 D解析 质点做匀速圆周运动的向心加速度与质点的线速度、角速度、半径有关但向心加速度与半径的关系要在一定前提条件下才能给出当线速度一定时，向心加速度与半径成反比；当角速度一定时，向心加速度与半径成正比，对线速度和角速度与半径的关系也可以同样进行讨论，正确答案为 D.
10、2(向心加速度公式的应用)(2017绍兴市 9 月选考科目适应性考试)如图 5 所示为一磁带式放音机的转动系统，在倒带时，主动轮以恒定的角速度逆时针转动 P 和 Q 分别为主动轮和从动轮边缘上的点，则( )6图 5A主动轮上的 P 点线速度方向不变B主动轮上的 P 点线速度逐渐变大C主动轮上的 P 点的向心加速度逐渐变大D从动轮上的 Q 点的向心加速度逐渐增大答案 D解析 圆周运动的线速度方向时刻变化，A 错误； P 点线速度 vP r P，因为 不变， rP不变，故 vP大小不变，B 错误；同理由 aP 2rP知，C 错误；由于主动轮边缘线速度增大，则从动轮边缘线速度也逐渐增大，而半径减小，
11、由 知，从动轮角速度增大，由vraQ 2rQ知， aQ增大，D 正确3.(传动装置中向心加速度的计算)(2018浙江省名校新高考研究联盟第二次联考)科技馆的科普器材中常有如图 6 所示的匀速率的传动装置：在大齿轮盘内嵌有三个等大的小齿轮若齿轮的齿很小，大齿轮的半径(内径)是小齿轮半径的 3 倍，则当大齿轮顺时针匀速转动时，下列说法正确的是( )图 6A小齿轮和大齿轮转速相同B小齿轮每个齿的线速度均相同C小齿轮的角速度是大齿轮角速度的 3 倍D大齿轮每个齿的向心加速度大小是小齿轮每个齿的向心加速度大小的 3 倍答案 C解析 因为大齿轮和小齿轮相扣，故大齿轮和小齿轮的线速度大小相等，小齿轮的每个齿
12、的线速度方向不同，B 错误；根据 v r 可知，大齿轮半径(内径)是小齿轮半径的 3 倍，小齿轮的角速度是大齿轮角速度的 3 倍，根据 2 n 可知，小齿轮转速是大齿轮转速的 3倍，A 错误，C 正确；根据 an ，大齿轮半径(内径)是小齿轮半径的 3 倍，可知小齿轮每v2r个齿的向心加速度的大小是大齿轮每个齿的向心加速度大小的 3 倍，D 错误7【考点】对向心加速度的理解【题点】向心加速度的大小及向心加速度公式的理解4.(传动装置中向心加速度的计算)自行车的小齿轮 A、大齿轮 B、后轮 C 是相互关联的三个转动部分，且半径 RB4 RA、 RC8 RA，如图 7 所示当自行车正常骑行时 A、
13、 B、 C 三轮边缘上的点的向心加速度的大小之比 aA aB aC等于( )图 7A118 B414C4132 D124答案 C解析 由于 A 轮和 C 轮共轴，故两轮角速度相同，由 an R 2可得， aA aC18；由于 A轮和 B 轮是链条传动，故 A、 B 两轮边缘上点的线速度相等，由 an ，可得v2RaA aB41，所以 aA aB aC4132，C 正确【考点】与向心加速度有关的传动问题分析【题点】与向心加速度有关的综合传动问题一、选择题考点一 对向心加速度的理解1关于向心加速度，下列说法正确的是( )A由 an 知，匀速圆周运动的向心加速度恒定v2rB匀速圆周运动不属于匀速运动
14、C向心加速度越大，物体速率变化越快D做圆周运动的物体，加速度时刻指向圆心答案 B解析 向心加速度是矢量，且方向始终指向圆心，因此向心加速度不是恒定的，所以 A 错误；匀速运动是匀速直线运动的简称，匀速圆周运动其实是匀速率圆周运动，存在向心加速度，B 正确；向心加速度不改变速率，C 错误；只有做匀速圆周运动的物体的加速度才时刻指向圆心，D 错误【考点】对向心加速度的理解8【题点】向心加速度的意义2.如图 1 所示是 A、 B 两物体做匀速圆周运动的向心加速度随半径变化的图象，其中 A 为双曲线的一支，由图可知( )图 1A A 物体运动的线速度大小不变B A 物体运动的角速度大小不变C B 物体
15、运动的角速度大小是变化的D B 物体运动的线速度大小不变答案 A解析 根据 an 知，当线速度 v 大小为定值时， an与 r 成反比，其图象为双曲线的一支；v2r根据 an r 2知，当角速度 大小为定值时， an与 r 成正比，其图象为过原点的倾斜直线，所以 A 正确【考点】对向心加速度的理解【题点】对向心加速度的大小及向心加速度公式的理解3.如图 2 所示，质量为 m 的木块从半径为 R 的半球形碗口下滑到碗的最低点的过程中，如果由于摩擦力的作用使木块的速率不变，那么木块( )图 2A加速度为零B加速度恒定C加速度大小不变，方向时刻改变，但不一定指向圆心D加速度大小不变，方向时刻指向圆心
16、答案 D解析 由题意知，木块做匀速圆周运动，木块的加速度大小不变，方向时刻指向圆心，D 正确，A、B、C 错误【考点】对向心加速度的理解【题点】向心加速度的方向4.(多选)一小球质量为 m，用长为 L 的悬线(不可伸长，质量不计)固定于 O 点，在 O 点正下9方 处钉有一颗光滑小钉子如图 3 所示，将悬线沿水平方向拉直无初速度释放后，当悬线L2碰到钉子后的瞬间，则( )图 3A小球的角速度突然增大B小球的线速度突然减小到零C小球的向心加速度突然增大D小球的向心加速度不变答案 AC解析 由于悬线与钉子接触时小球在水平方向上不受力，故小球的线速度不能发生突变，由于做圆周运动的半径变为原来的一半，
17、由 v r 知，角速度变为原来的两倍，A 正确，B 错误；由 an 知，小球的向心加速度变为原来的两倍，C 正确，D 错误v2r【考点】对向心加速度的理解【题点】对向心加速度的大小及向心加速度公式的理解考点二 向心加速度的大小5甲、乙两个物体都做匀速圆周运动，转动半径之比为 94，转动的周期之比为 34，则它们的向心加速度之比为( )A14 B41C49 D94答案 B解析 根据题意 ， ，由 an r 得： 2 4，B 选项正确r1r2 94 T1T2 34 4 2T2 a1a2 r1r2 (T2T1) 94 4232【考点】向心加速度公式的有关计算【题点】向心加速度有关的比值问题6.(多选
18、)如图 4 所示，一小物块以大小为 an4 m/s2的向心加速度做匀速圆周运动，半径R1 m，则下列说法正确的是( )图 410A小物块运动的角速度为 2 rad/sB小物块做圆周运动的周期为 sC小物块在 t s 内通过的位移大小为 m 4 20D小物块在 s 内通过的路程为零答案 AB解析 因为 an 2R，所以小物块运动的角速度为 2 rad/s，周期 T anR 2s，选项 A、B 正确；小物块在 s 内转过 ，通过的位移大小为 m，在 s 内转过一周， 4 2 2通过的路程为 2 m，选项 C、D 错误【考点】向心加速度公式的有关计算【题点】应用向心加速度公式的计算考点三 传动装置中
19、向心加速度大小的比较7.(2018浙江省名校新高考研究联盟第三次联考)如图 5 所示是我国自己独立研制的“直11”系列直升机，是一种小吨位直升机，用来当做轻型武装直升机或运输机在直升机螺旋桨上有 A、 B、 C 三点，其中 A、 C 在叶片的端点， B 在叶片的中点当叶片转动时，这三点( )图 5A线速度大小都相等 B线速度方向都相同C角速度大小都相等 D向心加速度大小都相等答案 C8(2018台州市临海白云高中期末考试)如图 6 所示，两轮用皮带传动，假设皮带不打滑，图中 A、 B、 C 三点所在处半径 rA rB rC，则这三点的向心加速度 aA、 aB、 aC的大小关系正确的是( )图
20、6A aA aB B aC aAC aA aB D aC aB答案 C11解析 A、 B 两点线速度大小相等，根据 an 得： rA rB，则 aA aB，故 A 错误，C 正v2r确 A、 C 两点角速度大小相等，根据 an r 2得： rA rC，则 aA aC，可知 aB aC.故 B、D错误9. (多选)如图 7 所示，一个球绕中心轴线 OO以角速度 做匀速圆周运动， 30，则( )图 7A a、 b 两点的线速度相同B a、 b 两点的角速度相同C a、 b 两点的线速度之比 va vb2 3D a、 b 两点的向心加速度之比 aa ab 23答案 BD解析 球绕中心轴线转动，球上各
21、点应具有相同的周期和角速度，即 a b，B 对；因为a、 b 两点做圆周运动的半径不同， rb ra，根据 v r 知 vb va，A 错； 30，设球半径为 R，则 rb R， ra Rcos 30 R，故 ，C 错；又根据 an 2r 知32 vavb ara brb 32 ，D 对aaab a2ra b2rb 32【考点】与向心加速度有关的传动问题分析【题点】与向心加速度有关的同轴传动问题10.如图 8 所示， A、 B 是两个摩擦传动轮(不打滑)，两轮半径大小关系为 RA2 RB，则两轮边缘上的( )图 8A角速度之比 A B21B周期之比 TA TB12C转速之比 nA nB12D向
22、心加速度之比 aA aB2112答案 C解析 两轮边缘上的线速度相等，由 知， A B RB RA12，A 错由 Tvr知， TA TB B A21，B 错由 2 n 知， nA nB A B12，C2对由 an 知， aA aB RB RA12，D 错v2r【考点】与向心加速度有关的传动问题分析【题点】与向心加速度有关的皮带(或齿轮)传动问题11.如图 9 所示为一压路机的示意图，其大轮半径是小轮半径的 1.5 倍， A、 B 分别为大轮和小轮边缘上的点以压路机为参考系，在压路机前进时( )图 9A A、 B 两点的线速度大小之比 vA vB11B A、 B 两点的线速度大小之比 vA vB
23、32C A、 B 两点的角速度之比 A B32D A、 B 两点的向心加速度之比 aA aB32答案 A解析 由题意可知 vA vB11，故 A 对，B 错；又由 得 A B rB rA23，故vrC 错；又由 an 得： aA aB rB rA23，故 D 错v2r【考点】与向心加速度有关的传动问题分析【题点】与向心加速度有关的皮带(或齿轮)传动问题二、非选择题12.(向心加速度公式的应用)飞机由俯冲转为上升的一段轨迹可以看成圆弧，如图 10 所示，如果这段圆弧的半径 r800 m，飞行员能承受的向心加速度最大为 8g，则飞机在最低点 P的速率不得超过多少？( g10 m/s 2)图 10答
24、案 80 m/s10解析 飞机在最低点做圆周运动，其向心加速度最大不得超过 8g 才能保证飞行员安全，由13an 得 v m/s 80 m/s.故 飞 机 在 最 低 点 P 的 速 率 不 得 超 过 80v2r anr 8 10 800 10m/s.10【考点】向心加速度公式的有关计算【题点】应用向心加速度公式的计算13(向心加速度的计算)如图 11 所示，在男女双人花样滑冰运动中，男运动员以自身为转动轴拉着女运动员做匀速圆周运动若运动员的转速为 30 r/min，女运动员触地冰鞋的线速度大小为 4.8 m/s，求女运动员做圆周运动的角速度、触地冰鞋做圆周运动的半径及向心加速度大小图 11
25、答案 3.14 rad/s 1.53 m 15.1 m/s 2解析 男女运动员的转速、角速度是相同的由 2 n 得 rad/s3.14 rad/s23.143060由 v r 得 r m1.53 mv 4.83.14由 an 2r 得 an3.14 21.53 m/s215.1 m/s 2.【考点】向心加速度公式的有关计算【题点】应用向心加速度公式的计算14(向心加速度的计算)如图 12 所示，甲、乙两物体自同一水平线上同时开始运动，甲沿顺时针方向做匀速圆周运动，圆半径为 R；乙做自由落体运动，当乙下落至 A 点时，甲恰好第一次运动到最高点 B，求甲物体做匀速圆周运动的向心加速度的大小(重力加速度为 g)图 12答案 2g98解析 设乙下落到 A 点所用时间为 t，则对乙，满足 R gt2，得 t ，12 2Rg这段时间内甲运动了 T，即3414T 34 2Rg又由于 an 2R R4 2T2由得 an 2g.98【考点】向心加速度公式的有关计算【题点】应用向心加速度公式的计算
