1、1提升训练 7 动能定理的应用1.图中给出一段“S”形单行盘山公路的示意图,弯道 1、弯道 2 可看作两个不同水平面上的圆弧,圆心分别为 O1,O2,弯道中心线半径分别为 r1=10 m,r2=20 m,弯道 2 比弯道 1 高 h=12 m,有一直道与两弯道圆弧相切。质量 m=1 200 kg 的汽车通过弯道时做匀速圆周运动,路面对轮胎的最大径向静摩擦力是车重的 1.25 倍,行驶时要求汽车不打滑。(sin 37=0.6,sin 53 =0.8)(1)求汽车沿弯道 1 中心线行驶时的最大速度 v1;(2)汽车以 v1进入直道,以 P=30 kW 的恒定功率直线行驶了 t=8.0 s,进入弯道
2、 2,此时速度恰为通过弯道 2 中心线的最大速度,求直道上除重力以外的阻力对汽车做的功;(3)汽车从弯道 1 的 A 点进入,从同一直径上的 B 点驶离,有经验的司机会利用路面宽度,用最短时间匀速安全通过弯道,设路宽 d=10 m,求此最短时间( A、 B 两点都在轨道的中心线上,计算时视汽车为质点)。2.(2017 浙江金华十校期末)金华某商场门口根据金华“双龙”元素设计了一个精美的喷泉雕塑,两条龙喷出的水恰好相互衔接(不碰撞)形成一个“ ”字形。某学习小组为了研究喷泉的运行原理,将喷泉简化成如图所示的模型,两个龙可以看成两个相同对称圆的一部分(近似看成在同一平面内),E、 B 两点为圆的最
3、高点。抽水机 M 使水获得一定的初速度后沿 ABCDEFG 运动,水在 C、 F 两处恰好沿切线进入管道,最后回到池中。圆半径为 R=1 m,角度 = 53,忽略一切摩擦。( g 取 10 m/s2,sin 53=0.8,cos 53=0.6)求:(1)水从 B 点喷出的速度多大?(2)取 B 处一质量为 m=0.1 kg 的一小段水,管道对这一小段水的作用力多大?方向如何?(3)若管道 B 处横截面积为 S=4 cm2,则抽水机 M 的输出功率是多少?(水密度 = 1103 kg/m3)23.如图甲所示为一景区游乐滑道,游客坐在坐垫上沿着花岗岩滑道下滑,他可依靠手、脚与侧壁间的摩擦来控制下滑
4、速度。滑道简化图如乙所示,滑道由 AB、 BC、 CD 三段组成,各段之间平滑连接。AB 段和 CD 段与水平面夹角为 1,竖直距离均为 h0,BC 段与 水平面夹角为 2,竖直距离为 h0。一12质量为 m 的游客从 A 点由静止开始下滑,到达底端 D 点时的安全速度不得大于 ,已知20sin 1= 、sin 2= ,坐垫与滑道底面间摩擦及空气阻力均不计,若未使用坐垫,游客与滑道底面间14 18的摩擦力大小 Ff恒为重力的 ,运动过程中游客始终不离开滑道,问:110(1)游客使用坐垫自由下滑(即与侧壁间无摩擦),则游客在 BC 段增加的动能 Ek多大?(2)若游客未使用坐垫且与侧壁间无摩擦下
5、滑,则游客到达 D 点时是否安全?(3)若游客使用坐垫下滑,则克服侧壁摩擦力做功的最小值是多少?4.某电视台拟推出一个水上娱乐节目,体验者乘坐滑水车运动过程可以简化为如下模型。如图所示,滑水车从倾角为 = 53的长直轨道 AC 上的 B 点由静止开始下滑,到达 C 点后进入弧形的涉水轨道CDEF,其中 CDE 是半径为 R=5 m,圆心角为 106的圆弧, EF 为半径为 R=5 m,圆心角为 53的圆弧,此时滑水车刚好能到达 F 点。已知滑水车与体验者的总质量为 60 kg,B 点到 C 点的距离为 L0=4 m,滑水车与轨道 AC 间存在摩擦,涉水轨道 CDEF 可视为光滑轨道,不计滑水车
6、受到的其他阻力作用,则:(1)求滑水车经过 CDE 轨道时对 D 点的压力大小;(2)求滑水车与轨道 AC 间的动摩擦因数 ;3(3)若要使得滑水车能在 F 点水平抛出 ,求滑水车在 AC 上的释放点 B到 C 的距离 L的范围。5.如图所示,是某兴趣小组通过弹射 器研究弹性势能的实验装置。半径为 R 的光滑半圆管道(管道内径远小于 R)竖直固定于水平面上,管道最低点 B 恰与粗糙水平面相切,弹射器固定于水平面上。某次实验过程中,一个可看作质点的质量为 m 的小物块,将弹簧压缩至 A 处,已知 A、 B 相距为 L。弹射器将小物块由静止开始弹出,小物块沿圆管道恰好到达最髙点 C。已知小物块与水
7、平面间的动摩擦因素为 ,重力加速度为 g,求:(1)小物块到达 B 点时的速度 vB及小物块在管道最低点 B 处受到的支持力;(2)小物块在 AB 段克服摩擦力所做的功;(3)弹射器释放的弹性势能 Ep。6.(2018 年 3 月台州质量评估)如图所示为某水上乐园急速滑道的简化示意图,内壁光滑的水平半圆形管道 BC 分别与倾角 = 37的倾斜管道 AB 和水平直管道 CD 中顺滑连接,管道 AB 的 A 端离管道BC 所在平面的高度 h1=6 m,管道 BC 的直径 d=10 m,离水面 EF 的高 h2=1.8 m。质量 m=60 kg 的游客(可视为质点),从 A 端静止滑下,游客与管道
8、AB 的动摩擦因数 1=0.125,与管道 CD 的动摩擦因数 2=0.5,整个运动过程空气阻力不计。(sin 37 =0.6,cos 37=0.8)(1)求游客经过 B 点时的速度大小;(2)求游客受到 BC 管道的作用力大小;(3)要使游客落到水中且落水的速度不超过 8 m/s,求管道 CD 的长度。47.如图所示,所有轨道均光滑,轨道 AB 与水平面的夹角为 = 37,A 点距水平轨道的高度为 H=1.8 m。一无动力小滑车质量为 m=1.0 kg,从 A 点沿轨道由静止滑下,经过水平轨道 BC 再滑入圆形轨道内侧,圆形轨道半径 R=0.5 m,通过圆形轨道最高点 D 然后从水平轨道 E
9、 点飞出, E 点右侧有一壕沟,E、 F 两点的竖直高度差 h=1.25 m,水平距离 s=2.6 m。不计小滑车通过 B 点时的能量损失,小滑车在运动全过程中可视为质点, g 取 10 m/s2,sin 37=0.6,cos 37=0.8,求:(1)小滑车从 A 滑到 B 所经历的时间;(2)在圆形轨道最高点 D 处小滑车对轨道的压力大小;(3)要使小滑车既能安全通过圆形轨道又不掉进壕沟,则小滑车至少应从离水平轨道多高的地方由静止滑下。8.低碳环保绿色出行的理念逐渐深入人心,而纯电动汽车是时下相对较环保的汽车。为宣传“低碳环保”健康生活理念,某次志愿者举行玩具电动小汽车的表演。如图所示,质量
10、 m=2 kg 的小汽车以v0=4 m/s 的初速度从水平轨道 A 处出发,沿平直轨道 AC 运动,到达 C 点时关闭发动机,进入半径R=1.8 m 圆轨道,恰能做完整的圆周运动后又进入 CE 水平轨道向右运动,直至停下。已知小汽车与水平面的摩擦阻力恒为重力的 ,AB 段运动过程中风力较大,可简化为受 0.8 N 的水平向左的作用110力,过 B 点后小汽车所受空气作用力均忽略不计。圆轨道可视作光滑。已知 AB 段长度 x1=3 m,BC 段长度 x2=2 m,CE 段足够长。小汽车自身长度可忽略。求:5(1)要使小汽车完成上述运动, AC 段电动机至少提供多少能量?(2)若 CE 阶段启用动
11、力回收系统,把机械能转化为电能,回收效率为 30%,则该段小汽 车还能滑行多远?9.(2018 年 5 月温州十五校联合体高二期中联考)如图所示,轻弹簧一端与墙相连,质量为 4 kg 的木块沿水平面以 4 m/s 的速度向左运动并压缩弹簧,木块离开弹簧时的动能为 28.8 J,离开弹簧后又运动了 3.6 m,g 取 10 m/s2,求:(1)木块与水平面间的动摩擦因数;(2)弹簧在被压缩过程中的最大弹性势能;(3)另一木块以 2 m/s 的速度压缩弹簧,弹簧在被压缩过程中的最大弹性势能与前面相同,则木块的质量为多少?10.如图所示为水上滑梯的简化模型:倾角 = 37斜滑道 AB 和水平滑道 B
12、C 平滑连接,起点 A 距水面的高度 H=7 m,BC 长 d=2 m,端点 C 距水面的高度 h=1 m。质量 m=50 kg 的运动员从滑道起点 A 点无初速地自由滑下,运动员与 AB、 BC 间的动摩擦因数均为 = 0.1。已知 cos 37=0.8,sin 37=0.6,运动员在运动过程中可视为质点, g 取 10 m/s2。求:(1)运动员从 A 滑到 B 所需的时间 t;6(2)运动员到达 C 点时的速度大小 vC;(3)保持水平滑道端点在同一竖直 线上,调节水平滑道高度 h 和长度 d 到图中 BC位置时,运动员从滑梯平抛到水面的水平位移最大,求此时滑道 BC距水面的高度 h。1
13、1.(2017 浙江七彩阳光联盟期初联考)如图甲为滑板运动,如图乙为滑板比赛滑道示意简图,滑行轨道均在同一竖直平面内,斜轨道 AB 的倾角 = 37,与水平轨道 BC 间用小圆弧平滑相连(小圆弧的长度可忽略)。斜轨道 DE 倾角 = 53,与半径 R=1.0 m 的光滑圆弧轨道 EFG 相切于 E 点, F 为圆弧轨道最低点,已知 H1=4.2 m,L1=15.0 m,H2=1.0 m,H3=5.0 m。设滑板与直轨道间的摩擦因数均为= 0.25,运动员连同滑板的总质量 m=60.0 kg。运动员从 A 点由静止开始下滑,从 C 点水平飞出,与斜面 DE 碰撞后,没有反弹,继续滑行,经过圆弧轨
14、道 F 点时对轨道压力大小为 FN=4 800 N,从 G 点飞出后落在与 G 点同一水平面且间距为 L2=6.0 m 的 K 点,轨迹最高点 I 与 GK 面的距离 H4=1.8 m。运动员连同滑板可视为质点,忽略空气阻力,sin 37=0.6,cos 37 =0.8。求:甲(1)运动员从 C 点水平飞出时的速度大小 vC;(2)运动员落在斜面 DE 上与斜面碰撞过程中损失的动能 Ek;(3)G 点与圆心 O 的高度差 h。712.(2018 年 2 月温州六校协作体高三期末)上海热带风暴水上乐园有个项目叫做“音速飞龙”。如图甲所示,两条高速滑道,人可以仰卧下滑,下滑起伏共有 3 层。图乙为
15、其轨道侧视图,质量为 70 kg的人从 A 处静止下滑,经 BCDEF,最终停在 G 处。已知 AB、 BC、 CD、 DE、 EF 是半径为 14 m 的圆弧,其对应的圆心角均为 60,FG 段水平。设人滑到 F 点时速度为 20 m/s,g 取 10 m/s2,求:(1)人刚滑到圆弧末端 F 点时,滑道对人竖直向上的作用力 F1的大小;(2)在 AF 段上滑动过程中人克服阻力所做的功 Wf;(3)若一光滑小球在该轨道无水时自 A 处静止释放,且不计空气 阻力,小球能否沿 ABCDEF 轨道运动?若能,请说明理由;若不能,请求出小球脱离轨道的位置及落回轨道所在的圆弧部分。13.(2018 年
16、 3 月绍兴选考适应性)如图为杂技演员进行摩托车表演的轨道,它由倾斜直线轨道 AB、圆弧形轨道 BCD、半圆形轨道 DE、水平轨道 EF 组成,已知轨道 AB 的倾角 = 37,A、 B 间高度差H=12 m,轨道 BCD 的半径 R=4.8 m,轨道 DE 的半径 r=2.4 m,轨道最低点 C 距水平地面高度差 h=0.2 m,在轨道 AB 上运动时摩托车(含人)受到的阻力为正压力的 ,其余阻力均不计。表演者从 A 点驾驶15摩托车由 静止开始沿轨道 AB 运动,接着沿轨道 BCDEF 运动,然后从 F 点离开轨道,最后落到地面上的 G 点。已知摩托车功率 P 恒为 2103 W,发动机工
17、作时间由表演者控制,表演者与摩托车总质量m=100 kg,表演者与摩托车可视为质点。(cos 37 =0.8)(1)某次表演中,通过 C 点时摩托车对轨道的压力为 6 000 N,求经过 C 点的速度 vC;(2)满足(1)中的条件下,求摩托车发动机的工作时间 t;(3)已知“受力因子 k”等于表演者与摩托车整体承受的压力除以整体的重力,在 k8 条件下表演者是安全的,求能在安全完成完整表演的情况下,表演者落点 G 点与 F 点的水平距离的可能值。8提升训练 7 动能定理的应用1.答案 (1)5 m/s (2)-2.1104 J (3)1.85 s5解析 (1)汽车沿弯道 1 行驶的最大速度为
18、 v1,有kmg=m121得 v1= =5 m/s。1 5(2)汽车沿弯道 2 行驶的最大速度为 v2,有 kmg=m222得 v2= =5 m/s2 10直道上由动能定理有 Pt-mgh+Wf=12m2212m12代入数据可得 Wf=-2.1104 J。(3) =1.25mgv=2 1.25可知 r 增大 v 增大, r 最大,切弧长最小,对应时间最短,所以轨迹设计应如右图所示由图可以得到 r2= + r- 212 (1-2)代入数据可以得到 r=12.5 m汽车沿着该路线行驶的最大速度 v= =12.5 m/s由 sin= =0.8 可知,对应的圆心角度 2= 1061线路长度 s= 2
19、r106360最短时间 t= 1 .85 s。2.答案 (1)3 m/s (2)水在 B 点受到管道竖直向下的压力,为 0.8 N (3)49.2 W2解析 (1)水做平抛运动,竖直方向 h=R+Rcos= 1.6 m根据 =2gh2得 vCy=4 m/s2又因为水在 C 点刚好与圆相切,所以 tan= 所以 vB=3 m/s 。2(2)以小段水为研究对象。当水在最高点 B 受到的管道作用力是 0 时,有 Fn=mg=m临 2v 临 = m/s20(3)到达 D 点的速度为 ,对应的功最小。20在 AD 段,由动能定理,得mg(h0+ h0+h0)-W= ,12 12m2解得 W= mgh0。
20、324.答案 (1)1 560 N (2)0.5 (3)4 mv1,所以只要 mgH=12m22得 H=1.352 m。8.答案 (1)86 .4 J (2)31.5 m11解析 (1)小汽车与水平轨道的摩擦阻力 Ff= mg=2 N110设小车在 D 点的速度为 v1,小车恰能做完整的圆周运动,在 D 点应满足 mg=m ,解得 v1= 12 18m/s从 A 到 D 的过程,运用动能定理有W-Ff(x1+x2)-Fx1-mg2R=12m1212m02得 W=86.4 J。(2)从 D 到 C 的过程,运用动能定理有mg2R=12m2212m12得 v2=3 m/s10在 CE 阶段开启动力
21、回收系统,回收效率 30%,即有 70%的能量用于克服摩擦力做功,有Ffx3= 70%12m22得 x3=31.5 m。9.答案 (1)0 .2 (2)30.4 J (3)19 kg解析 (1)从木块离开弹簧至静止在水平面上,此过程由动能定理得 -mgL= 0-28.8 J,解得= 0.2。(2)设弹簧压缩量为 x,木块运动全过程,由动能定理得mg (L+2x)= mv212木块压缩弹簧过程,由能量守恒得 mgx+E p= mv212联立解得: Ep=30.4 J。(3)设木块质量为 m,由能量守恒得 mgx+E p= mv2,解得 m=19 kg。1210.答案 (1) s (2)10 m/
22、s (3)3 m5013解析 (1) A B:mgsin -mg cos =maa=gsin - gcos =5.2 m/s2at2-=12t= s。5013(2)运动员从 A 滑到 C 的过程中,克服摩擦力做功为W=mg cos +mgd=mg d+(H-h)cot =500 J-由动能定理有 mg(H-h)-W= mv2-012得运 动员滑到 C 点时速度的大小 v=10 m/s。(3)在从 C点滑出至落到水面的过程中,运动员做平抛运动的时间为 t, h= gt2,t=12 2下滑过程中克服摩擦做功保持不变 W=500 J根据动能定理得 mg(H-h)-W= mv2-0,v=12 2(-1
23、-)12运动员在水平方向的位移x=vt= 2(-1-)2= 4(-1-)当 h= =3 m 时,水平位移最大。-1211.答案 (1)3 m/s (2)1 897.5 J (3)0.55 m解析 (1)设运动员从 A 点到 C 点的过程中克服阻力做功 Wf,由动能定理得-0=mgH1-Wf12m2Wf=mg cos +mg L1= cos + 代入数据,解得vC= =3 m/s。2(1-1)(2)运动员从 C 点水平飞出到落到 DE 轨道上的 M 点过程中做平抛运动,设经过的时间为 t1水平位移 x=vCt1竖直位移 y=12g12由几何关系 tan =-2解得 t1=1 s则运动员下落的高度
24、 y= =5 m12g12运动员从 C 点水平飞出到落到 DE 轨道上的 M 点过程中,由机械能守恒定律可得EkM1= +mgy=3 270 J12m2M 点距地面的高度 hM=H3+H2-y=1 m设运动员从 M 点离开时的动能为 EkM2,经过 F 点的速度为 vF,从离开 M 到圆弧轨道最低点 F,由动能定理可得 -EkM2=mghM+R(1-cos )-mg cos 12m2 在 F 点,由牛顿第二定律有FN-mg=m2联立解得 vF= m/s,EkM2=1 372.5 J70运动员落在斜面 DE 上与斜面碰撞过程中损失的动能 DEk为 Ek=EkM1-EkM2=1 897.5 J。(
25、3)从 G 点飞出后的运动过程中相对于 GK 水平面上升到最大高度 I 处的速度为 vI,I 到 K 做平抛运动,则竖直方向 H4=12g22水平方向 L2=vIt212代入数据,解得 vI=5 m/s由 F 到 I 过程,由动能定理可有=-mg(hFG+H4)12m212m2代入数据得 hFG=0.45 m由几何关系得 h=R-hFG=0.55 m。1312.答案 (1)2 700 N (2)10 500 J (3)见解析解析 (1)人刚滑到 F 点时,根据牛顿第二定律F1-mg=m2解得 F1=2 700 N。(2)人从 A 点到 F 点,由动能定理得5mgR(1-cos 60)-Wf=0
26、.5mv2得 Wf=10 500 J。(3)当球从 A 点运动到 B 点,由动能定理mgR(1-cos 60)=12m2得 vB= 小球与轨道无作用力,在 B 点脱离轨道做平抛运动设小球从 B 点抛出,落在由 ABCDEF 构成的连线斜面上(如图),斜面倾角为 30由 H= gt2,x=vBt, =tan 3012 得 x= m20332Rsin 60xRsin 60解得:小球落在 CD 上。13.答案 (1)4 m/s (2)1.12 s (3)见解析15解析 (1)由牛顿第二定律知 F-mg=m2得 vC=4 m/s。15(2)从 A 到 C 运动过程中,由动能定理W 牵引 +WG+W 阻
27、 = -012m2其中 W 牵引 =PtWG=mgH+R(1-cos 37)W 阻 =-0.2mg37代入得 t=1.12 s。(3)要使表演者能完整的运动,临界条件是能恰好经过 D 点,经过 D 点的最小速度 vD1满足 mg=m,即 vD1=12 由机械能守恒得通过 E 点的最小速度 vE1= 3注意到小圆半径小于大圆半径,故最小速度由大圆半径决定要保证表演者安全,其受到的最大压力 FN=8mg可判断得经过 E 点时,恰好为最大压力值,则 8mg-mg=m222可得 vE2= 3.514此情形下经过 C 点速度为 vC,由机械能守恒 mgR=12m212m2得 vC= ,对 C 点压力为 FC-mg= ,得 FC=6.5mg8mg,说明上述判断正确。5.52由上可得,经过 E 点的速度最大值为 vE2= ,最小值 vE1=3.5 3由平抛知识,落地时间 t= =1 s2(+)水平位移 x=vt,代入两个临界速度,得水平位移最大值 x1=2 m42最小值 x2=12 m。
