1、1 2018-2019学年高 二上 学期 期中考试数学试卷 考试范围 :数列 、不等式 、命题 、圆锥曲线 时间： 120分钟 满分 150分 本试卷分第 卷（选择题）和第 卷（非选择题）两部分共 4页 第 卷（共 60分） 一、选择题 :本题共 12 小题 ,每小题 5分 ,共 60分 .在每小题给出的四个选项中 ,只有一项是符合题目要求的 . 1 双曲线 2 2 1 3 =x y的焦点坐标是 A ( 2 ， 0)， ( 2 ， 0) B (2， 0)， (2， 0) C (0， 2 )， (0， 2 ) D (0， 2)， (0， 2) 2. 命题 “所有能被 2整除的数都是偶数 ”的 否
2、定 是 （ ） A所有不能被 2整除的数都是偶数 B所有能被 2整除的数都不是偶数 C存在一个不能被 2整除的数是偶数 D存在一个能被 2整除的数不是偶数 3. 设 xR ， 则 “ 11|22x”是 “ 3 1x ”的 A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 4 . 若 4x ，则函数 14yx x= + 有（ ） A. 最大值 6 B. 最小值 6 C. 最大值 2 D. 最小值 2 5. 若双曲线 221xyab=的离心率为 3 ，则其渐近线的斜率为 （ ） A 2 B. 12 C. 2 D. 22 6. 在等比数列 na 中，若 48,aa是
3、方程 2 3 2 0xx + = 的两根，则 6a 的值是（ ） A. 2 B. 2 C. 2 D. 2 7若命题 p 的否命题为 q ，命题 q 的逆命题为 r ，则 r 是 p 的逆命题的（ ） A 原命题 B 逆命题 C否命题 D 逆否命题 8 若关于 x 的不等式 2 20x ax+ 在区间 1,5 上有解，则实数 a 的取值范围为 （ ） A. 23( , )5 + B. 23( ,15 C. (1, )+ D. ( , 1) 2 9. “ 1 ”是数列 “ 为递增数列 ”的 （ ） A 充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 10. 已知 2yxxyx
4、a+，且 2z x y=+的最大值是最小值的 3倍，则 a 的值是（ ） A 23B 13 C 14 D 15 11. 设集合 ( , ) | 1 , 4 , 2 A x y x y a x y x a y= + ,则 A 对任意实数 a， (2,1) A B 对任意实数 a，（ 2， 1） A C 当且仅当 ab0)的左焦点为 F， 上顶点为 B. 已知椭圆的离心率为 53 ， 点A 的坐标为 (,0)b ， 且 62FB AB=. （ I）求椭圆的方程； （ II）设直线 l： ( 0)y kx k=与椭圆在第一象限的交点为 P， 且 l 与直线 AB 交于点Q. 若 52 sin4AQ
5、A O QPQ =(O 为原点 ) ， 求 k 的值 . 22 （本小题满分 12分） 函数 2( ) ( 3 ) 1f x m x m x= + +的图象与 x 轴的交点至少有一个在原点的右侧 （ I） 求 m 的取值范围； （ II） 对于（ 1）中的 m，设 2tm= ，不等式 3 1 1 ( 1 )2tk t t ttt + + +恒成立，求 k 的取值范围（ x 表示不超过 x 的最大整数） 5 参考答案 一选择题 BDAAC CCAAB DD 12.答案： D 解析： 设椭圆方程为 22112211 1 ( 0 )xy abab+ = ,双曲线的方程为222222 1 ( 0 ,
6、0 )xy abab = ,半焦距为 c, 则 1 2 11 2 11 2 222P F P F a a a P FP F P F a += + = =； 1121211 PFaae e c c+ = =； 在 12PFF 中 ，由正选定理 得11 2121212 sin2 4 3 4 3sinsin 3 33sin 32P F P F P F Fc P F FP F F c= = = 二填空题 13. 63nan= 14. 2 15. 1416. 27 三 解答题（本大题共 6小题 ,满分 70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 .） 三 解答题（本大题共 6小题 ,满分 70分，解
7、答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 .） 17 （本小题满分 10分） 已知集合 | ( 1 ) ( 2 ) 0A x a x a x= + ，集合 | 2 4 .B x x= 若 xB 是 xA 的充分不必要条件，求实数 a 的取值范围 . 解：（ 1） 0a 时， 21 , A aa= ，若 xB 是 xA 的充分不必要条件，所以 212 , 4aa ， 10 4a ，检验 14a= 符合题意； 3 分 （ 2） 0a= 时， AR= ， 符合题意； 6 分 （ 3） 0a 时， 12 , A aa=，若 xB 是 xA 的充分不必要条件，所以6 122 , 4aa ， 1 02 a ，
8、检验 12a= 不符合题意 . 9 分 综上 11( , 24a . 10 分 18 （本小题满分 12分） 已知数列 na 的前 n 项和是 nS ，且 ( )*3 3 NnnS a n+ = . （ 1）求数列 na 的通项公式； （ 2）设 ( )41log 1nnbS+=，1 2 2 3 11 1 1nnnT b b b b b b += + + +，求 nT . 18解：（ 1）由题意 33nnSa+=， ( )113 3 2nnS a n+ = ， 130n n na a a + =， 即 ( )11 24nna a n=，又1 34a=， 数列 na 是以 34 为首项 ， 14
9、 为公比的等比数列， 13 1 34 4 4nn na=（ 2） 114nnS =， 11 11 4nnS+ =， ( )1nbn= + ， ( ) ( )11 1 1 11 2 1 2nnb b n n n n+ = = + + + +， 1 1 1 12 3 3 4nT = + + ( )111 2 2 2nn n n+ =+ + +. 19.（本小题满分 12分） 设抛物线 的焦点为 ，过 且斜率为 的直线 与 交于 ， 两点， （ 1）求 的方程； （ 2）求过点 ， 且与 的准线相切的圆的方程 （ 1）由题意得 ， l 的方程为 设 ， 2 4C y x=： F F ( 0)kk l
10、 C A B| | 8AB=lA B C(1,0)F ( 1)( 0)y k x k= 1 2 21( , ), ( , )Ay x yx B7 由 得 ， 故 所以 由题设知 ， 解得 （舍去）， 因此 l 的方程为 （ 2）由（ 1）得 AB 的中点坐标为 ， 所以 AB 的垂直平分线方程为 ，即 设所求圆的圆心坐标为 ， 则 解得 或 因此所求圆的方程为 或 20 （本小题满分 12分） 设 na 是等比数列 ， 公比大于 0，其前 n 项和为 ()nSnN ， nb 是等差数列 . 已知1 1a= ， 322aa=+， 4 3 5a b b=+， 5 4 62a b b=+ . （ I
11、）求 na 和 nb 的通项公式 ； （ II）设数列 nS 的前 n 项和为 ()nTnN ， （ i）求 nT ； （ ii）证明 221() 2 2( )( 1 ) ( 2) 2nn k k kkT b b nk k n + +=+ = + + + N. （ I）解：设等比数列 na 的 公比为 q.由 1 3 21, 2,a a a= = +可得 2 20qq = . 因为 0q ， 可得 2q= ， 故 12nna = . 2( 1),4y k xyx= =2 2 2 2( 2 4 ) 0k x k x k + + =216 16 0k = + 122224kx kx +=12224
12、4| | | | | | ( 1 ) ( 1 )x kA B A F B F kx += + = + + + =22448kk+ =1k= 1k=1yx=(3,2) 2 ( 3)yx = 5yx= +00( , )xy0022 0005,( 1 )( 1 ) 1 6 .2yxyxx= + + = +003,2xy= = 0011,6.xy = =22( 3) ( 2 ) 1 6xy + = 22( 1 1) ( 6 ) 1 4 4xy + + =8 设等差数列 nb 的 公差为 d，由 4 3 5a b b=+，可得 1 3 4.bd+=由 5 4 62a b b=+ ， 可得 13 13 1
13、6,bd+= 从而 1 1, 1,bd= 故 .nbn= 所以，数列 na 的 通项公式为 12nna = ， 数列 nb 的 通项公式为 .nbn= （ II）（ i）解：由（ I），有 12 2112n nnS = = ， 故 1112 ( 1 2 )( 2 1 ) 2 2 212 nnnk k nnkkT n n n+= = = = . （ ii）证明：因为 1 1 2 12() ( 2 2 2) 2 2 2( 1 ) ( 2) ( 1 ) ( 2) ( 1 ) ( 2) 2 1k k k kk k + kT + b b k k k kk k k k k k k k+ + + + + +
14、 = = = + + + + + + + +， 所以， 3 2 4 3 2 1 221() 2 2 2 2 2 2 2( ) ( ) ( ) 2( 1 ) ( 2) 3 2 4 3 2 1 2n n nn k k kkT b bk k n n n+ + +=+ = + + + = + + + + + . 21.（本小题满分 12分） 设椭圆 221xxab+=(ab0)的左焦点为 F， 上顶点为 B. 已知椭圆的离心率为 53 ， 点 A的坐标为 (,0)b ， 且 62FB AB=. （ I）求椭圆的方程； （ II）设直线 l： ( 0)y kx k=与椭圆在第一象限的交点为 P， 且 l
15、 与直线 AB 交于点Q. 若 52 sin4AQ A O QPQ =(O 为原点 ) ， 求 k 的值 . （） 解：设椭圆的焦距为 2c，由已知有 22 59ca=， 又由 a2=b2+c2，可得 2a=3b由已知可得， FB a= ， 2AB b= ， 由 62FB AB=， 可得 ab=6，从而 a=3， b=2 所以，椭圆的方程为 22194xy+= （ ）解：设点 P 的坐标为 （ x1， y1），点 Q 的坐标为（ x2， y2）由已知有 y1y20，故 12sinPQ AO Q y y = 又因为 2sin yAQ OAB= ， 而 OAB=4 ， 故 22AQ y= 由9 5
16、2 sin4AQ AOQPQ =， 可得 5y1=9y2 由方程组 22194y kxxy= +=，消去 x，可得1 2694ky k= +易知直线 AB 的方程为 x+y2=0，由方程组20y kxxy= + = ， ，消去 x，可得2 2 1ky k= + 由 5y1=9y2，可得 5（ k+1） = 23 9 4k + ，两边平方 ， 整理得 256 50 11 0kk + =， 解得 12k= ， 或 1128k= 所以， k 的值为 1 112 28或 22 （本小题满分 12分） 22函数 2( ) ( 3 ) 1f x m x m x= + +的图象与 x 轴的交点至少有一个在原
17、点的右侧 （ 1）求 m 的取值范围； （ 2）对于（ 1）中的 m，设 2tm= ，不等式 3 1 1 ( 1 )2tk t t ttt + + +恒成立，求 k 的取值范围（ x 表示不超过 x 的最大整数） 22. 0m 时， 02 30mm解得 10 m ； 0=m 时，满足题意； 0m 时， 01)0( =f ， 满足题意 综上所述， 1,(m -4分 由 ， 1,(m ，则 1t , 1=t 时， 38k ； 21 t 时， 223k ， 34k ； 2, nNn ，当 1+ ntn 时， nt = ， ntn 1111 + ， 01 =t 由已知 )1()23( + nnk n ，则 nnnk )32)(1( + 令 =na nnn )32)(1( + ，则 =+1na 1)32)(2)(1( + nnn 34)32)(1(1 nnaa nnn +=+ 3,2=n 时， nn aa +1 ； 4=n 时， 45 aa = ； 5n 时， nn aa +1 10 2, nNn ， 81320)(4m a x = aa n 2, nNn ， k 81320 综上所述， ),81320 +k -8分
