1、1第十七章 勾股定理17.1 勾股定理知能演练提升能力提升1.如图,一个长为 2.5 m 的梯子,一端放在离墙角 1.5 m 处,另一端靠墙,则梯子顶端距离墙角( )A.0.2 mB.0.4 mC.2 mD.4 m2.如图,已知正方形的边长为单位长度,以表示数 1 的点为圆心,正方形对角线长为半径画弧,交数轴于点 A,则点 A 表示的数是( )A.- B.-12 13C.1- D.1-3 23.如图是一个台阶示意图,每一层台阶的高都是 20 cm,长都是 50 cm,宽都是 40 cm,一只蚂蚁沿台阶从点 A 出发到点 B,其爬行的最短路线的长度是( )A.100 cm B.120 cmC.1
2、30 cm D.150 cm4.在直线 l 上依次摆着几个正方形(如图),已知斜放的三个正方形的面积分别为 1,2,3,正放的四个正方形的面积分别是 S1,S2,S3,S4,则 S1+S2+S3+S4等于( )2A.3 B.4 C.5 D.65 .如图是输油管道的一部分,延伸外围的支路恰好构成一个直角三角形,两直角边分别为 6 和 8.按照输油中心 O 到三条支路的距离相等来连接管道,则 O 到三条支路的管道总长(计算时视管道为线,中心 O 为点)是( )A.2 B.3 C.6 D.96.如图,螺旋由一系列直角三角形组成,则第 n 个直角三角形的面积为( )A.n B. nC. D.n2 n2
3、7.如图所示,在 ABC 中, B=90,AB=3,AC=5,将 ABC 折叠,使点 C 与点 A 重合,折痕为 DE,则ABE 的周长为 . 8.如图,已知在 Rt ABC 中, ACB=90,AB=4,分别以 AC,BC 为直径作半圆,面积分别记为 S1,S2,则S1+S2的值等于 . 9.图甲是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图,它是由四个全等的直角三角形围成的 .在 Rt ABC中,若直角边 AC=6,BC=5,将四个直角三角形中边长为 6 的直角边分别向外延长一倍,得到图乙所示的“数学风车”,则这个风车的外围周长(图乙中的实线)是 . 310.如图,一个长方体形的木柜放在墙角处(与墙
4、面和地面均没有缝隙),有一只蚂蚁从柜角 A 处沿着木柜表面爬到柜角 C1处 .(1)请你画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径;(2)当 AB=4,BC=4,CC1=5 时,求蚂蚁爬过的最短路径的长 .11.我国古代数学家赵爽的“弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形(如图) .直角三角形的两直角边长分别为 a,b(al2,最短路径的长是 l2= .8911.解(1)大正方形的面积为 c2,中间部分小正方形的面积为( b-a)2,四个直角三角形的面积和为 4ab.由图形关系,知大正方形面积 =小正方形面积 +四个直角三角形面积,即有 c2=(b-a)2+4 ab=b
5、2-12 122ab+a2+2ab=a2+b2.(2)由大正方形的面积是 13,小正方形的面积是 1,得每个三角形的面积是 3,即 ab=3,则 ab=6.12又 c2=13,a 2+b2=13. (a+b)2=a2+b2+2ab=13+12=25. (a+b)2=25.12.分析根据题意画出示意图,如图,将实际问题转化为直角三角形的问题,利用勾股定理分别求出BC,AC 的长,进而可求得走私车由点 A 行驶到点 B 时的路程 .解如图,由于走私车所携带的爆炸装置在方圆 120m 范围内有危险,为保证警察的安全,当走私车行驶到 C 点之前就对其进行射击 . ACD=90,DC=120m,BD=2
6、00m,AD=255m,BC= =160(m),BD2-DC2= 2002-1202AC= =225(m).AD2-DC2= 2552-1202AB= 225-160=65(m).因此,走私车又行驶了 65m 后,警方可以对其进行射击 .13.解作 PE BC,PF DC,垂足分别为 E,F,如图 .7 PBC 是等边三角形,BP=PC=BC= 2, PCF=90-60=30,PF= PC=1.12S CDP= CDPF= 21=1.12 12在 Rt PBE 中, BE=1,BP=2,PE= ,PB2-BE2= 22-12= 3S PBC= BCPE= 2 .12 12 3= 3S BPD=S PBC+S PCD-S BCD= +1- 22= +1-2= -1.312 3 3创新应用14.解若 ABC 是锐角三角形,则有 a2+b2c2;若 ABC 是钝角三角形, C 为钝角,则有 a2+b2 0,x0, 2ax0.a 2+b2c2.8当 ABC 是钝角三角形时,如图 .证明过程如下:过点 B 作 BD AC,交 AC 的延长线于点 D.设 CD=x,则 BD2=a2-x2.根据勾股定理,得( b+x)2+a2-x2=c2,即 b2+2bx+x2+a2-x2=c2.a 2+b2+2bx=c2.b 0,x0, 2bx0.a 2+b2c2.
