1、117.2 勾股定理的逆定理知能演练提升能力提升1.一个三角形的两边长分别为 4 和 5,要使该三角形为直角三角形,则第三边长为( )A.3 B. 41C. 或 3 D.不确定412.满足下列条件的三角形中,不是直角三角形的是 ( )A.三内角之比为 1 2 3B.三边长的平方之比为 9 25 16C.三边长之比为 3 4 5D.三内角之比为 3 4 53.如图,若每个小正方形的边长都为 1,A,B,C 是小正方形的顶点,则 ABC 的度数为( )A.90 B.60C.45 D.304.下列说法错误的是( )A.任何命题都有逆命题B.任何定理都有逆定理C.真命题的逆命题不一定是真命题D.定理的
2、逆定理一定是真命题5.若三角形的三边长分别等于 ,2,则此三角形的面积为( )2, 6A. B. C. D.22 2 32 36.已知 a,b,c 是 ABC 的三边,且满足 |a-3|+ +(c-5)2=0,则三角形是 三角形 .(填b-4“直角”“钝角”或“锐角”) 27 .如图,每个小方格都是边长为 1 的正方形,点 A,B 是方格纸的两个格点(即正方形的顶点),在这个 66 的方格纸中,找出格点 C,使 ABC 是面积为 1 的直角三角形,点 C 的个数是 . 8.如图,在 ABC 中, AB=17,BC=16,BC 边上的中线 AD=15, ABC 是等腰三角形吗?为什么?9.(20
3、18 山西灵石期中)如图,小明的家位于一条南北走向的河流 MN 的东侧 A 处,某一天小明从家出发沿南偏西 30方向走60 m 到达河边 B 处取水,然后沿另一方向走 80 m 到达菜地 C 处浇水,最后沿第三方向走 100 m 回到家 A 处 .问小明在河边 B 处取水后是沿哪个方向行走的?并说明理由 .创新应用10 .观察表格所给出的三个数 a,b,c,abc.3,4,5 32+42=5325,12,1352+122=1327,24,2572+242=2529,40,4192+402=412 a,b,c a2+b2=c2(1)试找出它们的共同点,并证明你的结论;(2)写出当 a=17 时,
4、 b,c 的值 .11 .据我国古代周髀算经记载,公元前 1120 年商高对周公说,将一根直尺折成一个直角,两端连接得一个直角三角形,如果勾是三,股是四,那么弦就等于五 .后人概括为“勾三、股四、弦五” .(1)观察:3,4,5;5,12,13;7,24,25;,发现这些勾股数的“勾”都是奇数,且从 3 起就没有间断过,计算 (9-1), (9+1)与 (25-1), (25+1),并根据你发现的规律,分别写出能(用勾)表示 7,24,25 的股12 12 12 12和弦的算式;(2)根据(1)的规律,用含 n(n 为奇数,且 n3)的代数式来表示所有这些勾股数的勾、股、弦,猜想它们之间的两种
5、相等关系,并对其中一种猜想加以说明;(3)继续观察 4,3,5;6,8,10;8,15,17;,可以发现各组的第一个数都是偶数,且从 4 起也没有间断过,运用类似上述探索的方法,直接用含 m(m 为偶数,且 m4)的代数式来表示它们的股和弦 .4参考答案能力提升1.C 若 5 为最长边,则第三边长为 =3;若 4 和 5 都为直角边,则第三边长为52-42,故选 C.52+42= 412.D3.C 连接 AC(图略) .因为每个小正方形的边长都为 1,所以 AB2=12+32=10,BC2=12+22=5,AC2=12+22=5,所以 AB2=BC2+AC2,且 BC=AC,所以 ABC 是等
6、腰直角三角形,所以 ABC=45.4.B5.B 由三边长可确定这是直角三角形,两直角边分别为 ,2,所以三角形面积为 2 .212 2= 26.直角 |a- 3|+ +(c-5)2=0,a= 3,b=4,c=5,a2+b2=9+16=25=c2, ABC 是直角三角形 .b-47.6 如图,当 A 为直角时,满足面积为 1 的点是 C1,C2;当 B 为直角时,满足面积为 1 的点是 C3,C4;当 C 为直角时,满足面积为 1 的点是 C5,C6,所以满足条件的点共有 6 个 .8.解 ABC 是等腰三角形 .理由:在 ABD 中, AB 2=172=289,AD2=152=225,BD2=
7、 =64,(1216)2AB 2=AD2+BD2. ABD 是直角三角形 .AD BC. ADC 为直角三角形 .AC 2=AD2+DC2=152+ =289.(1216)2AB=AC. 故 ABC 是等腰三角形 .9.解沿南偏东 60方向行走的 .理由如下:AB= 60m,BC=80m,AC=100m,5AB 2+BC2=AC2, ABC=90.AD NM, NBA= BAD=30. MBC=180-90-30=60. 小明在河边 B 处取水后是沿南偏东 60方向行走的 .创新应用10.分析充分利用所给信息,从不同的角度去观察、分析,运用从特殊到一般的思想,来寻找总结出一般规律 .解(1)以
8、上各组数的共同点可以从以下方面分析: 以上各组数均满足 a2+b2=c2; 最小的数 a 是奇数,其余的两个数是连续的正整数; 最小奇数的平方等于另外两个连续整数的和 .如32=9=4+5,52=25=12+13,72=49=24+25由以上特点我们可以猜想并证明这样一个结论:设 m 为大于 1 的奇数,将 m2拆分为两个连续的整数之和,即 m2=n+(n+1),则 m,n,n+1 就构成一组简单的勾股数 .因为 m2=n+(n+1)(m 为大于 1 的奇数),所以 m2+n2=2n+1+n2=(n+1)2.故 m,n,n+1 是一组勾股数 .(2)运用上面的结论,当 a=17 时,因为 17
9、2=289=144+145,所以 b=144,c=145.11.解(1) (9-1)= (32-1)=4, (9+1)= (32+1)=5, (25-1)= (52-1)=12, (25+1)= (52+1)12 12 12 12 12 12 12 12=13, 7,24,25 的股 24 的算式为 (49-1)= (72-1),弦 25 的算式为 (49+1)= (72+1).12 12 12 12(2)当 n 为奇数且 n3 时,勾、股、弦的代数式分别为 n, (n2-1), (n2+1).12 12例如关系式 :弦 -股 =1;关系式 :勾 2+股 2=弦 2.证明关系式 :弦 -股 = (n2+1)- (n2-1)12 12= (n2+1)-(n2-1)=1.12证明关系式 :勾 2+股 2=n2+12(n2-1)2=n2+ n4- n2+14 12 14= n4+ n2+ (n2+1)2.14 12 14=14 猜想得证 .(3)探索得:当 m 为偶数且 m4 时,股、弦的代数式分别为 -1, +1.(m2)2 (m2)26
