1、122.1 双曲线的定义与标准方程读教材填要点1双曲线的定义平面上到两个定点 F1， F2的距离之差的绝对值为大于 0 的定值(小于| F1F2|)的点的轨迹叫作双曲线这两个定点 F1， F2叫作双曲线的焦点，两个焦点之间的距离叫作双曲线的焦距2双曲线的标准方程焦点位置 焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上图形标准方程 1( a0， b0)x2a2 y2b2 1( a0， b0)y2a2 x2b2焦点坐标 F1( c,0)， F2(c,0) F1(0， c)， F2(0， c)a， b， c的关系c2 a2 b2小问题大思维1双曲线的定义中，为什么要规定定值小于| F1F2|？若定值等于| F1
2、F2|或等于 0 或大于| F1F2|，点的轨迹又是怎样的曲线？提示：(1)如果定义中定值改为等于| F1F2|，此时动点的轨迹是以 F1， F2为端点的两条射线(包括端点)(2)如果定义中定值为 0，此时动点轨迹为线段 F1F2的垂直平分线(3)如果定义中定值改为大于| F1F2|，此时动点轨迹不存在2在双曲线的定义中，如果将“差的绝对值”改为“差” ，那么点的轨迹还是双曲线吗？提示：不是是双曲线的一支3若方程 1 表示双曲线， m， n 应满足什么条件？x2m y2n提示：若方程 1 表示双曲线，则 mn0.x2m y2n2双曲线定义的应用在 ABC 中，已知| AB|4 ，且三内角 A，
3、 B， C 满足 sin Bsin A sin 212C，建立适当的坐标系，求顶点 C 的轨迹方程，并指明表示什么曲线自主解答 如图所示，以 AB 边所在的直线为 x 轴， AB 的垂直平分线为 y 轴，建立直角坐标系，则 A(2 ，0) ， B(2 ，0)2 2由正弦定理得 sin A ，a2Rsin B ，sin C .b2R c2Rsin Bsin A sin C，12 b a .c2从而有| CA| CB| |AB|2 | AB|.12 2由双曲线的定义知，点 C 的轨迹为双曲线的右支 a ， c2 ，2 2 b2 c2 a26.顶点 C 的轨迹方程为 1( x )x22 y26 2故
4、 C 点的轨迹为双曲线的右支且除去点( ，0)2解答此类问题要注意定义中的两个关键性条件：(1)差的绝对值是定值，(2)常数大于 0 小于两定点间的距离同时具备这两个条件才是双曲线1已知 F1， F2分别是双曲线 1 的左、右焦点，若 P 是双曲线左支上的点，且x29 y216|PF1|PF2|32.试求 F1PF2的面积解：因为 P 是双曲线左支上的点，所以| PF2| PF1|6，两边平方得3|PF1|2| PF2|22| PF1|PF2|36，所以|PF1|2| PF2|2362| PF1|PF2|36232100.在 F1PF2中，由余弦定理，得 cos F1PF2 0，所以 F1PF
5、290，|PF1|2 |PF2|2 |F1F2|22|PF1|PF2| 100 1002|PF1|PF2|所以 S F1PF2 |PF1|PF2| 3216.12 12求双曲线的标准方程根据下列条件，求双曲线的标准方程(1)c ，经过点(5,2)，焦点在 x 轴上；6(2)过点 P ，Q 且焦点在坐标轴上(3，154) ( 163， 5)自主解答 (1)焦点在 x 轴上， c ，6设所求双曲线方程为 1(其中 00)，x216 y2b2把 A 点的坐标代入，得 b2 0)，y216 x2b2把 A 点的坐标代入，得 b29，所求双曲线的标准方程为 1.y216 x29(2)设双曲线的方程为 m
6、x2 ny21( mn0，即10，解得 m20，且y2m x29m95 2，解得 m16.答案：16106已知双曲线的两个焦点分别为 F1(3,0)和 F2(3,0)，且 P 在双曲线右支上，(52， 1)则该双曲线的方程是_解析：法一：利用双曲线定义2a| PF1| PF2| 1214 1 14 1 2 ，552 52 5 a ， b2 c2 a24.5故所求方程为 1.x25 y24法二：待定系数法设双曲线方程为 1，x2a2 y29 a2则有 1，254a2 19 a24 a465 a22250. a25 或 a2 9(舍去)454双曲线方程为 1.x25 y24答案： 1x25 y24
7、7在平面直角坐标系 xOy 中，已知双曲线 1 上一点 M 的横坐标为 3，则点 Mx24 y212到此双曲线的右焦点的距离为_解析：由题易知，双曲线的右焦点为(4,0)，点 M 的坐标为(3， )或(3， )，则15 15点 M 到此双曲线的右焦点的距离为 4.答案：48已知 F 是双曲线 1 的左焦点， A(1,4)， P 是双曲线右支上的动点，则x24 y212|PF| PA|的最小值为_解析：设右焦点为 F1，依题意，|PF| PF1|4，| PF| PA| PF1|4| PA| PF1| PA|4| AF1|4549.11答案：9三、解答题9若方程 1 表示焦点在 y 轴上的双曲线，
8、求实数 m 的取值范围x25 m y2m2 2m 3解：方程 1 表示焦点在 y 轴上的双曲线，x25 m y2m2 2m 3Error! 即Error! m5.即 m 的取值范围是(5，)10已知双曲线过点(3，2)且与椭圆 4x29 y236 有相同的焦点(1)求双曲线的标准方程；(2)若点 M 在双曲线上， F1， F2是双曲线的左、右焦点，且| MF1| MF2|6 ，试判断3 MF1F2的形状解：(1)椭圆的方程可化为 1，焦点在 x 轴上，且 c .故可设双曲x29 y24 9 4 5线方程为 1( a0， b0)依题意得Error!解得 a23， b22.x2a2 y2b2故双曲线的标准方程为 1.x23 y22(2)不妨设 M 在双曲线的右支上，则有| MF1| MF2|2 .3又| MF1| MF2|6 ，3解得| MF1|4 ，| MF2|2 .3 3又| F1F2|2 c2 ，5因此在 MF1F2中，| MF1|边最长，由余弦定理可得 cos MF2F1|MF2|2 |F1F2|2 |MF1|22|MF2|F1F2| 0. 23 2 25 2 43 222325 215所以 MF2F1为钝角，故 MF1F2是钝角三角形12
