1、 1 衡阳市八中 2018年下期期末考试试题 高一数学 总分： 150分 时间： 120分钟 一、 选择题 （本大题共 12小题，每小题 5分，共 60分 ,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）。 1 已知全集 1,2,3,4,5,6,7,8U ，集合 2,3,5,6A ，集合 1,3,4,6,7B ，则集合 )( BCA U = ( ) A. 2,5 B. 3,6 C. 2,5,6 D. 2,3,5,6,8 2 函数 xxf x 32)( 的零点所在的一个区间是 （ ） A. 2( , )1 B. 1( , )0 C. 0( , )1 D. 1( , )2 3 函数 2( )
2、 3xf x a （ 0a ，且 1a ）的图像过一个定点，则这个定点坐标是 （ ） A（ 2， 3） B（ 3， 2） C（ 2， 4） D（ 4， 2） 4 函数 2( ) 2( 1) 2f x x a x 在区间 ( ,4) 上为减函数，则 a的取值范围为 （ ） A. -3a B. 5a C. -3a D. 5a 5 如图所示， A是平面 BCD 外一点， E、 F、 G 分别是 BD、 DC、 CA的中点， 设 过这三点的平面为 ，则在图中的 6条直线 AB、 AC、 AD、 BC、 CD、 DB中， 与平面 平行的直线有 ( ) A 0条 B 1条 C 2条 D 3条 6 过不重合
3、的 )2,3(),3,2( 222 mmmBmmA 两点的直线 l倾斜角为 45 ，则 m 的取值为（ ） A 1-m B 2-m C 1m 或 2 D 1-m 或 -2 7 已知函数 )(xf 是定义在 R上的奇函数，且满足 )()2( xfxf ，则 )6(f 的值为 （ ） A. 1 B.0 C.1 D.2 8 在正方体 ABCD A1B1C1D1中 ， 截面 A1BD与底面 ABCD所成二面角 A1 BD A的正切值为 ( ) A. 32 B. 22 C. 2 D. 3 2 9 在正方体 ABCD A1B1C1D1中，已知点 )1,2,3(),3,0,1( CA ，则这个正方体内切球的
4、体积为（ ） A 328 B 34 C 368 D 12 10若直线 l经过点 )2,1(A ，且在 x轴上的截距的取值范围是 )3,3-( ，则其斜率 k 的取值范围是（ ） A 211- k B 21- k C 21- kk 或 D 211- kk 或 11 如图所示，定点 A和 B 都在平面 内，定点 PBP , ， C是平 面 内异于 A和 B 的动点，且 ACPC ，则动点 C在平 面 内的轨迹是（ ） A 一条线段，但要去掉两个点 B 一个圆，但要去掉两个点 C 两条平行直线 D 半圆，但要去掉两个点 12 如图所示，正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长为 1， E、 F 分别
5、是棱 AA1， CC1 的中点，过直线 EF 的 平面分别与棱 BB1， DD1 交于 M， N，设 BM=x， x 0， 1，给出以下四种说法： （ 1）平面 MENF 平面 BDD1B1； （ 2）当且仅当 x= 12 时，四边形 MENF 的面积最小； （ 3）四边形 MENF 周长 L=f（ x）， x 0， 1是单调函数； （ 4）四棱锥 C1 MENF 的体积 V=h（ x）为常函数，以上说法中正确的为（ ） A （ 1）（ 2） B （ 2）（ 3） C （ 1）（ 3）（ 4） D （ 1）（ 2）（ 4） 二、填空题 （本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分）。 13.如
6、图， 在正 方体 1 1 1 1ABCD ABCD 中， 1 1AA ，则异面直线 1AB与 1AD所成的角是 14 已知两条直线 3)1( yaax 和 2)32()1( yaxa 垂直，则 a 15 若幂函数 mxmmxf 752 在 R上为增函数 ,则 21log4lg5lg227log mmm = . 16 已知 函数 12)( axxxf 有三个不同的零点，则实数 a 的取值范围是 3 三、解答题 （本大题共 6小题，满分 70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）。 17.（本小题满分 10分）已知函数 )(xf 是定义在 R上的奇函数，且当 0x 时， xxxf 2)( 2
7、 . （ 1）求出函数 )0)( xxf 的解析式 并画出 )(xf 在 R上的图像 ； （ 2）若方程 axf )( 恰有 3个不同的解，求 a的取值范围 . 18 （本小题满分 12分） 已知圆 C： x2 (y 1)2 5，直线 l： mx y 1 m 0(m R) (1)判断直线 l与圆 C的位置关系； (2)设直线 l与圆 C交于 A， B两点，若直线 l的倾斜角为 120，求弦 AB的长 19.（本小题满分 12分） 如图， AB 是圆 O 的直径， PA 垂直圆 O 所在的平面， C 是圆上的点 （ 1）求证：平面 PAC 平面 PBC； （ 2）若 AC=1， PA=1，求 点
8、 A到平面 PBC 的距离 4 20 （本小题满分 12 分） 如图，边长为 2 的正方形 ADEF 与梯形 ABCD所在的平面互相垂直，其中/ / , ,AB CD AB BC 1 2,2CD BC AB AE DF O M ， 是 EC的中点 . （ 1）证明 : /OM 平面 ABCD （ 2）求 BF 与平面 ADEF 所成角的余弦值 21 （本小题满分 12分） 已知 5)5(: 221 yxC 和点 )3,1( A （ 1）求过点 A 且与 1C 相切的直线 l的方程； （ 2）设 2C 为 1C 关于直线 l对称的圆，则在 x 轴上是否存在点 P，使得点 P 到两圆的切线长之比为
9、2 ？若存在，试求出点 P的坐标；若不存在，请说明理由 22.（本小题满分 12分） 已知函数 ( ) 3 ( )xf x x R. （ 1）解不等式 ( ) (2 ) 27 11 3xf x f x ； （ 2）若函数 ( ) ( ) ( )f x g x h x ，其中 ()gx为奇函数， ()hx为偶函数，若不等式 2 ( ) (2 ) 0ag x h x对任意 0,1x 恒成立，求实数 a的取值范围 . 1 衡阳市八中 2018年下期期末考试试题答案 高一数学 命题人：刘美容 审题人：周德平 总分： 150分 时间： 120分钟 一、 选择题 （本大题共 12小题，每小题 5分，共 6
10、0分 ,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）。 题号 1 2 3 4 5 6 7 9 10 11 12 答案 A B C A C B B B D B D 二、填空题 （本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分）。 13 60 14 1 或 -3 15.4 16.（ 2 2 ， + ） 三、解答题 （本大题共 6小题，满分 70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）。 17.（本小题满分 10 分）已知函数 )(xf 是定义在 R 上的奇函数，且当 0x 时， xxxf 2)( 2 . （ 1）求出函数 )0)( xxf 的解析式 并画出 )(xf 在 R 上的图像 ；
11、（ 2）若方程 axf )( 恰有 3个不同的解，求 a 的取值范围 . （ 1） 方法一：当 0x 时， xxxfxfxxxfx 2)()()(2)()(0- 22 ， 方法二：可由图象求出 xxxf 2)( 2 （ 2）有图可知 11 a 2 18 （本小题满分 12分） 已知圆 C： x2 (y 1)2 5，直线 l： mx y 1 m 0(m R) (1)判断直线 l 与圆 C 的位置关系； (2)设直线 l 与圆 C 交于 A， B 两点，若直线 l 的倾斜角为 120，求弦 AB 的长 【答案】 (1)直线 l 与圆 C 必相交 (2) 【解析】 (1)直线 l 可变形为 y 1
12、m(x 1)，因此直线 l 过定点 D(1， 1)， 又 1 ，所以点 D 在圆 C 内，则直线 l 与圆 C 必相交 (2)由题意知 m0，所以直线 l 的斜率 k m，又 k tan 120 ，即 m 此时，圆心 C(0， 1)到直线 l： x y 1 0 的距离 d ， 又圆 C 的半径 r ，所以 |AB| 2 2 19.（本小题满分 12分） 如图， AB是圆 O的直径， PA垂直圆所在的平面， C是圆上的点 （ 1）求证：平面 PAC 平面 PBC； （ 2）若 AC=1， PA=1，求 点 A 到平面 PBC的距离 解 ：（ 1）证明：由 AB 是圆的直径得 ACBC ， 由 P
13、A 平面 ABC， BC平面 ABC，得 PABC BC 平面 PAC， 又 BC 平面 PBC， 所以平面 PAC 平面 PBC （ 2） 过 A点作 ADPC 于点 D，则由（ 1）知 平面 PAC 平面 PBC, 所以 AD 平面 PBC，所以 AD长就是 A到平面 PBC的距离 2221 PDAD 3 20 （本小题满分 12 分） 如图，边长为 2的正方形 ADEF 与梯形 ABCD所在的平面互相垂直，其中 / / , ,AB CD AB BC 1 2,2CD BC AB AE DF O M ， EC 的中点 . （ ）证明 : /OM 平面 ABCD （ ）求 BF 与平面 ADE
14、F 所成角的余弦值 【解析】 （ I） ,OM分别为 ,EA EC的中点 /OM AC OM 平面 ABCD AC 平面 ABCD /OM 平面 ABCD （ II）取 AB 中点 H ，连接 ,DH EH DA DB DH AB, 又 EA EB EH AB EHD 为二面角 D AB E的平面角 又 1DH tan 2EDEHD DH 1DC BC BCD Rt ， 2BD 22AD AB， 平面 ADEF 平面 ABCD，平面 ADEF 平面 ,ABCD AD BD平面 ABCD BD平面 ABCD BFD 的余弦值即为所求 在 Rt BDF 中， , 2, 6BDF Rt DF BF
15、26cos 36DFBFD BF BF 与平面 ADEF 所成角的余弦值为 63 4 21 （本小题满分 12分） 已知 5)5(: 221 yxC 和点 )3,1( A （ 1）求过点 A 且与 1C 相切的直线 l 的方程； （ 2）设 2C 为 1C 关于直线 l 对称的圆，则在 x 轴上是否存在点 P，使得点 P 到两圆的切线长之比为2 ？若存在，试求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 【答案】 （ 1） 052 yx ； （ 2） )0,10(P 或 )0,2(P . 【解析】 （ 1）易知圆心 )5-,0(1C ， 1C 的半径 51 r 因为 点 A恰在 1C 上，所以点 A
16、是即是切点， 所以 2121 351 lAC kk 故直线 l 的方程为 )1(213 xy ，即 052 yx （ 2）因为点 A恰为 21CC 的中点，所以 )1,2(2 C 所以 5)1()2(: 222 yxC 设 )0,(aP ，则 2552221 PCPC 或 2552122 PCPC 由 得 24)2( 2022 aa ，解得 210或a ，所以 )0,10(P 或 )0,2(P 由 得 220 4)2( 22 aa ，此方程无解 综上，存在两点 )0,10(P 或 )0,2(P 符合题意 5 22.（本小题满分 12分） 已知函数 ( ) 3 ( )xf x x R. （ 1）
17、解不等式 ( ) (2 ) 27 11 3xf x f x ； （ 2）若函数 ( ) ( ) ( )f x g x h x ，其中 ()gx为奇函数， ()hx为偶函数，若不等式 2 ( ) (2 ) 0ag x h x对任意 0,1x 恒成立，求实数 a 的取值范围 . 【答案】 （ 1）（ 1， 2）；（ 2） 2a . 【解析】 （ 1）设 xt 3 ，由 ( ) (2 ) 27 11 3xf x f x 得： 2 27 11t t t ， 即 2 12 +27 0tt 93 t ，即 21933 xx 不等式的解 集为（ 1， 2） （ 2） 由题意得 xxxxxhxgxfxhxgxfxhxgxfxhxgxf3)()()(3)()()(3)()()(3)()()( 233)(233)(xxxxxhxg. 2 ( ) (2 ) 0ag x h x 02)33()33(202332332 222 xxxxxxxxaa 对任意x 0， 1恒成立， 又 x 0， 1时，令 38,0,33 tt xx ， )2(21022 2 ttatat 对 任意 38,0t 恒成立 tty2 在 2,0t 递减，在 38,2t 递增 所以 当 2t 时， )2(21 tt 有最大值 2 ， 所以 2a .
