1、- 1 -第十七章 勾 股 定 理17.1 勾 股 定 理第 1 课时【教学目标】知识与技能:1.掌握勾股定理的证明 .2.会用勾股定理进行简单的计算 .过程与方法:经历探究勾股定理的过程,在探索勾股定理的过程中,发展合情推理能力,体会数形结合思想,学会与人合作并能与他人交流思维的过程和探究结果,体验数学思维的严谨性 .情感态度与价值观:(1)通过对勾股定理历史的了解,感受数学的文化,激发学习热情 .(2)在探究活动中,学会与人合作并能与他人交流思维的过程和探究的结果;学生通过适当训练,养成数学说理的习惯,培养学生参与的积极性,逐步体验数学说理的重要性;在探究活动中,体验解决问题方法的多样性,
2、培养学生的合作交流意识和探究精神 .【重点难点】重点:掌握勾股定理的证明,会用勾股定理进行简单的计算 .难点:勾股定理的证明 .【教学过程】一、创设情境,导入新课:一个直角三角形的两条直角边长分别是 3 和 4,你知道它的斜边长是多少吗?已知直角三角形的两条边长,你能求出它的第三边长吗?实际上,利用勾股定理我们可以很容易地解决这些问题 .勾股定理是一个古老的定理,人类很早就发现了这个定理 .2002 年世界数学家大会在我国北京召开,投影显示本届世界数学家大会的会标:会标中央的图案是一个与“勾股定理”有关的图形,数学家曾建议用“勾股定理”的图来作为与“外星人”联系的信号 .今天我们就来一同探索勾
3、股定理 .二、探究归纳- 2 -活动 1:探索勾股定理1.填空:(1)借助方格纸画一个直角三角形,使其两直角边分别是 3 cm,4 cm,则量取其斜边为 _ cm. (2)如图,四边形均是正方形, SA=16、 SB=9、 SC=25 则它们的面积之间满足:_ . 2.思考:(1)问题 1 中的直角三角形三边的平方,满足什么关系?(2)问题 2 中由正方形 A、 B、 C 的面积关系,可以得到直角三角形的三边的平方有什么关系?3.归纳:勾股定理:如果直角三角形两直角边长分别为 a、 b,斜边长为 c,那么 _. 活动 2:利用拼图证明勾股定理1.方法 1:(1)引导学生从面积角度观察图形: 问
4、:你能发现各图中三个正方形的面积之间有何关系吗?(2)观察下面两幅图:2.归纳:探索图形 A、 B、 C 面积的关系,引导学生得出勾股定理:如果直角三角形两直角边长分别为 a、 b,斜边长为 c,那么 a2+b2=c2.即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 .方法 2:- 3 -1.如图,将 4 个非等腰直角三角形,拼为一个大的正方形 .(1)拼得大正方形的边长为 _,则它的面积是 _;大正方形的面积还可以表示为_+4 ab. 12(2)由它们的面积关系可得 _ = _+4 ab,整理得 _ . 122.归纳:勾股定理:如果直角三角形两直角边长分别为 a,b,斜边长为 c,那么 a2+b
5、2=c2.即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 .活动 3:应用举例【例 1】 如图,在 Rt ABC 中, ACB=90,CD AB 于点 D.已知 BC=8,AC=6,求线段 CD 的长 . 分析:先由勾股定理求出 AB 的长,再根据三角形面积公式求出 CD 的长解: ACB=90,BC=8,AC=6, AB=10. CD AB, ABCD= ACBC,12 12即 10CD= 86, CD= .12 12 245总结:运用勾股定理求解线段长度问题的方法1.找出图中的直角三角形,或作辅助线构造直角三角形;2.找出所求线段与直角三角形的关系;3.根据勾股定理计算相关线段的平方,然后确定
6、线段长度 .【例 2】 如图是一株美丽的勾股树,其中所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,若正方形 A、 B、 C、 D 的面积分别为 2,5,1,2.则最大的正方形 E 的面积是 _. 分析:根据正方形的面积公式,结合勾股定理,能够推导出正方形 A,B,C,D 的面积和即为最大正方形 E 的面积 .- 4 -解:根据勾股定理的几何意义,可得 A、 B 的面积和为 S1,C、 D 的面积和为 S2,S1+S2=S3,于是 S3=S1+S2,即S3=2+5+1+2=10.答案:10总结:本题考查了勾股定理的应用 .能够发现正方形 A,B,C,D 的边长正好是两个直角三角形的四条直角
7、边,根据勾股定理最终能够证明正方形 A,B,C,D 的面积和即是最大正方形的面积 .【例 3】 一个直立的火柴盒在桌面上倒下,启迪人们发现了勾股定理的一种新的验证方法 .如图,火柴盒的一个侧面 ABCD 倒下到 ABCD 的位置,连接 CC ,设 AB=a,BC=b,AC=c,请利用四边形 BCCD 的面积验证勾股定理: a2+b2=c2.分析:四边形 BCCD 的面积从大的一方面来说属于直角梯形,可利用直角梯形的面积公式进行表示 .从组成来看,由三个直角三角形组成,可利用三角形的面积公式来进行表示 .证明:四边形 BCCD 为直角梯形 . S 梯形 BCCD = (BC+CD )BD = .
8、12 (+)22又 ABC =90,Rt ABCRt ABC , BAC= BAC , CAC = CAB + BAC = CAB + BAC=90; S 梯形 BCCD =S ABC+S CAC +S DAC = ab+ c2+ ab= ;12 12 12 2+22 = ;(+)22 2+22 a2+b2=c2.点拨:勾股定理的证明- 5 -证明勾股定理的方法很多,通过对图形的割补、拼接等方法,利用图形面积之间的关系进行证明 .三、交流反思这一节课我们探索了勾股定理,并进行简单应用的学习 . 勾股定理:如果直角三角形两直角边长分别为 a,b,斜边长为 c,那么 a2+b2=c2.即直角三角形
9、两直角边的平方和等于斜边的平方 .四、检测反馈1.如图, ABC 中, AB=AC,AD 是 BAC 的平分线,已知 AB=5,AD=3,则 BC 的长为( )A.5 B.6 C.8 D.102.如图,在 Rt ABC 中, ACB=90,CD AB 于 D,已知 BC=8,AC=6,则斜边 AB 上的高是 ( )A.10 B.5 C. D.245 1253.如图是一株美丽的勾股树,其中所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形 .若正方形A、 B、 C、 D 的边长分别是 3、5、2、3,则最大正方形 E 的面积是( )A.13 B.26 C.47 D.944.下列选项中,不能用来证
10、明勾股定理的是( )5.一直角三角形的两边长分别为 3 和 4.则第三边的长为( )A.5 B. C. D.5 或7 5 7- 6 -6.如图所示,在 ABC 中, B=90,AB=3,AC=5,将 ABC 折叠,使点 C 与点 A 重合,折痕为 DE,则 ABE 的周长为 _. 7.我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形(如图所示) .如果大正方形的面积是 13,小正方形的面积是 1,直角三角形的两直角边分别为 a、 b,那么( a+b)2的值是 _. 8.已知:如图,四边形 ABCD 中, AD BC,AD DC,AB AC, B=
11、60,CD=1 cm,求 BC 的长 .9.如图,用硬纸板做成的两种直角三角形各有若干个,图中两直角边长分别为 a 和 b,斜边长为 c;图中两直角边长为 c.请你动脑,将它们拼成一个能够证明勾股定理的图形 .(1)请你画出一种图形,并验证勾股定理 .(2)你非常聪明,能再拼出另外一种能证明勾股定理的图形吗?请画出拼后的图形(无需证明) .五、布置作业教科书第 28 页习题 17.1 第 1,7,8 题六、板书设计第十七章 勾股定理17.1 勾股定理第 1 课时一、勾股定理的证明二、应用勾股定理进行简单计算- 7 -三、勾股定理与图形面积四、例题讲解五、板演练习七、教学反思新课程标准对勾股定理
12、这部分的教学要求是:体验勾股定理的探索过程,会运用勾股定理解决简单的问题 .勾股定理是中学数学几个重要定理之一,它揭示了直角三角形三边之间的数量关系,既是直角三角形性质的拓展,也是后续学习“解直角三角形”的基础 .它紧密联系了数学中两个最基本的量数与形,能够把形的特征(三角形中一个角是直角)转化成数量关系(三边之间满足 a2+b2=c2),堪称数形结合的典范,在理论上占有重要地位 .另外八年级学生已具备一定的分析与归纳能力,初步掌握了探索图形性质的基本方法 .但是学生在用割补方法和用面积计算方法证明几何命题的意识和能力方面存在障碍,对于如何将图形与数有机结合起来还很陌生 .基于以上三点的原因,本节课教学应把学生的探索活动放在首位,一方面要求学生在教师引导下自主探索,合作交流;另一方面要求学生对探究过程中用到的数学思想方法有一定的领悟和认识,从而教给学生探求知识的方法,教会学生获取知识的本领 .本节课精心设计,激情上课,充分调动学生积极性,提高课堂效率,分层作业,新颖灵活,让学生轻松学习,快乐减负 .
