1、- 1 -17.1 勾股定理第 2 课时【教学目标】知识与技能:1.能利用勾股定理解决实际问题 .2.会利用勾股定理解决立体图形中两点距离最短问题 .过程与方法:经历探究与勾股定理有关的实际问题的过程,学会利用勾股定理解决实际问题的方法 .情感态度与价值观:在小组合作交流中,培养协作精神、探究精神,增强学习信心 .【重点难点】重点:能利用勾股定理解决简单的实际问题 .难点:能利用勾股定理解决立体图形中两点之间距离最短问题 .【教学过程】一、创设情境,导入新课:【导入新课】如图,原计划从 A 地经 C 地到 B 地修建一条高速公路,后因技术攻关,可以打隧道由 A 地到 B 地直接修建,已知高速公
2、路一千米造价为 300 万元,隧道总长为 2 千米,隧道造价每千米为 1 000 万元, AC=80 千米,BC=60 千米,则改建后可省工程费用是多少?你能解答上面问题吗?这一节课我们就来探究这类问题 .二、探究归纳活动 1:利用勾股定理解决实际问题的一般步骤:1.将实际问题转化为数学问题;2.明确已知条件及结论;3.利用勾股定理解答,确定实际问题的答案 .活动 2:立体图形异面两点之间的距离问题:- 2 -1.如图,有一个圆柱,它的高等于 16 cm,底面半径等于 4 cm,在圆柱下底面的 A 点有一只蚂蚁,它想吃到上底面上与 A 点相对的 B 点处的食物,在求需要爬行的最短路程时首先需将
3、圆柱体展开,连接 A、 B,圆柱的侧面展开图是 _,点 B 的位置应该在长方形的边 CD 的 _处 .点 A 到点 B 的最短距离为线段 _的长度 . 答案:长方形 中点 AB2.如图,正四棱柱的底面边长为 5 cm,侧棱长为 6 cm,一只蚂蚁从正四棱柱底面上的点 A 沿着棱柱表面爬到 C1处,求出蚂蚁需要爬行的最短路程的长时,由点 A 到点 C1的展开图有两种情况 .活动 3:例题讲解【例 1】 一架长 5 米的梯子 AB,斜立在一竖直的墙上,这时梯子底端距墙底 3 米 .如果梯子的顶端沿墙下滑 1 米,梯子的底端在水平方向沿一条直线也将滑动 1 米吗?用所学知识,论证你的结论 .分析:根
4、据勾股定理可求得如果梯子的顶端沿墙下滑 1 米,梯子的底端在水平方向沿一条直线也将滑动 1米 .解:是 .证明 1:在 Rt ACB 中, BC=3,AB=5,AC= =4 米, DC=4-1=3 米 .2-2在 Rt DCE 中, DC=3,DE=5,CE= =4 米, BE=CE-CB=1,即梯子底端也滑动了 1 米 .2-2证明 2:在 Rt ACB 中, BC=3,AB=5,AC= =4 米, DC=4-1=3 米,2-2可证 Rt ECDRt ACB,- 3 - CE=AC=4 米, BE=CE-CB=1,即梯子底端也滑动了 1 米 .总结:应用勾股定理解决实际问题的步骤1.读懂题意
5、,分析数量关系,数形结合,正确标图,将条件反映到图形中,建立数学模型;2.应用勾股定理进行计算或建立等量关系,构建方程求解,解决实际问题 .【例 2】 如图,长方体盒子(无盖)的长、宽、高分别是 12 cm,8 cm,30 cm.(1)在 AB 中点 C 处有一滴蜜糖,一只小虫从 D 处爬到 C 处去吃,有无数种走法,则最短路程是多少?(2)此长方体盒子(有盖)能放入木棒的最大长度是多少? 分析:(1)要求长方体中两点之间的最短路径,最直接的作法,就是将长方体的侧面展开,然后利用两点之间线段最短解答 .(2)利用长方体的性质,连接 AG,BG 利用勾股定理解答即可 .解:(1)将长方体沿 AB
6、 剪开,使 AB 与 D 在同一平面内,得到如图所示的长方形,连接 CD,长方体盒子(无盖)的长、宽、高分别是 12 cm,8 cm,30 cm,即 DE=12 cm,EF=30 cm,AE=8 cm, CD= = = =25 cm.(+)2+2 (12+8)2+(302)2 625(2)连接 AG,BG,在 Rt BFG 中, GF=12 cm,BF=8 cm,由勾股定理得,GB= = = cm,2+2 122+82 208在 Rt AGB 中, GB= cm,AB=30 cm,208- 4 -由勾股定理得, AG= = =2 cm.2+2 302+(208)2 277总结:求立体图形表面上
7、两点之间的最短距离的问题,关键是把立体图形的侧面展开成平面图形,采用“化曲为直”的方法,利用平面上“两点之间线段最短”的公理解题 .把空间图形转化为平面图形是解数学题中的重要转化思想之一 .三、交流反思这节课我们学习了利用勾股定理解决实际问题及应用勾股定理求最短距离问题 .关键是建立数学模型,把实际问题转化为数学问题,再用勾股定理等知识来解答 .四、检测反馈1.如图所示,一场暴雨过后,垂直于地面的一棵树在距地面 1 m 处折断,树尖 B 恰好碰到地面,经测量 AB=2 m,则树高为 ( )A. m B. m C.( +1)m D.3 m5 3 52.如图,一根 12 m 高的电线杆两侧各用 1
8、5 m 的铁丝固定,两个固定点 AB 之间的距离是 ( )A.13 B.9 C.18 D.103.如图,有一个圆锥,高为 8 cm,直径为 12 cm.在圆锥的底边 B 点处有一只蚂蚁,它想吃掉圆锥顶部 A 处的食物,则它需要爬行的最短路程是 ( )A.8 cm B.9 cm C.10 cm D.11 cm- 5 -4.如图,圆柱的底面周长为 6 cm,AC 是底面圆的直径,高 BC=6 cm,点 P 是母线 BC 上一点,且 PC= BC.一只23蚂蚁从 A 点出发沿着圆柱体的表面爬行到点 P 的最短距离是 ( )A. cm B.5 cm(4+6)C.6 cm D.7 cm5.如图,在高为
9、5 m,坡面长为 13 m 的楼梯表面铺地毯,地毯的长度至少需要 _ m. 6.如图是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图,根据图中的尺寸(单位:mm),计算两圆孔中心 A 和 B 的距离为 _ mm. 7.木工师傅做一个人字形屋梁,如图所示,上弦 AB=AC=4 m,跨度 BC 为 6 m,现有一根长为 3 m 的木料打算做中柱 AD(AD 是 ABC 的中线),请你通过计算说明这根木料的长度是否适合做中柱 AD.(只考虑长度、不计损耗)8.我们古代数学中有这样一道数学题:有一棵枯树直立在地上,树高 2 丈,粗 3 尺,有一根藤条从树根处缠绕而上,缠绕 7 周到达树顶,(如图)请问这根藤条有
10、多长?- 6 -(注:枯树可以看成圆柱;树粗 3 尺,指的是:圆柱底面周长为 3 尺,1 丈=10 尺) .五、布置作业教科书第 28 页习题 17.1 第 2,3,4,5,10 题六、板书设计17.1 勾股定理第 2 课时一、利用勾股定理解决实际问题二、应用勾股定理求最短距离问题三、例题讲解四、板演练习七、教学反思1.利用勾股定理解决实际问题关键是做到:(1)引导学生分析实际问题,明确如何将实际问题转化为数学问题,注意条件的转化;学会如何利用数学知识、思想、方法解决实际问题 . 引导学生分析总结得出应用勾股定理解决实际问题的步骤;(2)读懂题意,分析数量关系,数形结合,正确标图,将条件反映到
11、图形中,建立数学模型;(3)应用勾股定理进行计算或建立等量关系,构建方程求解,解决实际问题 .2.应用勾股定理求最短距离问题:(1)引导学生分析总结得出求立体图形表面上两点之间的最短距离的问题,关键是把立体图形的侧面展开成平面图形,采用“化曲为直”的方法,利用平面上“两点之间线段最短”的公理解题 .把空间图形转化为平面图形是解数学题中的重要转化思想之一 .(2)关于立体图形中两点距离最短问题,这对不少学生来说是一个难点,教师要引导学生充分发挥空间想象能力,把立体图形转化成平面图形,让学生体会解决此类问题的方法:将立体图形(或曲面)展开为平面图形,再利用勾股定理求解 .通过例题讲解及练习让学生掌握 .- 7 -
