1、- 1 -17.2 勾股定理的逆定理【教学目标】知识与技能:1.理解原命题、逆命题、逆定理的概念及关系 .2.会用勾股定理的逆定理判断直角三角形 .过程与方法:经历探索勾股定理的逆定理的过程,发展学生的推理能力和有条理的表达能力,培养学生的综合能力 .情感态度与价值观:通过小组合作与交流,培养学生团结协作的精神和探索精神,有助于塑造他们挑战困难,挑战生活的勇气和信心 .【重点难点】重点:理解并掌握勾股定理的逆定理,并会应用 . 难点:勾股定理的逆定理的证明 .【教学过程】一、创设情境,导入新课小明做了一个长为 40 cm,宽为 30 cm 的长方形模型,高兴地交给了老师,老师接过小明的模型,用
2、刻度尺度量了模型的长宽所在的对角线,量得对角线的长为 56 cm,然后老师指着模型对小明说:“这个角不是直角,你做的模型不合格 .”小明不高兴地问老师:“老师,只通过直尺度量就能判断一个角不是直角吗?”同学们有这样的疑问吗?老师通过直尺度量判断直角有没有根据?带着这些问题,我们学习本节知识 .二、探究归纳活动 1:互逆命题、互逆定理1.问题 1:下面几组数分别是一个三角形的边长 a、 b、 c(单位:cm) . 3、4、5;4、7、9;6、8、10 .(1)这三组数都满足 a2+b2=c2吗?(2)尺规作图:分别以每组数为三边长作出三角形 .(3)用量角器量一量,它们是直角三角形吗?提示:(1
3、)满足 a2+b2=c2,不满足 (2)略 (3)是直角三角形,不是直角三角形 .2.思考:根据上面的几个例子,你能提出一个数学命题吗?3.归纳:如果一个三角形的三边长 a,b,c 满足 _,那么这个三角形是 _ . - 2 -答案: a2+b2=c2 直角三角形4.问题 2:阅读,命题 1 : 如果一个三角形是直角三角形,两直角边长为 a,b,斜边长为 c,那么 a2+b2=c2.命题 2 :如果一个三角形的三边长 a,b,c 满足 a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形 . (1)观察命题 2 与命题 1,你有什么发现?发现:两个命题的 _、 _正好相反,命题 1 的 _是命题 2
4、的 _;命题 1 的 _是命题 2 的_.我们把像这样的两个命题叫做 _.如果把其中一个叫 _,那么另一个叫做它的_. (2)你能举出互逆命题的例子吗?(3)如果原命题正确,那么逆命题也正确吗?举例说明 .提示:(1)题设 结论 题设 结论 结论 题设 互逆命题 原命题 逆命题 (2)略(3)不一定 略5.思考:一个三角形各边长数量应满足怎样的关系时,这个三角形才是直角三角形呢?提示:三角形的三边长 a,b,c 满足 a2+b2=c2时, 这个三角形是直角三角形 .活动 2:1.问题:已知 ABC 中, BC=3,AC=4,AB=5,求证 ABC 是直角三角形 .证明:如图,画一个 Rt AB
5、C ,使 BC =_,AC = _, C = _. BC=3,AC=4, BC=_=3 ,AC=_=4, 由勾股定理,得 AB 2=BC 2+AC 2=_+_=_, AB =_, AB=5, AB=_ , 在 ABC 和 ABC 中, , , , ABC ABC ( ) C = _= _ ABC 是直角三角形 .- 3 -提示: BC AC 90 BC AC 32 42 25 5 AB BC=BC ,AC=AC ,AB= AB SSS C 902.思考:若 ABC 的三边不是 3、4、5,而是 a,b,c,但同样满足 a2+b2=c2,你能证明 ABC 是直角三角形吗?提示:略3.思考:如果一
6、个定理的逆命题经过证明是正确的,那么它也是一个定理吗?提示:是归纳:1 .如果三角形的三边长是 a,b,c,满足 a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形,是真命题,可以用来判定直角三角形,我们把它称为勾股定理的逆定理 .2.一般地,如果一个定理的逆命题经过证明是正确的,那么它也是一个定理,称这两个定理“互为逆定理” .活动 3:勾股数思考:我们知道 3、4、5 是一组勾股数,那么 3k、4 k、5 k(k 是正整数)也是一组勾股数吗?一般地,如果a、 b、 c 是一组勾股数,那么 ak、 bk、 ck(k 是正整数)也是一组勾股数吗?提示:是6.应用举例【例 1】 下列四个命题中:对顶角
7、相等;同旁内角互补;全等三角形的对应角相等;两直线平行,同位角相等,其中是假命题的有 _(填序号) . 分析:要说明一个命题的正确性,一般需要推理、论证,而判断一个命题是假命题,只需举出一个反例即可 .解:对顶角相等是真命题;同旁内角互补是假命题;全等三角形的对应角相等是真命题;两直线平行,同位角相等是真命题;故是假命题有 .答案:总结:要判断一个命题是假命题,只需举出一个反例即可 .【例 2】 观察以下几组勾股数,并寻找规律:4,3,5;6,8,10;8,15,17;10,24,26;,根据以上规律的第组勾股数是( )A.14、48、49 B.16、12、20C.16、63、65 D.16、
8、30、34分析:根据前面的几组数可以得到每组勾股数与各组的序号之间的关系,如果是第 n 组数,则这组数中的第一个数是 2(n+1),第二个是: n(n+2),第三个数是:( n+1)2+1.根据这个规律即可解答 .- 4 -解:选 C.根据题目给出的前几组数的规律可得:这组数中的第一个数是 2(n+1),第二个数是 n(n+2),第三个数是( n+1)2+1,故可得第组勾股数是 16,63,65.总结:勾股数满足的条件只要三个整数中,满足较小两个整数平方的和等于较大整数的平方,那么这三个整数就是一组勾股数 .【例 3】 如图四边形 ABCD 是一块草坪,量得四边长 AB=3 m,BC=4 m,
9、DC=12 m,AD=13 m, B=90,求这块草坪的面积 .分析:连接 AC,可以把四边形分割成两个三角形,由勾股定理及逆定理说明 ACD 为直角三角形,利用三角形面积公式可求四边形 ABCD 的面积 .解:连接 AC,在 Rt ABC 中, AB=3 m,BC=4 m, B=90,由勾股定理得 AB2+BC2=AC2, AC=5 m. 在 ADC 中, AC=5 m,DC=12 m,AD=13 m AC2+DC2=169,AD2=169, AC2+DC2=AD2 , ACD 为直角三角形,即 ACD=90. 所以四边形的面积= SRt ABC+SRt ADC= ABBC+ ACDC= 3
10、4+ 512=36(m2)12 12 12 12即这块草坪的面积是 36 m2.总结:应用勾股定理的逆定理判断三条线段能否构成直角三角形的方法1.排序:把三条线段按由小到大排列; 2.计算:看较小两条线段边的平方和是否等于最大线段的平方; 3.结论:判断能否构成直角三角形 .三、交流反思这节课我们学习了互逆命题(定理),探索了勾股定理的逆定理,掌握了直角三角形的判别条件(即勾股定理的逆定理),并能进行简单应用,理解勾股定理和勾股定理的逆定理之间的区别 .四、检测反馈1.下列各组数中,是勾股数的为( )- 5 -A.1,2,3 B.4,5,6 C.3,4,5 D.7,8,92.分别有下列几组数据
11、:6、8、10 12、13、5 7、8、15 40、41、9 .其中是勾股数的有( )A.4 组 B.3 组 C.2 组 D.1 组3.把命题“如果直角三角形的两直角边长分别为 a、 b,斜边长为 c,那么 a2+b2=c2”的逆命题改写成“如果,那么”的形式: _. 4.下列命题中,其逆命题成立的是 _.(只填写序号) 同旁内角互补,两直线平行;如果两个角是直角,那么它们相等;如果两个实数相等,那么它们的平方相等;如果三角形的三边长 a,b,c 满足 a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形 .5.叙述下列命题的逆命题,并判断逆命题是否正确 .(1)如果 a30,那么 a20;(2)如果
12、三角形有一个角小于 90,那么这个三角形是锐角三角形;(3)如果两个三角形全等,那么它们的对应角相等;(4)关于某条直线对称的两条线段一定相等 .6.如图在 ABC 中, AB=13,BC=10,BC 边上的中线 AD=12.求:(1)AC 的长度;(2) ABC 的面积 .7.如图是一块地的平面图, AD=4 m,CD=3 m,AB=13 m,BC=12 m, ADC=90,求这块地的面积 .五、布置作业教科书第 34 页习题 17.2 第 1,2,5 题六、板书设计17.2 勾股定理的逆定理一、互逆命题(定理)- 6 -二、勾股数三、勾股定理的逆定理四、例题讲解 五、板演练习七、教学反思勾
13、股定理的逆定理这节课的教学,我采用了体验探究的教学方式 .在课堂教学中,我首先创设情境,提出问题;再让学生通过画图、测量、判断、找规律,猜想出一般的结论;然后由学生想、画、剪、叠,去验证结论使学生自始至终感悟、体验、尝试到了知识的生成过程,品尝到成功的乐趣 .这不仅使学生学到获取知识的思想和方法,同时也体会到在解决问题的过程中与他人合作的重要性,而且为学生今后获取知识以及探索、发现和创造打下了良好的基础,更增强了学生敢于实践、勇于探索、不断创新和努力学习数学知识的信心和勇气 .对互逆命题,原命题,逆命题,互逆定理,逆定理等概念的讲解可随题点化,而详细讲解、随堂练习可做为第二课时的重点,挤出更多时间来做勾股定理逆定理的相应练习,特别是应加大有灵活度和难度的生活习题的练习,拓宽学生知识面,提高学生的发散思维能力 .
