1、- 1 -绵阳市高中 2019 届高三第二次诊断性考试文科数学一、选择题（60 分）1.在复平面内，复数 对应的点位于( )A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】D【解析】z i2.己知集合 A=0, 1，2, 3，4，B=x 1 ，则 AB( )A. 1，2，3，4 B. 2，3，4 C. 3，4 D. 4【答案】B【解析】【分析】先求出集合 B，由此能求出 A B【详解】 1 ，所以，x10，即 x1，集合 A 中，大于 1 的有：2，3，4 ，故 AB2，3，4 .故选 B.【点睛】本题考查交集的求法，考查交集定义、指数不等式的解法等基础知识，考查运算求解
2、能力，是基础题3.下图所示的茎叶图记录的是甲、乙两个班各 5 名同学在一次数学小测试中的选择题总成绩（每道题 5 分，共 8 道题） 已知两组数据的中位数相同，则 m 的值为( )A. 0 B. 2 C. 3 D. 5【答案】D【解析】【分析】- 2 -根据茎叶图中的数据，直接写出甲、乙两个班级的中位数，得出 30+m35，求出 m 的值【详解】甲班成绩：25、30、35、40、40，中位数为：35，乙班成绩：30、30、30+m、35、40，因为中位数相同，所以 30+m35，解得：m5故选 D.【点睛】本题考查了利用茎叶图求中位数的应用问题，是基础题4.“ab1”是“直线 axy+10 与
3、直线 xby10 平行”的( )A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】a b1 时，两条直线平行成立，但由 axy+10 与直线 xby10 平行，可得 ab1，不一定是 ab1【详解】 a b1 时，两条直线 axy+10 与直线 xby10 平行， 反之由 axy+10 与直线 xby10 平行，可得： ab1，显然不一定是 ab1，所以，必要性不成立，“ab1”是“直线 axy+10 与直线 xby10 平行”的充分不必要条件故选： A【点睛】本题考查了直线平行的判定与性质定理、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力
4、与计算能力，属于中档题5.直线 l：xy20 与圆 O：x 2y 24 交于 A，B 两点，O 是坐标原点，则AOB 等于（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先计算圆心到直线的距离 d，由此能求出弦长 AB,在三角形 AOB 中利用三边可得AOB【详解】圆心 O（0，0）到直线 xy20 的距离 d ，可得 AB2- 3 -,所以 AOB90，故选 D.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，考查了点到直线的距离公式，属于基础题6.设 是互相垂直的单位向量，且（ ）（ 2 ） ，则实数 的值是（ ）A. 2 B. 2 C. 1 D. 1【答案】B【解析】【分析】利用向量垂直的充
5、要条件：向量垂直数量积等于 0，列出方程求出 【详解】依题意，有： ab1，且 ab0，又（ ab）（ a2b） ，所以， （ ab） （ a2b）0，即a22b 2（2 1） ab0，即 20，所以， 2故选 B.【点睛】本题考查两向量垂直的充要条件：数量积等于 0；单位向量的定义，属于基础题.7.执行如图的程序框图，其中输入的 ， ，则输出 a 的值为（ ）A. 1 B. 1 C. D. 【答案】A【解析】【分析】- 4 -由条件结构的特点，先判断，再执行，计算出 a，即可得到结论【详解】由 a ， b ， a b，则 a 变为 1，则输出的 a1故选 A.【点睛】本题考查算法和程序框图，
6、主要考查条件结构的理解和运用，以及赋值语句的运用，属于基础题8.若函数 的图象上任意一点的切线斜率均大于 0，则实数 b 的取值范围为（ ）A. （，4） B. （，4 C. （4，） D（0,4）【答案】A【解析】【分析】由条件得到 k f（ x） 对 x0 恒成立，所以 b0 恒成立，所以 b-2，由此求得 x 的取值范围【详解】根据 f（ x） ex e x在 R 上单调递增，且 f（- x） e x ex =- f（ x） ，得f（ x）为奇函数， f(3x 一 1)-f(2)=f(-2)， 3x 一 1-2，解得 ，故答案为 .【点睛】本题主要考查函数的单调性和奇偶性的应用，属于中档
7、题16.已知点 P 是椭圆 C： 上的一个动点，点 Q 是圆 E： 上的一个动点，则PQ的最大值是_【答案】【解析】【分析】由圆 E： x2+（ y4） 23 可得圆心为 E（0，4） ，又点 Q 在圆 E 上，可得| PQ| EP|+ 设P（ x1， y1）是椭圆 C 上的任意一点，可得 9 于是| EP|2 由于，利用二次函数的单调性即可得出【详解】由圆 E： x2+（ y4） 23 可得圆心为 E（0，4） ，又点 Q 在圆 E 上，| PQ| EP|+|EQ| EP|+ （当且仅当直线 PQ 过点 E 时取等号） 设 P（ x1， y1）是椭圆 C 上的任意一点，则 ，即 9 | EP
8、|2 9 ， 当 y1 时，| EP|2取得最大值 27，即| PQ| = | PQ|的最大值为 故答案为 .【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及其性质的应用、二次函数的单调性，考查了推理能力和计算能力，属于难题三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22. 23 题为选考题，考生根据要求作答。- 10 -（一）必考题：共 60 分。17.设数列 的前 n 项和为 Sn，已知 3Sn=4 4， （1)求数列 的通项公式；(2）令 ，求数列 的前 n 项和 Tn.【答案】 （1） （2）【解析】分析：（1）由 求得 ，
9、由 时， 可得 的递推式，得其为等比数列，从而易得通项公式；（2）根据（1）的结论，数列 的前 项和可用裂项相消法求得详解：（1） 当 时， ，当 时， 由-得： 是以 为首项，公比为 的等比数列（2）点睛：设数列 是等差数列， 是等比数列，则数列 ， ， 的前 项和求法分别为分组求和法，错位相减法，裂项相消法18.进入冬天，大气流动性变差，容易形成雾握天气，从而影响空气质量某城市环保部门试图探究车流量与空气质量的相关性，以确定是否对车辆实施限行为此，环保部门采集到- 11 -该城市过去一周内某时段车流量与空气质量指数的数据如下表：(1)根据表中周一到周五的数据，求 y 关于 x 的线性回归方
10、程。(2)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过 2，则认为得到的线性回归方程是可靠的请根据周六和周日数据，判定所得的线性回归方程是否可靠？注：回归方程 中斜率和截距最小二乘估计公式分别为 .【答案】 （1） ；（2）可靠.【解析】【分析】（1）根据所给的数据，求出 x， y 的平均数，根据求线性回归方程系数的方法，求出系数 ，把 和 x， y 的平均数，代入求 的公式，求出 的值，即可得线性回归方程（2）根据所求的线性回归方程，预报当自变量为 8 和 8.5 时的 y 的值，把预报的值同原来表中所给的 8 和 8.5 对应的值做差，差的绝对值不超过 2，得到线性回归方
11、程可靠【详解】 （1） ， =5， ， y 关于 x 的线性回归方程为.- 12 -（2）当 x=8 时， 满足|74-73|=10 时， 函数 在(0，)上单调递增，函数 在( ，+)上单调递减；（2） .【解析】【分析】（1）求出函数的导数，对 m 分类讨论，解得导函数大于 0 及小于 0 的范围，即可得到单调性（2）由条件可将问题转化函数 y=m 的图象与函数 的图象有两个交点.分析可得0e令 ，则 t 由 ，解得 构造 ，t ，利用导函数转化求解即可【详解】 （1）函数的定义域为(0，+).由已知可得 当 m0 时， 0，故 在区间(0，+)上单调递增； 当 m0 时，由 0，解得 ；
12、由 0，解得 所以函数 在(0， )上单调递增，在( ，+)上单调递减. - 15 -综上所述，当 m0 时，函数 在区间(0，+)上单调递增；当 m0 时， 函数 在(0， )上单调递增，函数 在( ，+)上单调递减. （2） 函数 g(x)=(x-e)(lnx-mx)有且只有三个不同的零点，显然 x=e 是其零点， 函数 存在两个零点，即 有两个不等的实数根可转化为方程 在区间(0，+)上有两个不等的实数根，即函数 y=m 的图象与函数 的图象有两个交点. ， 由 0，解得 ，故 在上单调递增；由 e，故 在(e，+)上单调递减；故函数 y=m 的图象与 的图象的交点分别在(0，e)，(e
13、，+)上，即 lnx-mx=0 的两个根分别在区间(0，e)，(e，+)上， g(x)的三个不同的零点分别是 x1，e，x 3，且 0e 令 ，则 t 由 ，解得 故 ，t 令 ，则 令 ，则 所以 在区间 上单调递增，即 - 16 -所以 ，即 在区间 上单调递增，即 = ，所以 ，即 x1x3 ，所以 x1x3的最大值为 【点睛】本题考查函数的导数的综合应用，函数的单调性以及函数的最值以及函数的极值的求法，构造法的应用，考查转化思想以及计算能力（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22, 23 题中任选一题做答。如果多做则按所做的第一题记分。22.在平面直角坐标系 xoy 中，曲线 C
14、的参数方程是 （ 为参数） 以坐标原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为：（1）求曲线 C 的极坐标方程；（2）设直线 与直线 l 交于点 M，与曲线 C 交于 P，Q 两点，已知OMOPOQ）10，求 t 的值。【答案】 （1） ；（2） 或 .【解析】【分析】（1）由曲线 C 的参数方程，可得曲线 C 的普通方程，再将其化为极坐标方程 （2）将 代入 中，求得| OM|，将 代入 中，得，得到| OP| |OQ|=5再根据| OM| |OP| |OQ|=10，解得 t 值即可.【详解】 （1）由曲线 C 的参数方程，可得曲线 C 的普通方程为 ，即 ，
15、 ，故曲线 C 的极坐标方程为 （2）将 代入 中，得 ，则 - 17 - | OM|= 将 代入 中，得 设点 P 的极径为 ，点 Q 的极径为 ，则 所以| OP| |OQ|=5又|OM| |OP| |OQ|=10，则 5 =10 t= 或【点睛】本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，考查了利用极坐标解决长度问题，考查了学生的运算能力和转化能力，属于基础题型23.已知函数（1）m1 时，求不等式 f（x2）+f（2x）4 的解集；（2）若 t0，求证： 【答案】 （1） x|x2；（2）见解析.【解析】【分析】（1）将不等式| x-3|+|2x-1|4 去绝对值 ，按当 x3、 及 x 分三类分别解不等式.（2）由绝对值三角不等式直接证明.【详解】 （1）由 m=1，则 |x-1|，即求不等式| x-3|+|2x-1|4 的解集当 x3 时，| x-3|+|2x-1|=3x-44 恒成立；当 时， x+24，解得 x2，综合得 ；当 x 时，4-3 x4，解得 x2（2） t0， = = 所以 【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法及绝对值三角不等式的应用，考查了不等式的证明，难度中档- 18 -
