1、- 1 -江西省九江市 2018 年第一次高考模拟统一考试数学试题（理科）第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合 ，集合 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】可解出集合 A， B，然后进行交集的运算即可【详解】 A x|2 x4， B x|x1； A B x|1 x4故选： D【点睛】本题考查描述法的定义，分式不等式的解法，对数函数的定义域，以及交集的运算，属于基础题2.已知 为复数，则 是 为实数的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要
2、条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合复数的运算进行判断即可【详解】令 z a+bi，（ a+bi）（2 i）2 a+b+（2 b a） i， z（2 i）为实数 a2 b，又 z2+ i ， a2 b，a2 b 推不出 ，- 2 - 是 a2 b 充分不必要条件，即 z2+ i 是 z（2 i）为实数的充分不必要条件故选： A【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据复数的运算是解决本题的关键3.若 sinx0，且 sin（cos x）0，则角 是（ ）A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角【答案】D
3、【解析】【分析】根据三角函数角的范围和符号之间的关系进行判断即可【详解】1cos x1，且 sin（cos x）0，0cos x1，又 sinx0，角 x 为第四象限角，故选： D【点睛】本题主要考查三角函数中角的象限的确定，根据三角函数值的符号去判断象限是解决本题的关键4.双曲线 的左、右焦点为 ，以 为圆心， 为半径的圆与双曲线在第一象限的交点为 ，且 轴，则该双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用已知条件列出 a， b， c 关系，然后求解离心率即可【详解】由题意可得：2 c ， b22 ac， c22 ac a20，即 e22 e10，解得 e故选
4、： C- 3 -【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力5.执行如下图所示的程序框图，输出 S 的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由已知中的程序可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 S 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案【详解】模拟程序的运行，可得：当 k1 时，不满足 k6，执行循环体得 S=0+cos = ，k=2，不满足 k6，执行循环体得 S= +cos = + ，k=3，不满足 k6，执行循环体得 S= + +cos = + ，k=4，不满足 k6，执行循环体得 S= + +cos = + ，k=5，不满
5、足 k6，执行循环体得 S= +cos = ，k=6，不满足 k6，执行循环体得 S=0+cos = ，k=7，满足 k6，退出循环，输出 S=-1，故选： A【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正- 4 -确的结论，是基础题6.河图是上古时代神话传说中伏羲通过黄河中浮出龙马身上的图案，与自己的观察，画出的“八卦” ，而龙马身上的图案就叫做“河图” 。把一到十分成五组，如图，其口诀：一六共宗，为水居北；二七同道，为火居南；三八为朋，为木居东；四九为友，为金居西；五十同途，为土居中。现从这十个数中随机抽取四个数，则能成为两组的概率是（ ）A. B. C.
6、 D. 【答案】C【解析】【分析】先求出基本事件总数 n ，能成为两组的基本事件个数 m ，由此能求出能成为两组的概率【详解】现从这十个数中随机抽取 4 个数，基本事件总数 n ，能成为两组的基本事件个数 m ，则能成为两组的概率是 p 故选： C【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题7. 的部分图像大致为（ ）A. B. - 5 -C. D. 【答案】B【解析】【分析】判断函数的奇偶性以及对称性，结合函数值的符号是否一致进行排除即可【详解】 f（ x） f（ x） ，则函数 f（ x）是偶函数，图象关于 y 轴对称，排除 A， D，f（） lncos
7、ln+10，排除 C，故选： B【点睛】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数的对称性以及特殊值的符号进行排除是解决本题的关键8.九章算术卷第五商功中，有“贾令刍童，上广一尺，袤二尺，下广三尺，袤四尺，高一尺。 ”，意思是：“假设一个刍童，上底面宽 1 尺，长 2 尺；下底面宽 3 尺，长 4 尺，高1 尺（如图） 。 ”（注：刍童为上下底面为相互平行的不相似长方形，两底面的中心连线与底面垂直的几何体） ，若该几何体所有顶点在一球体的表面上，则该球体的表面积为（ ）A. 平方尺 B. 平方尺 C. 平方尺 D. 平方尺【答案】B【解析】【分析】由已知得球心在几何体的外部，设球心到几何体下底
8、面的距离为 x，列方程求出 x2，从而R2 ，由此能求出该球体的表面积【详解】由已知得球心在几何体的外部，设球心到几何体下底面的距离为 x，则 R2 x2+（ ） 2（ x+1） 2+（ ） 2，- 6 -解得 x2， R2 ，该球体的表面积 S41故选： B【点睛】本题考查该球体的表面积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题9.函数 的最小正周期为 ，若其图像向左平移 个单位后得到的函数为偶函数，则函数 的图像（ ）A. 关于点 对称 B. 关于点 对称 C. 关于直线 对称 D. 关于直线对称【答案】B【解析】【分析】利用正弦
9、函数的周期性、函数 y Asin（ x+）的图象变换规律、诱导公式，求得 f（ x）的解析式，再利用正弦函数的图象的对称性，得出结论【详解】函数 f（ x）sin（ x+） （0，| ）的最小正周期为， ，2把其图象向左平移 个单位后得到函数 sin（2 x ）的图象，因为得到的函数为偶函数， k ， kZ， ， f（ x）sin（2 x ） 由于当 x 时，函数 f（ x）0，故 A 不满足条件，而 B 满足条件；令 x ，求得函数 f（ x）sin ，故 A、 C 不满足条件，故选： B【点睛】本题主要考查正弦函数的周期性、诱导公式，函数 y Asin（ x+）的图象变换规律，正弦函数的图
10、象的对称性，属于基础题10.设变量 满足约束条件 ，若目标函数 的最小值为 ，则得到最小值为（ ）- 7 -A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用线性规划的知识即可得到结论【详解】变量 x， y 满足约束条件 的可行域如图，当直线 z ax+by（ a0， b0）过直线 y1 和 2x y30 的交点（2，1）时，有最小值为 1；2 a+b1， （2 a+b） （ ）3 3+2 3+2 故选： D【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键11.如图，网格纸上小正方形边长为 ，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）
11、A. B. C. D. - 8 -【答案】B【解析】【分析】由三视图知该几何体为三棱锥，画出直观图、判断出位置关系和求出长度，利用椎体的体积公式求出答案.【详解】由三视图知该几何体为三棱锥 D ABC，如图：D 到面 ABC 的距离等于 E 到面 ABC 的距离的一半，又面 ABC 即为面 ABCF,所以 E 到面 ABC 的距离为面对角线的一半，为 ，所以 D 到面 ABC 的距离等于 ，又 SABC 4 ，所以其体积 V ，故选： B【点睛】本题考查三视图求几何体的体积，由三视图正确还原几何体和借助正方体是解题的关键，考查空间想象能力12.已知直线 与曲线 和 分别交于 两点，点 的坐标为
12、 ，则面积的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】求出 S ABC 2|BC| et+t2 t+2，令 f（ t） et+t2 t+2， tR，求出函数的导数，根据函数的单调性求出三角形面积的最小值即可【详解】由已知得 B（ t， et） ， C（ t， t2+t2） ，- 9 -则| BC| et+t2 t+2，故 S ABC 2|BC| et+t2 t+2，令 f（ t） et+t2 t+2， tR，f（ t） et+2t1，f（ t）在 R 递增，又 f（0）0，故 t0 时， f（ t）0， t0 时， f（ t）0，故 f（ t）在（，0）递减，在区间（0，
13、+）递增，故 f（ t） min e0+00+23，故 S ABC的最小值是 3，故选： C【点睛】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道综合题第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13.已知向量 ，则 在 方向上的投影等于_【答案】【解析】【分析】根据向量的数量积公式得到向量 在 方向上的投影为它们的数量积除以 的模【详解】向量 ，则向量 在 方向上的投影为： ；故答案为 【点睛】本题考查了向量的几何意义考查了向量的数量积公式，属于基础题14.若 展开式的常数项等于 ，则 _【答案】【解析】【分析】- 10 -根据二项
14、展开式的通项公式，求得（ x+2） （ x） 5展开式的常数项，再根据常数项等于80，求得 a 的值【详解】（ x） 5的展开式的通项公式为 Tr+1 （1） ra5 rx2r5 ，显然，2 r5 为奇数，所以若求 展开式的常数项，则 2r5=-1，所以 r=2,故（ x+2） （ x） 5的展开式的常数项等于 a380， a2，故答案为：2【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题15.如图，中心在坐标原点，焦点分别在 轴和 轴上的椭圆 都过点 ，且椭圆的离心率相等，以椭圆 的四个焦点为顶点顶的四边形面积为 ，则椭圆 的标准方程为_【答案】【解析
15、】【分析】由题意可设椭圆 C1： 1， C2： 1（ a ，0 b ） ，运用离心率公式和四边形的面积公式，解方程可得 a， b，进而得到所求椭圆方程【详解】由题意可设椭圆 C1： 1，C2： 1（ a ，0 b ） ，- 11 -由 ，即有 ab2，由 2 2 ，可得（ a22） （2 b2）2，解得 a2， b1，即有椭圆 C1： 1故答案为： 1【点睛】本题考查椭圆的方程和性质，考查了离心率公式，注意运用方程思想，考查运算能力，属于基础题16.在 中， 分别为角 的对边，已知 ，且的面积为 ，则 的值为_【答案】【解析】【分析】根据同角的三角函数关系和正弦、余弦定理求得角 A 的值，再利
16、用正弦定理和比例性质求得，结合 ABC 的面积求出 a 的值【详解】 ABC 中，由 cos2Acos 2B+sin2Csin BsinC ，得 1- sin2A -（1- sin 2B）+sin 2Csin 2B+sin2Csin 2Asin BsinC， b2+c2 a2 bc，由余弦定理得 cosA ，又 A（0，） ， A ；由正弦定理 ，- 12 - ，即 ，化简得 a23 bc；又 ABC 的面积为 S ABC bcsinA ， bc4， a212，解得 a2 故答案为：2 .【点睛】本题考查了正弦、余弦定理的应用问题，也考查了三角形面积公式应用问题，是中档题三、解答题 （本大题共
17、 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.设数列 的前 项和为 ，已知 ，（）求数列 的通项公式；（）设 ，求数列 的前 项和。【答案】() () 【解析】【分析】（）根据题意，由 2Sn（1 ） an+1可得 2Sn1 （1 ） an，两式相减可得（1 ）（ an+13 an）0，变形可得： an+13 an，据此分析可得数列 an是首项为 1，公比为 3 的等比数列，由等比数列的通项公式分析可得结论；（）由（）的结论， an3 n1 ，结合 bn（1） n（log 3an） 2，分析可得数列 bn的通项，分析可得 b2n1 +b2n（2 n2） 2+（2
18、n1） 24 n3，由此分析可得答案【详解】 （1）根据题意，数列 an满足 2Sn（1 ） an+1，- 13 -则有 2Sn1 （1 ） an， 可得：（1 ） （ an+13 an）0，变形可得： an+13 an，又由 a11，2 a12 S1（1 ） a2，解可得 a23，所以 a23 a1则数列 an是首项为 1，公比为 3 的等比数列，则 an3 n1 ；（2）由（1）的结论， an3 n1 ，则 bn（1） n（log 3an） 2（1） n（log 3（3 n1 ） 2（1） n（ n1） 2，则 b2n1 +b2n（2 n2） 2+（2 n1） 24 n3；数列 bn的前
19、2n 项和 T2n1+5+9+（4 n3） 2n2 n【点睛】本题考查数列的求和以及数列的递推公式的应用，关键是求出数列 an的通项公式18.如图，已知四棱锥 的底面是边长为 的菱形， ，点 是棱 的中点，点 在平面 的射影为 ， 为棱 上一点，（）求证：平面 平面 ；（）若 为棱 的中点， ，求直线 与平面 所成角的正弦值。【答案】()详见解析()【解析】【分析】（）推导出 BC PO， BC DE，从而 BC平面 PED，由此能证明平面 PED平面 BCF（）设 AC BD Q，以 Q 为原点， QB， QC 分别为 x， y 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线 CF 与平面 P
20、AB 所成角的正弦值- 14 -【详解】 （） 平面 ， 平面 ，依题意得 为等边三角形， 为棱 的中点，又 平面 ， 平面又 平面 ， 平面 平面 .（）设 ，以 为坐标原点， 分别为 轴，建立如图空间直角坐标系，则 ，设平面 的一个法向量为 ，则 ，即 ，令 ，得 ，故直线 与平面 所成角的正弦值为【点睛】本题考查面面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题19.某企业为了增加某种产品的生产能力，提出甲、乙两个方案。甲方案是废除原有生产线并引进一条新生产线，需一次性投资 1000 万元，年生产能力为 300
21、 吨；乙方案是改造原有生产线，需一次性投资 700 万元，年生产能力为 200 吨；根据市场调查与预测，该产品的年销售量的频率分布直方图如图所示，无论是引进新生产线还是改造原有生产线，设备的使用年限均为 6 年，该产品的销售利润为 1.5 万元/吨。（）根据年销售量的频率分布直方图，估算年销量的平均数 （同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） ；（）将年销售量落入各组的频率视为概率，各组的年销售量用该组区间的中点值作年销量的估计值，并假设每年的销售量相互独立。（i）根据频率分布直方图估计年销售利润不低于 270 万的概率；- 15 -（ii）以企业 6 年的净利润的期望值作为决策的依据，试判
22、断该企业应选择哪个方案。 （6 年的净利润=6 年销售利润-投资费用）【答案】()206() （）0.7（）乙方案【解析】【分析】（）由频率分布直方图能求出年销量的平均数（） （ i）该产品的销售利润为 1.5 万元/吨，由频率分布直方图得只有当年平均销量不低于 180 吨时年销售利润才不低于 270 万，由此能求出年销售利润不低于 270 万的概率（ ii）分别求出甲方案 6 年的净利润的期望值和乙方案 6 年的净利润的期望值，由乙方案的净利润的期望值大于甲方案的净利润的期望值，得企业应该选择乙方案【详解】 （）年销售量的平均数（吨）（） （）该产品的销售利润为 万元/吨,由直方图可知只有当
23、年平均销量不低于 吨时，年销售利润才不低于 万， 年销售利润不低于 万的概率（）设甲方案的年销售量为 吨，由（）可知甲方案的年销售量的期望 ，所以甲方案 6 年的净利润的期望值为： （万元）设乙方案的年销售量为 吨，则乙方案的年销售量的分布列为：乙方案的年销售量期望乙方案 6 年的净利润的期望值为: （万元）- 16 -由上可知乙方案的净利润的期望值大于甲方案的净利润的期望值，故企业应选择乙方案。【点睛】本题考查频率分布直方图、平均数、概率、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题20.已知抛物线 的焦点为 ，直线 与 相切于点 ，
24、（）求抛物线 的方程；（）设直线 交 于 两点， 是 的中点，若 ，求点 到 轴距离的最小值及此时直线 的方程。【答案】() () 最小值为 ，此时直线 的方程为【解析】【分析】（）设 A（ x0， y0） ，联立直线方程和抛物线方程，运用判别式为 0，结合抛物线的定义，可得抛物线方程；（）由题意可得直线 l 的斜率不为 0，设 l： x my+n， M（ x1， y1） ， N（ x2， y2） ，联立抛物线方程，运用韦达定理和弦长公式，结合中点坐标公式和基本不等式可得所求直线方程【详解】 （）设 ，联立方程 ，得由 ，得，解得故抛物线 的方程为（）由题意可得直线 l 的斜率不为 0，设 l
25、： x my+n， M（ x1， y1） ， N（ x2， y2） ，联立抛物线方程可得 y24 my4 n0，16 m2+16n0， y1+y24 m， y1y24 n，|AB| 8，可得 n m2，2m， 2m2+n m2- 17 -m2+112 13，当且仅当 m2+1，即 m21，即 m1，T 到 y 轴的距离的最小值为 3，此时 n1，直线的方程为 xy10.【点睛】本题考查抛物线的方程的求法，注意运用直线和抛物线相切的条件：判别式为 0，考查直线和抛物线方程联立，运用韦达定理和弦长公式，考查运算能力，属于中档题21.已知函数（）若函数 存在最小值，且最小值大于 ，求实数 的取值范围
26、；（）若存在实数 ，使得 ，求证：函数 在区间 上单调递增。【答案】() ()详见解析【解析】【分析】（）求出函数的导数，通过讨论 a 的范围，求出函数的单调区间，求出函数的最小值，从而确定 a 的范围即可；（）令 h（ x） f（ x） f（2 a x） ， x（0， a） ，得到 f（ x1） f（2 a x1） ，结合f（ x1） f（ x2） ，从而证明结论【详解】 （） f（ x） ， a0 时， f（ x）0 在（0，+）恒成立， f（ x）在（0，+）递增，故无最小值； a0 时，由 f（ x）0，解得： x a，由 f（ x）0，解得：0 x a，故 f（ x）在（0， a）递
27、减，在（ a，+）递增，此时 f（ x）有最小值，且 f（ x） min a（1 a lna） ，令 g（ a）1 a lna（ a0） ，则 g（ a）在（0，+）递减，又 g（1）0，0 a1 时， g（ a）0，此时 f（ x） min0，- 18 -a1 时， g（ a）0，此时 f（ x） min0，故 a 的范围是（0，1） ；（）由（）可知，要存在实数 x1， x2，使得 f（ x1） f（ x2） ，则 a0， f（ x）在（0， a）递减，在（ a，+）递增，不妨设 0 x1 x2，则 0 x1 a，令 h（ x） f（ x） f（2 a x） ， x（0， a） ，则 h（
28、 x） ， x（0， a）时， h（ x）0， h（ x）在（0， a）递减， x1（0， a） ， h（ x1） h（ a） f（ a） f（ a）0，即 f（ x1） f（2 a x1）0， f（ x1） f（2 a x1） ， f（ x1） f（ x2） ， f（ x2） f（2 a x1） ，0 x1 a，2 a x1 a， f（ x）在（ a，+）递增， x22 a x1， a，函数 f（ x）在区间 ，+）递增， x1 x2， ，函数 f（ x）在区间 ，+）上单调递增【点睛】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题请考生在 22、2
29、3 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数） ，以坐标原点 为极- 19 -点，以 轴正半轴为极轴，建立极坐标系（ ） ，点 为曲线 上的动点，点 在线段 的延长线上，且满足 ，点 的轨迹为 。（）求 的极坐标方程；（）设点 的极坐标为 ，求 面积的最小值。【答案】() : ; : ()2【解析】【分析】（1）由曲线 C1的参数方程能求出曲线 C1的普通方程，由此能求出曲线 C 的极坐标方程；设点 B 的极坐标为（，） ，点 A 的极坐标为（ 0， 0） ，则|OB|，| OA| 0， 02cos 0， 0，从而 08，由此能
30、求出 C2的极坐标方程（2）由| OC|2， S ABC S OBC S OAC |OC| Bcos Acos|42cos 2|，由此能求出 S ABC的最小值【详解】 （1）曲线 C1的参数方程为 （ 为参数） ，曲线 C1的普通方程为 x2+y22 x0，曲线 C 的极坐标方程为 2cos，设点 B 的极坐标为（，） ，点 A 的极坐标为（ 0， 0） ，则| OB|，| OA| 0， 02cos 0， 0，| OA|OB|8， 08， ，cos4， C2的极坐标方程为 cos4（2）由题设知| OC|2，S ABC S OBC S OAC |OC| Bcos Acos|42cos 2|，
31、当 0 时， S ABC取得最小值为 2【点睛】本题考查曲线的极坐标方程的求法，考查三角形的面积的最小值的求法，考查极坐标方程、参数方程、直角坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，是中档题23.设函数- 20 -（）当 时，解不等式 ；（）求证：【答案】() ()详见解析【解析】【分析】（）当 a1 时，不等式 f（ x）1 等价于| x+1| x1|1，去绝对值，分段求出即可，（）根据绝对值三角不等式可得 f（ x） ，只要证明 2 即可.【详解】 （）当 a1 时，不等式 f（ x）1 等价于| x+1| x1|1，当 x1 时，不等式化为 x1+ x11，原不等式无解，当1 x1 时，不等式化为 x+1+x11，解得 x1，当 x1 时，不等式化为 x+1 x+11，解得 x1，综上所述，不等式的解集为 ，+） ；（） f（ x）| x | x |（ x ）（ x ）| ， a0，2， a+2 a2 ，2 a+（2 a）（ ） 2，（ ） 24， 2， f（ x）2【点睛】本题考查了绝对值不等式的应用和不等式的证明，考查了推理论证能力，属于中档题- 21 -
