1、1福建省晋江市南侨中学 2018-2019 学年高二数学下学期第一次月考试题 文满分：150 考试时间：120 分钟学校:_姓名：_班级：_考号：_一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）1. 复数 的共轭复数的模为（ ）A. B. C. 1 D. 22. 复数 z= 的虚部为（ ）A. B. C. 1 D. 23. 已知具有线性相关的两个变量 x， y 之间的一组数据如下：x 0 1 2 3 4y 2.2 4.3 4.5 4.8 6.7回归方程是= bx+a，其中 b=0.95， a= -b 则当 x=6 时， y 的预测值为（ ）A. B. C. D. 4. 用反证法证明命题：
2、“已知 a、 b 是自然数，若 a+b3，则 a、 b 中至少有一个不小于2”，提出的假设应该是（）A. a、 b 中至少有二个不小于 2 B. a、 b 中至少有一个小于 2C. a、 b 都小于 2 D. a、 b 中至多有一个小于 25. 若 z=1+2i，则 =（ ）A. 1 B. C. i D. 6. 将参数方程 （为参数）化为普通方程是（ ）A. B. C. D. 7. 已知 i 是虚数单位，复数 z=a+i（ a R）满足 z2+z=1-3i，则 a=（ ）A. B. 或 1 C. 2 或 D. 18. 在极坐标系中，点（ ， ）到直线 sin（- ）=- 的距离是（ ）2A.
3、1 B. C. D. 9. 我国古代数学名著孙子算经中有如下问题：“今有三女，长女五日一归，中女四日一归，少女三日一归问：三女何日相会？”意思是：“一家出嫁的三个女儿中，大女儿每五天回一次娘家，二女儿每四天回一次娘家，小女儿每三天回一次娘家三个女儿从娘家同一天走后，至少再隔多少天三人再次相会？”假如回娘家当天均回夫家，若当地风俗正月初二都要回娘家，则从正月初三算起的一百天内，有女儿回娘家的天数有（ ）A. 58 B. 59 C. 60 D. 6110. 已知 i 为虚数单位， a 为实数，复数 z 满足 z+3i=a+ai，若复数 z 是纯虚数，则（ ）A. B. C. D. 11. 定义运算
4、 =ad-bc，若 z= ，则复数对应的点在（ ）A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限12. 某小朋友按如下规则练习数数，1 大拇指，2 食指，3 中指，4 无名指，5 小指，6 无名指，7 中指，8 食指，9 大拇指，10 食指，一直数到 2016 时，对应的指头是（ ）A. 小指B. 中指C. 食指D. 大拇指二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）13. 已知 a R， i 为虚数单位，若 为实数，则 a 的值为_.14. 在极坐标系中，已知 A（2， ）， B（4， ），则 AOB 的面积 S= _ 15. 在极坐标系中，直线 cos+sin= a（
5、 a0）与圆 =2cos 相切，则a=_316. 1934 年，来自东印度（今孟加拉国）的学者森德拉姆发现了“正方形筛子”，其数字排列规律与等差数列有关，如图，则“正方形筛子”中，位于第 8 行第 7 列的数是_ 三、解答题（本大题共 6 小题，共 72.0 分）17. 已知 m R，复数 （ i 是虚数单位）（1）若复数 z 是实数，求 m 的值；（2）若复数 z 对应的点位于复平面的第二象限，求 m 的取值范围18. 随着人们经济收入的不断增长，个人购买家庭轿车已不再是一种时尚车的使用费用，尤其是随着使用年限的增多，所支出的费用到底会增长多少，一直是购车一族非常关心的问题某汽车销售公司作了
6、一次抽样调查，并统计得出某款车的使用年限 x 与所支出的总费用 y（万元）有如表的数据资料：使用年限 x 2 3 4 5 6总费用 y 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0（ 1）在给出的坐标系中做出散点图；（2）求线性回归方程= x+中的、；（3）估计使用年限为 12 年时，车的使用总费用是多少？4（最小二乘法求线性回归方程系数公式= ， = - ）19. 在数列 an中， a1=1，当 n2 时， （1）求 a2， a3， a4；（2）猜想数列 an的通项 an，并证明你的结论20. 国际奥委会将于 2017 年 9 月 15 日在秘鲁利马召开 130 次会议决定 2024 年第 33
7、届奥运会举办地，目前德国汉堡，美国波士顿等申办城市因市民担心赛事费用超支而相继退出，某机构为调查我国公民对申办奥运会的态度，选了某小区的 100 位居民调查结果统计如下：支持 不支持 合计年龄不大于 50 _ _ 80 5岁年龄大于 50 岁 10 _ _ 合计 _ 70 100 根据已知数据，把表格数据填写完整；能否在犯错误的概率不超过 的前提下认为不同年龄与支持申办奥运无关？已知在被调查的年龄大于 50 岁的支持者中有 5 名女性，其中 2 位是女教师，现从这 5 名女性中随机抽取 3 人，求至多有 1 位教师的概率附： ， ，来 k 已知极点与直角坐标系的原点重合，极轴与 x 轴的正半轴
8、重合，圆 C 的极坐标是=2 asin，直线 l 的参数方程是 （ t 为参数）（1）若 a=2， M 为直线 l 与 x 轴的交点， N 是圆 C 上一动点，求| MN|的最大值；（2）若直线 l 被圆 C 截得的弦长为 ，求 a 的值在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为 （ t 为参数， a0）在以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C2：=4cos（）说明 C1是哪种曲线，并将 C1的方程化为极坐标方程；（）直线 C3的极坐标方程为 = 0，其中 0满足 tan 0=2，若曲线 C1与 C2的公共点都在 C3上，求 a67答案和解析1.【答案】 B【解析】
9、解： = ， 故选：B 直接利用复数代数形式的乘除运算化简，结合 求解 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础的计算题2.【答案】 B【解析】解：z= = ， 复数 z= 的虚部为-1 故选：B 直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题3.【答案】 C【解析】解：由题意可知： = =2， = =4.5，由 a= -b =4.5-0.952=2.6， =0.95x+2.6，当 x=6， =0.956+2.6=8.3，y 的预测值为 8.3，故选 C线性回归方程 =0.95x+2.6，必过样本中心点（ ， ），首先
10、计算出横标和纵标的平均数，代入回归直线方程求出 a 即可得到回归直线的方程，代入 x=6，可得 y 的预测值本题考查线性回归方程的应用，考查线性回归方程的求法，考查计算能力，属于基础题4.【答案】 C【解析】8解：根据用反证法证明数学命题的方法和步骤，应先假设命题的否定成立，而命题：“已知 a、b 是自然数，若 a+b3，则 d、b 中至少有一个不小于 2”的否定为“a、b 都小于 2”，故选 C根据用反证法证明数学命题的方法和步骤，应先假设命题的否定成立，而要证明题的否定为：“a、b 都小于 2”，从而得出结论本题主要考查用反证法证明数学命题的方法和步骤，求一个命题的否定，属于中档题5.【答
11、案】 C【解析】【分析】本题考查复数的代数形式混合运算，考查计算能力利用复数的乘法运算法则，化简求解即可【解答】解：z=1+2i，则 = = =i故选 C6.【答案】 C【解析】【分析】本题考查参数方程化为普通方程，注意变量的范围两个方程，消去 ，可得 ，确定 的范围，可得普通方程【解答】解：由第一个方程，可得 1x3，两个方程，消去 ，可得 y=x-2，将参数方程 （ 为参数）化为普通方程是 ，故选 C7.【答案】 A【解析】9解：z=a+i， z 2+z=（a+i） 2+a+i=a2+a-1+2ai+i=1-3i， ，解得 a=-2 故选：A 把 z=a+i 代入 z2+z=1-3i，整理
12、后利用复数相等的条件列式求得 a 值 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数相等的条件，是基础题8.【答案】 B【解析】【分析】把点的极坐标化为直角坐标，把直线的极坐标方程化为直角坐标方程，可得点到直线的距离本题主要考查把点的极坐标化为直角坐标，求点到直线的距离，属于基础题.【解答】解：点（ ， ）的直角坐标为（1，1），直线 sin（- ）=- 的普通坐标方程为： y- x=- ，即 3x- y-3=0，故点到直线的距离为 d= = ，故选：B.9.【答案】 C【解析】解：大女儿每五天回一次娘家，二女儿每四天回一次娘家，小女儿每三天回一次娘家， 当地风俗正月初二都要回娘家，则从正月初三算起
13、的一百天内， 小女儿、二女儿和大女儿回娘家的天数分别是 33，25，20， 小女儿和二女儿、小女儿和大女儿、二女儿和大女儿同时回娘家的天数分别为 8，6，5， 三个女儿同时回娘家的天数是 1， 从正月初三算起的一百天内，有女儿回娘家的天数有： 33+25+20-（8+6+5）+1=60 故选：C小女儿、二女儿和大女儿回娘家的天数分别是 33，25，20，其中小女儿和二女儿、小女儿10和大女儿、二女儿和大女儿同时回娘家的天数分别为 8，6，5，三个女儿同时回娘家的天数是 1，由此能求出从正月初三算起的一百天内，有女儿回娘家的天数本题考查有女儿回家的天数的求法，考查分类讨论、集合等基础知识，考查运
14、算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题10.【答案】 B【解析】解：由 z+3i=a+ai，得 z=a+（a-3）i，又复数 z 是纯虚数， ，解得 a=0故选：B把已知等式变形，再结合已知条件即可求出 a 的值本题考查了复数的基本概念，是基础题11.【答案】 B【解析】解：由已知可得，z= =1i2-2i=-1-2i， ， 则复数 对应的点的坐标为（-1，2），在第二象限， 故选：B 利用已知定义结合虚数单位 i 的运算性质求得 z，进一步得到 ，求得 的坐标得答案 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了共轭复数的概念，是基础题12.【答案】 C【解析】【分析】此题是个中档题考查学生观察、
15、归纳和分析解决问题的能力只需找出大拇指和小指对应的数的规律即可关键规律为：大拇指对的数是 1+8n，小指对的数是 5+8n，其中 nZ食指、中指、无名指对的数介于它们之间【解答】11解：大拇指对的数是 1+8n，小指对的数是 5+8n，其中 nZ，又2013=2518+5，数到 2013 时对应的指头是小指故知数到 2016 时对应的指头是食指故选 C13.【答案】-2【解析】【分析】运用复数的除法法则，结合共轭复数，化简 ，再由复数为实数的条件：虚部为 0，解方程即可得到所求值，本题考查复数的乘除运算，注意运用共轭复数，同时考查复数为实数的条件：虚部为 0，考查运算能力，属于基础题【解答】解
16、：aR，i 为虚数单位，= = = - i由 为实数，可得- =0，解得 a=-2故答案为-214.【答案】2【解析】解：在极坐标系下，点 A（2， ），B（4， ），O 是极点， OA=2，OB=4，AOB= ， 则AOB 的面积等于 24 =2， 故答案为：2 12根据点的极坐标可得 OA=2，OB=4，AOB= ，利用三角形的面积公式，即可求出AOB 的面积 本题主要考查点的极坐标的定义，三角形的面积公式，属于基础题15.【答案】1+【解析】解：圆 =2cos，转化成： 2=2cos，进一步转化成直角坐标方程为：（x-1） 2+y2=1，把直线 （cos+sin）=a 的方程转化成直角坐
17、标方程为：x+y-a=0由于直线和圆相切，所以：利用圆心到直线的距离等于半径则： =1，解得：a=1 a0则负值舍去故：a=1+ 故答案为：1+ 首先把曲线和直线的极坐标方程转化成直角坐标方程，进一步利用圆心到直线的距离等于半径求出结果本题考查的知识要点：极坐标方程与直角坐标方程的互化，直线与圆相切的充要条件的应用16.【答案】127【解析】解：由题可知，第 1 行的数字公差为 3，第 2 行公差为 5，第 3 行公差为 7，第 n 行，公差为 3+2(n-1)=2n+1，则第 8 行公差为为 28+1=17，第 1 行第一个数为 4，第 2 行第一个数为 7，第 3 行第一个数为 10，第
18、n 行第一个数为 4+3(n-1)=3n+1，则第 8 行第一个数为 38+1=2513第 8 行的第 7 个数就是 25+（7-1）17=127故答案为：127通过图表观察，每一行的公差为 3，5，7，2n+1再由等差数列的通项公式，即可得到所求值本题给出“正方形筛子”的例子，求表格中的指定项，着重考查了等差数列的通项公式及其应用的知识，属于基础题17.【答案】解：（1） 是实数， ，解得 m=3；（2）复数 z 对应的点位于复平面的第二象限， ，解得-2 m-1 m 的取值范围是（-2，-1）【解析】（1）直接由虚部为 0 求解； （2）由实部小于 0 且虚部大于 0 联立不等式组求解本题
19、考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题18.【答案】解：（1）散点图如图，由图知 y 与 x 间有线性相关关系；（2） =4， =5， xiyi=112.3， =90，= = =1.23；=-x=5-1.234=0.08（3）线性回归直线方程是=1.23 x+0.08，14当 x=12（年）时， =1.2312+0.08=14.84（万元）即估计使用 12 年时，支出总费用是 14.84 万元【解析】本题考查了线性回归直线方程的求法及利用回归方程估计预报变量，解答此类问题的关键是利用公式求回归方程的系数，计算要细心（1）利用描点法作出散点图；
20、（2）把数据代入公式，利用最小二乘法求回归方程的系数，可得回归直线方程；（3）把 x=12 代入回归方程得 y 值，即为预报变量19.【答案】解：（1）数列 an中， a1=1，当 n2 时， ， a2= ， a3= ， a4= ；（2）猜想 an= 当 n2 时， ， = + ， - = ，数列 是首项为 1，公差为 的等差数列， = ， an= 【解析】（1）利用条件，代入计算，可求 a2，a 3，a 4； （2）猜想数列a n的通项 an，证明数列 是首项为 1，公差为 的等差数列，即可证明结论 15本题考查等差数列的判定，考查数列的通项，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题20.【答
21、案】解：（1）支持 不支持 合计年龄不大于 50岁20 60 80年龄大于 50 岁 10 10 20合计 30 70 100（ 2） ，所以能在犯错误的概率不超过 5%的前提下认为不同年龄与支持申办奥运无关；（3）记 5 人为 abcde，其中 ab 表示教师，从 5 人任意抽 3 人的所有等可能事件是：abc， abd， abe， acd， ace， ade， bcd， bce， bde， cde 共 10 个，其中至多 1 位教师有 7 个基本事件： acd， ace， ade， bcd， bce， bde， cde，所以所求概率是 【解析】本题考查独立性检验的应用，考查概率的计算，本题
22、解题的关键是根据所给的数据填在列联表中，注意数据的位置不要出错（1）根据条件中所给的数据，列出列联表，填上对应的数据，得到列联表；（2）假设聋哑没有关系，根据上一问做出的列联表，把求得的数据代入求观测值的公式求出观测值，把观测值同临界值进行比较得到结论；（3）列举法确定基本事件，即可求出概率21.【答案】解：（1）直线 l 的参数方程是 ， a=2 时，化为普通方程：（ x-2）.令 y=0，解得 x=2，可得 M（2，0）.圆 C 的极坐标是 =2 asin，即 2=4sin，可得直角坐标方程： x2+y2-4y=0，即 x2+（ y-2） 2=4.|MC|=2 ，| MN|的最大值为 2
23、+2.16（2）圆 C 的方程为： x2+（ y-a） 2=a2，直线 l 的方程为：4 x+3y-4a=0，圆心 C 到直线 l 的距离 d= = . =2 ，解得 a= .【解析】本题考查了参数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程、点到直线的距离公式、弦长公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.（1）直线 l 的参数方程是 ，a=2 时，化为普通方程： （x-2）可得 M（2，0）圆 C 的极坐标是 =2asin，即 2=4sin，利用互化公式可得直角坐标方程，求出|MC|=2 ，可得|MN|的最大值为 2 +2.（2）圆 C 的方程为：x 2+（y-a） 2=a2，直线 l
24、的方程为：4x+3y-4a=0，利用点到直线的距离公式与弦长公式即可得出.22.【答案】解：（）由 ，得 ，两式平方相加得， x2+（ y-1）2=a2 C1为以（0，1）为圆心，以 a 为半径的圆化为一般式： x2+y2-2y+1-a2=0由 x2+y2= 2， y=sin，得 2-2sin+1- a2=0；（） C2：=4cos，两边同时乘 得 2=4cos， x2+y2=4x，即（ x-2） 2+y2=4由 C3：= 0，其中 0满足 tan 0=2，得 y=2x，曲线 C1与 C2的公共点都在 C3上， y=2x 为圆 C1与 C2的公共弦所在直线方程，-得：4 x-2y+1-a2=0，即为 C3 ，1- a2=0， a=1（ a0）【解析】17（）把曲线 C1的参数方程变形，然后两边平方作和即可得到普通方程，可知曲线 C1是圆，化为一般式，结合 x2+y2= 2，y=sin 化为极坐标方程； （）化曲线 C2、C 3的极坐标方程为直角坐标方程，由条件可知 y=x 为圆 C1与 C2的公共弦所在直线方程，把 C1与 C2的方程作差，结合公共弦所在直线方程为 y=2x 可得 1-a2=0，则 a 值可求本题考查参数方程即简单曲线的极坐标方程，考查了极坐标与直角坐标的互化，训练了两圆公共弦所在直线方程的求法，是基础题
