1、1专题跟踪检测（十四） 圆锥曲线的综合问题1(2018武汉调研)已知抛物线 C： x22 py(p0)和定点 M(0,1)，设过点 M的动直线交抛物线 C于 A， B两点，抛物线 C在 A， B处的切线的交点为 N.(1)若 N在以 AB为直径的圆上，求 p的值；(2)若 ABN的面积的最小值为 4，求抛物线 C的方程解：设直线 AB： y kx1， A(x1， y1)， B(x2， y2)，将直线 AB的方程代入抛物线 C的方程得 x22 pkx2 p0，则 x1 x22 pk， x1x22 p.(1)由 x22 py得 y ，则 A， B处的切线斜率的乘积为 ，xp x1x2p2 2p点
2、N在以 AB为直径的圆上， AN BN， 1， p2.2p(2)易得直线 AN： y y1 (x x1)，x1p直线 BN： y y2 (x x2)，x2p联立Error! 结合式，解得Error! 即 N(pk，1)所以| AB| |x2 x1|1 k2 1 k2 x1 x2 2 4x1x2 ，1 k2 4p2k2 8p点 N到直线 AB的距离 d ，|pk2 2|1 k2则 S ABN |AB|d 2 ，12 p pk2 2 3 2p当 k0 时，取等号， ABN的面积的最小值为 4，2 4， p2，2p故抛物线 C的方程为 x24 y.2(2019 届高三河北“五个一名校联盟”模拟)在平
3、面直角坐标系 xOy中，已知椭圆 C： y21，点 P(x1， y1)， Q(x2， y2)是椭圆 C上两个动点，直线 OP， OQ的斜率分别x24为 k1， k2，若 m ， n ， mn0.(x12， y1) (x22， y2)2(1)求证： k1k2 ；14(2)试探求 POQ的面积 S是否为定值，并说明理由解：(1)证明： k1， k2存在， x1x20， mn0， y1y20，x1x24 k1k2 .y1y2x1x2 14(2)当直线 PQ的斜率不存在，即 x1 x2， y1 y2时，由 ，得 y 0，y1y2x1x2 14 x214 21又由 P(x1， y1)在椭圆上，得 y 1
4、，x214 21| x1| ，| y1| ，222 S POQ |x1|y1 y2|1.12当直线 PQ的斜率存在时，设直线 PQ的方程为 y kx b(b0)由Error! 得(4 k21) x28 kbx4 b240， 64 k2b24(4 k21)(4 b24)16(4 k21 b2)0， x1 x2 ， x1x2 . 8kb4k2 1 4b2 44k2 1 y1y20，x1x24 ( kx1 b)(kx2 b)0，x1x24得 2b24 k21，满足 0. S POQ |PQ|12 |b|1 k2 |b|12 x1 x2 2 4x1x22| b| 1.4k2 1 b24k2 1 POQ
5、的面积 S为定值3.(2018长春质检)如图，在矩形 ABCD中，| AB|4，| AD|2， O3为 AB的中点， P， Q分别是 AD和 CD上的点，且满足 ，直线 AQ与 BP的交|AP|AD| |DQ|DC|点在椭圆 E： 1( ab0)上x2a2 y2b2(1)求椭圆 E的方程；(2)设 R为椭圆 E的右顶点， M为椭圆 E第一象限部分上一点，作 MN垂直于 y轴，垂足为 N，求梯形 ORMN面积的最大值解：(1)设 AQ与 BP的交点为 G(x， y)， P(2， y1)， Q(x1,2)，由题可知， .y12 x1 24 kAG kAQ， kBG kBP， ， ，yx 2 2x1
6、 2 yx 2 y14从而有 ，整理得 y21，y2x2 4 y12 x1 2 14 x24即椭圆 E的方程为 y21.x24(2)由(1)知 R(2,0)，设 M(x0， y0)，则 y0 ，124 x20从而梯形 ORMN的面积 S (2 x0)y0 ，12 14 4 x20 2 x0 2令 t2 x0，则 20， u4 t3 t4单调递增，当 t(3,4)时， u0)，直线 x my3 与 E交于 A， B两点，且 6，其中 O为坐标原点OA OB (1)求抛物线 E的方程；(2)已知点 C的坐标为(3,0)，记直线 CA， CB的斜率分别为 k1， k2，证明： 2 m2为定值1k21
7、 1k2解：(1)设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，联立Error! 消去 x，整理得 y22 pmy6 p0，4则 y1 y22 pm， y1y26 p， x1x2 9， y1y2 24p2由 x1x2 y1y296 p6，OA OB 解得 p ，所以 y2 x.12(2)证明：由题意得 k1 ，y1x1 3 y1my1 6k2 ，y2x2 3 y2my2 6所以 m ， m ，1k1 6y1 1k2 6y2所以 2 m2 2 22 m21k21 1k2 (m 6y1) (m 6y2)2 m212 m 36 2 m2(1y1 1y2) (1y21 1y2)12 m 36 .y1
8、y2y1y2 y1 y2 2 2y1y2y21y2由(1)可知： y1 y22 pm m， y1y26 p3，所以 2 m212 m 36 24，1k21 1k2 ( m3) m2 69所以 2 m2为定值1k21 1k25(2018惠州调研)已知 C为圆( x1) 2 y28 的圆心， P是圆上的动点，点 Q在圆的半径 CP上，且有点 A(1,0)和 AP上的点 M，满足 0， 2 .MQ AP AP AM (1)当点 P在圆上运动时，求点 Q的轨迹方程；(2)若斜率为 k的直线 l与圆 x2 y21 相切，与(1)中所求点 Q的轨迹交于不同的两点 F， H， O是坐标原点，且 ，求 k的取
9、值范围34 OF OH 45解：(1)由题意知 MQ是线段 AP的垂直平分线，所以| CP| QC| QP| QC| QA|2 |CA|2，2所以点 Q的轨迹是以点 C， A为焦点，焦距为 2，长轴长为 2 的椭圆，2所以 a ， c1， b 1，2 a2 c2故点 Q的轨迹方程是 y21.x22(2)设直线 l： y kx t， F(x1， y1)， H(x2， y2)，直线 l与圆 x2 y21 相切 1 t2 k21.|t|k2 15联立Error! (12 k2)x24 ktx2 t220，则 16 k2t24(12 k2)(2t22)8(2 k2 t21)8 k20k0，x1 x2
10、， x1x2 ， 4kt1 2k2 2t2 21 2k2所以 x1x2 y1y2OF OH (1 k2)x1x2 kt(x1 x2) t2 kt t2 1 k2 2t2 21 2k2 4kt1 2k2 k21 1 k2 2k21 2k2 4k2 k2 11 2k2 ，1 k21 2k2所以 k2 | k| ，34 1 k21 2k2 45 13 12 33 22所以 k 或 k .22 33 33 22故 k的取值范围是 .22， 33 33， 226.如图所示，设椭圆 M： 1( ab0)的左顶点为 A，中心为x2a2 y2b2O，若椭圆 M过点 P ，且 AP OP.(12， 12)(1)
11、求椭圆 M的方程；(2)若 APQ的顶点 Q也在椭圆 M上，试求 APQ面积的最大值；(3)过点 A作两条斜率分别为 k1， k2的直线交椭圆 M于 D， E两点，且 k1k21，求证：直线 DE过定点解：(1)由 AP OP，可知 kAPkOP1.又点 A的坐标为( a,0)，所以 1，解得 a1.12 12 a12 12又因为椭圆 M过点 P，所以 1，解得 b2 ，14 14b2 13所以椭圆 M的方程为 x2 1.y2136(2)由题意易求直线 AP的方程为 ，y 012 0x 1 12 1即 x y10.因为点 Q在椭圆 M上，故可设 Q ，(cos ，33sin )又| AP| ，
12、22所以 S APQ 12 22 |cos 33sin 1|2 cos 1 .14 233 ( 6)当 2 k( kZ)，即 2 k (kZ)时，6 6S APQ取得最大值 .36 14(3)证明：法一：由题意易得，直线 AD的方程为 y k1(x1)，代入 x23 y21，消去y，得(3 k 1) x26 k x3 k 10.21 21 21设 D(xD， yD)，则(1) xD ，3k21 13k21 1即 xD ， yD k1 .1 3k211 3k21 (1 3k211 3k21 1) 2k11 3k21设 E(xE， yE)，同理可得 xE ， yE .1 3k21 3k2 2k21
13、 3k2又 k1k21 且 k1 k2，可得 k2 且 k11，1k1所以 xE ， yE ，k21 3k21 3 2k1k21 3所以 kDE ，yE yDxE xD2k1k21 3 2k11 3k21k21 3k21 3 1 3k211 3k21 2k13 k21 1故直线 DE的方程为 y .2k11 3k21 2k13 k21 1 (x 1 3k211 3k21)令 y0，可得 x 2.1 3k211 3k21 3 k21 11 3k21故直线 DE过定点(2,0)法二：设 D(xD， yD)， E(xE， yE)7若直线 DE垂直于 y轴，则 xE xD， yE yD，此时k1k2
14、与题设矛盾，yDxD 1 yExE 1 y2D1 x2D y2D3y2D 13若 DE不垂直于 y轴，可设直线 DE的方程为 x ty s，将其代入 x23 y21，消去x，得( t23) y22 tsy s210，则 yD yE ， yDyE . 2tst2 3 s2 1t2 3又 k1k2 yDxD 1 yExE 1yDyE tyD s 1 tyE s 11，可得( t21) yDyE t(s1)( yD yE)( s1) 20，所以( t21) t(s1) ( s1) 20，s2 1t2 3 2tst2 3可得 s2 或 s1.又 DE不过点 A，即 s1，所以 s2.所以 DE的方程为
15、 x ty2.故直线 DE过定点(2,0)7(2018南昌模拟)如图，已知直线 l： y kx1( k0)关于直线 y x1 对称的直线为 l1，直线 l， l1与椭圆 E： y21 分别交于点 A， M和 A， N，记直线 l1的斜率为 k1.x24(1)求 kk1的值；(2)当 k变化时，试问直线 MN是否恒过定点？若恒过定点，求出该定点坐标；若不恒过定点，请说明理由解：(1)设直线 l上任意一点 P(x， y)关于直线 y x1 对称的点为 P0(x0， y0)，直线 l与直线 l1的交点为(0,1)， l： y kx1， l1： y k1x1，k ， k1 ，y 1x y0 1x0由
16、1，y y02 x x02得 y y0 x x02， 由 1，得 y y0 x0 x， y y0x x0由得Error!8 kk1yy0 y y0 1xx0 1. x 1 x0 1 x x0 2 1xx0(2)由Error! 得(4 k21) x28 kx0，设 M(xM， yM)， N(xN， yN)， xM ， yM . 8k4k2 1 1 4k24k2 1同理可得 xN ， yN . 8k14k21 1 8k4 k2 1 4k214k21 1 k2 44 k2kMN ，yM yNxM xN1 4k24k2 1 k2 44 k2 8k4k2 1 8k4 k2 8 8k48k 3k2 3 k
17、2 13k直线 MN： y yM kMN(x xM)，即 y ，1 4k24k2 1 k2 13k (x 8k4k2 1)即 y x x .k2 13k 8 k2 13 4k2 1 1 4k24k2 1 k2 13k 53当 k变化时，直线 MN过定点 .(0， 53)8(2019 届高三湘东五校联考)已知椭圆 C的中心在原点，离心率等于 ，它的一个12短轴端点恰好是抛物线 x28 y的焦点3(1)求椭圆 C的方程；(2)如图，已知 P(2,3)， Q(2，3)是椭圆上的两点， A， B是椭圆上位于直线 PQ两侧的动点若直线 AB的斜率为 ，求四边形 APBQ面积的最大值；12当 A， B运动
18、时，满足 APQ BPQ，试问直线 AB的斜率是否为定值？请说明理由解：(1)设椭圆 C的方程为 1( ab0)，x2a2 y2b2抛物线的焦点为(0,2 )39 b2 .3由 ， a2 c2 b2，得 a4，ca 12椭圆 C的方程为 1.x216 y212(2)设 A(x1， y1)， B(x2， y2)设直线 AB的方程为 y x t，12代入 1，x216 y212得 x2 tx t2120，由 0，解得4 t4， x1 x2 t， x1x2 t212，| x1 x2| x1 x2 2 4x1x2 t2 4 t2 12 .48 3t2四边形 APBQ的面积S 6|x1 x2|3 .12
19、 48 3t2当 t0 时， S取得最大值，且 Smax12 .3若 APQ BPQ，则直线 PA， PB的斜率之和为 0，设直线 PA的斜率为 k，则直线PB的斜率为 k，直线 PA的方程为 y3 k(x2)，由Error! 消去 y，得(34 k2)x28 k(32 k)x4(32 k)2480， x12 ，8k 2k 33 4k2将 k换成 k可得 x22 ， 8k 2k 33 4k2 8k 2k 33 4k2 x1 x2 ， x1 x2 ，16k2 123 4k2 48k3 4k2 kAB y1 y2x1 x2 k x1 2 3 k x2 2 3x1 x2 ，k x1 x2 4kx1 x2 12直线 AB的斜率为定值 .1210
