1、1专题突破练(6) 圆锥曲线定点、定值、最值、范围、探索性问题一、选择题1设 AB为过抛物线 y22 px(p0)的焦点的弦，则| AB|的最小值为( )A B p C2 p D无法确定p2答案 C解析 当弦 AB垂直于对称轴时| AB|最短，这时 x ， y p，| AB|min2 p故选p2C2已知 F是双曲线 1 的左焦点， A(1，4)， P是双曲线右支上的动点，则x24 y212|PF| PA|的最小值为( )A4 B6 C8 D9答案 D解析 注意到 P点在双曲线的右支上，且双曲线右焦点为 F(4，0)，于是由双曲线定义得| PF| PF|2 a4，故| PF| PA|2 a| P
2、F| PA|4| AF|9，当且仅当 A， P， F三点共线时等号成立故选 D3已知 M(x0， y0)为抛物线 C： x28 y上一点， F为抛物线 C的焦点，若以 F为圆心，|FM|为半径的圆和抛物线 C的准线相交，则 y0的取值范围是( )A(0，2) B0，2C(2，) D2，)答案 C解析 由题意知圆心 F到抛物线的准线的距离为 4，且| FM|4，根据抛物线的定义知|FM| y02，所以 y024，得 y02，故 y0的取值范围是(2，)4过椭圆 1 的中心任作一直线交椭圆于 P， Q两点， F是椭圆的一个焦点，则x225 y216 PQF周长的最小值是( )A14 B16 C18
3、 D20答案 C2解析 如图，设 F为椭圆的左焦点，右焦点为 F2，根据椭圆的对称性可知|FQ| PF2|，| OP| OQ|，所以 PQF的周长为|PF| FQ| PQ| PF| PF2|2| PO|2 a2| PO|102| PO|，易知 2|OP|的最小值为椭圆的短轴长，即点 P， Q为椭圆的上下顶点时， PQF的周长取得最小值102418故选 C5(2018豫南九校联考)已知两定点 A(1，0)和 B(1，0)，动点 P(x， y)在直线l： y x3 上移动，椭圆 C以 A， B为焦点且经过点 P，则椭圆 C的离心率的最大值为( )A B C D55 105 255 2105答案 A
4、解析 点 A关于直线 l： y x3 的对称点 A(3，2)，连接 A B与直线 l相交，当点 P在交点处时，2 a| PA| PB| PA| PB| A B|2 ，此时 a取得最小值 ，5 5又 c1，所以椭圆 C的离心率的最大值为 ，故选 A556(2019厦门一中开学考试)已知 ABC三个顶点 A， B， C都在曲线 1 上，x29 y24且 2 0(其中 O为坐标原点)， M， N分别为 AB， AC的中点，若直线 OM， ON的斜率存BC OB 在且分别为 k1， k2，则| k1| k2|的取值范围为( )A， B0，)89C0， D，43 43答案 D解析 由于 A， B都在曲线
5、 1 上，则有 1， 1，两式相减并整x29 y24 x2A9 y2A4 x2B9 y2B4理可得 ，由 2 0 知， 2 ，则 B， C关于坐标原点对称，而 M， Ny2A y2Bx2A x2B 49 BC OB BC OB 3分别为 AB， AC的中点，则 k1 kAC， k2 kAB，则|k1| k2| kAC| kAB|2 2 |kAB|kAC|yA yBxA xByA yCxA xC2 2 ，当且仅当| kAB| kAC|时，等号成立故选 DyA yBxA xByA yBxA xB y2A y2Bx2A x2B 43二、填空题7(2018湖北黄冈中学二模)设椭圆 y21 上任意一点
6、A到两条直线 x2y0x24的距离分别为 d1， d2，则 d1d2的最大值为_答案 45解析 设点 A的坐标为(2cos ，sin )，则d1d2 ，所以 d1d2的最大值|2cos 2sin |5 |2cos 2sin |5 4|cos2 |5 45为 458(2018河南六市联考一)已知 P是双曲线 C： y21 右支上一点，直线 l是双x22曲线的一条渐近线， P在 l上的射影为 Q， F1是双曲线的左焦点，则| PF1| PQ|的最小值是_答案 12 2解析 设双曲线的右焦点为 F2( ，0)，不妨设渐近线 l： x y0，则点 F2( ，0)3 2 3到渐近线 l的距离为 1，由于
7、点 P在双曲线右支上，则| PF1| PF2|2 a2 ，| PF1|22 |PF2|，| PF1| PQ|2 | PF2| PQ|2 1，当且仅当点 Q， P， F2三点共线，2 2 2且 P在 Q， F2之间时取等号，故| PF1| PQ|的最小值是 12 29(2018厦门质检一)过抛物线 E： y24 x焦点的直线 l与 E交于 A， B两点， E在点 A， B处的切线分别与 y轴交于 C， D两点，则 4 |CD| AB|的最大值是_2答案 8解析 设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，切线 AC的方程为 x t(y y1) x1 t(y y1) ，y214代入抛物线的方程，
8、消去 x，得 y24 ty4 ty1 y 0由 16 t24(4 ty1 y )0，21 21得 t ，所以直线 AC的方程为 x (y y1) ，其中令 x0，得 yC ，同理可求y12 y12 y214 y12得 yD ，所以| CD| |y1 y2|由题意，知抛物线的焦点为 F(1，0)，则设直线 AB的方y22 12程为 x my1，代入抛物线的方程，消去 x，得 y24 my40，所以y1 y24 m， y1y24，所以 4 |CD| AB|2 |y1 y2| |y1 y2|22 2 1 m2 24 8 4(1 m2)y1 y22 4y1y2 1 m2 y1 y22 4y1y2 21
9、 m24( )28，所以当 时，4 |CD| AB|取得最大值为 81 m2 2 1 m2 2 2三、解答题10(2018济南模拟)在平面直角坐标系 xOy中，抛物线 C1： x24 y，直线 l与抛物线 C1交于 A， B两点(1)若直线 OA， OB的斜率之积为 ，证明：直线 l过定点；14(2)若线段 AB的中点 M在曲线 C2： y4 x2(2 0， x1 x24 k， x1x24 m， kOAkOB ，y1y2x1x2 14x2114x2x1x2 x1x216 m4由已知 kOAkOB ，得 m1，14直线 l的方程为 y kx1，直线 l过定点(0，1)(2)设 M(x0， y0)
10、，则由(1)知 x0 2 k，x1 x22y0 kx0 m2 k2 m，将 M(x0， y0)代入 C2： y4 x2(2 0， b0)的左、右顶点分别为x2a2 y2b2M， N，点 P是椭圆上异于点 M， N的任意一点，记直线 PM， PN的斜率分别为 kPM， kPN，满足 kPMkPN 34(1)求椭圆 C的离心率；(2)设椭圆 C的左焦点为 F( c，0)，过点 F的直线 AB交椭圆于 A， B两点， AB的中点为 G， AB的垂直平分线与 x轴和 y轴分别交于 D， E两点， O是坐标原点记 GFD的面积为 S1， OED的面积为 S2，求 的取值范围2S1S2S21 S2解 (1
11、)设 P(x0， y0)，则 1，x20a2 y20b2即 ，y20x20 a2 b2a2因为 kPMkPN ，y0x0 a y0x0 a 34所以 ，b2a2 34又 a2 b2 c2，则有 a24 c2， a2 c，因此椭圆 C的离心率 e ca 12(2)由(1)可知 a2 c， b c，a2 c2 3则椭圆的方程为 1x24c2 y23c2根据条件知直线 AB的斜率一定存在且不为零，6设直线 AB的方程为 y k(x c)，A(x1， y1)， B(x2， y2)， D(xD， 0)，联立Error! 消去 y并整理得(4k23) x28 ck2x4 k2c212 c20，从而有 x1
12、 x2 ，8ck24k2 3y1 y2 k(x1 x22 c) ，6ck4k2 3所以 G ， 4ck24k2 3 3ck4k2 3因为 DG AB，所以 k1，3ck4k2 3 4ck24k2 3 xD解得 xD ck24k2 3由 Rt FGD与 Rt EOD相似，所以 9 9，S1S2 GD2OD2 4ck24k2 3 ck24k2 32 3ck4k2 32 ck24k2 32 9k2令 t，则 t9，从而 | AA|2依椭圆的定义可知，动点 B的轨迹为椭圆，设为 1( ab0)，其中x2a2 y2b2|BA| BA|2 a4，| AA|2 c2， a2， c1， b2 a2 c23，动
13、点 B的轨迹方程为 1x24 y23(2)证明：当直线 l垂直于 x轴时，直线 l的方程为 x2，此时直线 l与椭圆 1 相切，与题意不符；x24 y23当直线 l的斜率存在时，设直线 l的方程为 y1 k(x2)由Error!得(4 k23) x2(16 k28 k)x16 k216 k80设 M(x1， y1)， N(x2， y2)，则Error!由 96(12 k)0k0，4k2m1 2k2 12m 1所以 m1又点 M(m，0)在椭圆长轴上(不含端点)，所以 1m ，即实数 m的取值范围为(1， )2 2(2)假设以 EF为直径的圆恒过定点当 EF x轴时，以 EF为直径的圆的方程为
14、x2 y21；当 EF y轴时，以 EF为直径的圆的方程为 x2 y 2 ，则两圆的交点为13 169Q(0，1)下证当直线 EF的斜率存在且不为 0时，点 Q(0，1)在以 EF为直径的圆上9设直线 EF的方程为 y k0x (k00)，13代入 y21，整理得(2 k 1) x2 k0x 0，x22 20 43 169设 E(x3， y3)， F(x4， y4)，则 x3 x4 ， x3x4 ，4k032k20 1 1692k20 1又 ( x3， y31)， ( x4， y41)，QE QF 所以 x3x4( y31)( y41)QE QF x3x4 k0x3 k0x443 43(1 k )x3x4 k0(x3 x4)2043 169(1 k ) k0 0，20 1692k20 1 43 4k032k20 1 169所以点 Q(0，1)在以 EF为直径的圆上综上，以 EF为直径的圆恒过定点 Q(0，1)
