1、1万有引力与航天主干梳理 对点激活知识点 开普勒行星运动定律 1定律内容开普勒第一定律：所有行星绕太阳运动的轨道都是 椭圆，太阳处在椭圆的一个 焦01 02 点上。开普勒第二定律：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间扫过相等的面积。03 开普勒第三定律：所有行星的轨道的 半长轴的三次方跟它的 公转周期的二次方的04 05 比值都相等，即 k。06 a3T22适用条件：适用于宇宙中一切环绕同一中心天体的运动。知识点 万有引力定律及应用 1内容：自然界中任何两个物体都是相互吸引的，引力的大小与 两物体的质量的乘01 积成正比，与 两物体间距离的二次方成反比。02 2公式： F G ，其中
2、 G 为万有引力常量， G6.6710 11 Nm2/kg2，其值由03 m1m2r2卡文迪许通过扭秤实验测得。公式中的 r 是两个物体之间的 距离。04 3适用条件：适用于两个 质点或均匀球体； r 为两质点或均匀球体球心间的距离。05 知识点 环绕速度 1第一宇宙速度又叫 环绕速度，其数值为 7.9 km/s。01 02 2第一宇宙速度是人造卫星在 地球表面附近环绕地球做匀速圆周运动时具有的速度。03 3第一宇宙速度是人造卫星的最小 发射速度，也是人造卫星的最大 环绕速度。04 05 4第一宇宙速度的计算方法(1)由 G m ，解得： v ；MmR2 v2R 06 GMR(2)由 mg m
3、 ，解得： v 。v2R 07 gR知识点 第二宇宙速度和第三宇宙速度 1第二宇宙速度(脱离速度)使物体挣脱 地球引力束缚的最小发射速度，其数值为 11.2 km/s。01 02 2第三宇宙速度(逃逸速度)使物体挣脱 太阳引力束缚的最小发射速度，其数值为 16.7 km/s。03 04 2知识点 经典时空观和相对论时空观 1经典时空观(1)在经典力学中，物体的质量不随 运动速度改变；01 (2)在经典力学中，同一物理过程发生的位移和对应时间的测量结果在不同的参考系中是 相同的。02 2相对论时空观(1)在狭义相对论中，物体的质量随物体的速度的增加而 增加，用公式表示为 m03 04 ；m01
4、v2c2(2)在狭义相对论中，同一物理过程发生的位移和对应时间的测量结果在不同的参考系中是 不同的。05 一 思维辨析1只有天体之间才存在万有引力。( )2只要知道两个物体的质量和两个物体之间的距离，就可以由 F 来计算物体Gm1m2r2间的万有引力。( )3牛顿发现了万有引力定律并第一个测出了地球的质量。( )4不同的同步卫星的质量可以不同，但离地面的高度是相同的。( )5同步卫星的运行速度一定小于地球第一宇宙速度。( )6探月卫星的发射速度必须大于第三宇宙速度。( )答案 1. 2. 3. 4. 5. 6.二 对点激活1关于万有引力公式 F G ，以下说法中正确的是( )m1m2r2A公式
5、只适用于星球之间的引力计算，不适用于质量较小的物体B当两物体间的距离趋近于 0 时，万有引力趋近于无穷大C两物体间的万有引力也符合牛顿第三定律D公式中引力常量 G 的值是牛顿规定的答案 C解析 万有引力公式 F G 适用于质点或均匀球体间引力的计算，当两物体间距离m1m2r2趋近于 0 时，两个物体就不能看做质点，故 F G 已不再适用，所以不能说万有引力趋m1m2r2近于无穷大，故 A、B 错误；两物体间的万有引力也符合牛顿第三定律，C 正确； G 的值是卡文迪许测得的，D 错误。32(人教版必修 2P48T3改编)火星的质量和半径分别约为地球的 和 ，地球的第110 12一宇宙速度为 v，
6、则火星的第一宇宙速度约为( )A. v B. v C. v D. v55 5 2 22答案 A解析 第一宇宙速度由 求得， v ，故 ，所以 v 火GMmR2 mv2R GMR v火v M火MRR火 15 v，故 A 正确。553(人教版必修 2P36T4)地球的公转轨道接近圆，但彗星的运动轨道则是一个非常扁的椭圆。天文学家哈雷曾经在 1682 年跟踪过一颗彗星，他算出这颗彗星轨道的半长轴约等于地球公转半径的 18 倍(如图所示)，并预言这颗彗星将每隔一定时间就会出现。哈雷的预言得到证实，该彗星被命名为哈雷彗星。哈雷彗星最近出现的时间是 1986 年，请你根据开普勒行星运动第三定律估算，它下次
7、飞近地球大约将在哪一年？答案 2062 年解析 设地球绕太阳公转的轨道半径为 R0，周期为 T0，哈雷彗星绕太阳公转的轨道半长轴为 a，周期为 T，根据开普勒第三定律 k，有 ，则哈雷彗星的公转周期 Ta3T2 a3T2 R30T20T076.4 年，所以它下次飞近地球大约将在 198676.42062 年。a3R304(人教版必修 2P41T3)一个质子由两个 u 夸克和一个 d 夸克组成。一个夸克的质量是 7.11030 kg，求两个夸克相距 1.01016 m 时的万有引力。答案 3.3610 37 N解析 两个夸克相距 1.01016 m 时的万有引力 F G 3.3610 37 N。
8、m1m2r2考点细研 悟法培优考点 1 开普勒三定律的理解与应用1微元法解读开普勒第二定律，行星在近日点、远日点时速度方向与连线垂直，若行星在近日点、远日点到太阳的距离分别为 a、 b，取足够短的时间 t，则行星在 t 时间4内可看做匀速直线运动，由 Sa Sb知 va ta vb tb，可得 va 。行星到12 12 vbba太阳的距离越大，行星的速率越小，反之越大。2行星绕太阳的运动通常按匀速圆周运动处理。3开普勒行星运动定律也适用于其他天体，例如月球、卫星绕地球的运动。4开普勒第三定律 k 中， k 值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体 k 值不a3T2同，故该定律只能用在同一中心天
9、体的两星体之间。例 1 (2017全国卷)(多选)如图，海王星绕太阳沿椭圆轨道运动， P 为近日点， Q为远日点， M、 N 为轨道短轴的两个端点，运行的周期为 T0。若只考虑海王星和太阳之间的相互作用，则海王星在从 P 经 M、 Q 到 N 的运动过程中( )A从 P 到 M 所用的时间等于T04B从 Q 到 N 阶段，机械能逐渐变大C从 P 到 Q 阶段，速率逐渐变小D从 M 到 N 阶段，万有引力对它先做负功后做正功解题探究 (1)从 P 到 M 与从 M 到 Q 的平均速率相等吗？提示：不相等。(2)从 Q 到 N 除万有引力做功之外，还有其他力对海王星做功吗？提示：没有。尝试解答 选
10、 CD。由开普勒第二定律可知，相等时间内，太阳与海王星连线扫过的面积都相等，A 错误；由机械能守恒定律知，从 Q 到 N 阶段，除万有引力做功之外，没有其他的力对海王星做功，故机械能守恒，B 错误；从 P 到 Q 阶段，万有引力做负功，动能转化成海王星的势能，所以动能减小，速率逐渐变小，C 正确；从 M 到 N 阶段，万有引力与速度的夹角先是钝角后是锐角，即万有引力对它先做负功后做正功，D 正确。总结升华绕太阳沿椭圆轨道运行的行星在近日点线速度最大，越靠近近日点线速度越大，线速度大小与行星到太阳的距离成反比。变式 11 (2016全国卷)关于行星运动的规律，下列说法符合史实的是( )A开普勒在
11、牛顿定律的基础上，导出了行星运动的规律B开普勒在天文观测数据的基础上，总结出了行星运动的规律5C开普勒总结出了行星运动的规律，找出了行星按照这些规律运动的原因D开普勒总结出了行星运动的规律，发现了万有引力定律答案 B解析 开普勒在天文观测数据的基础上，总结出了行星运动的规律，但并没有找出其中的原因，A、C 错误，B 正确；万有引力定律是牛顿发现的，D 错误。变式 12 (2018武汉五月训练) 我国预计在 2018 年 12 月发射“嫦娥四号”月球探测器。探测器要经过多次变轨，最终降落到月球表面上。如图所示，轨道为圆形轨道，其半径为 R；轨道为椭圆轨道，半长轴为 a，半短轴为 b。如果把探测器
12、与月球的连线扫过的面积与其所用时间的比值定义为扫过的面积速率，则探测器绕月球运动过程中在轨道和轨道上扫过的面积速率之比是(已知椭圆的面积 S ab)( )A. B. C. D.abR Ra aRb bRa答案 C解析 设探测器在轨道上运动的周期为 T1，在轨道上运动的周期为 T2，则在轨道上扫过的面积速率为： ，在轨道上扫过的面积速率为： ，由开普勒第三定律 R2T1 abT2可知： ，由以上三式联立解得， ，故 C 正确。R3T21 a3T2 R2T1 abT2 R2ab T2T1 R2ab a3R3 aRb考点 2 天体质量和密度的估算1重力加速度法：利用天体表面的重力加速度 g 和天体半
13、径 R。(1)由 G mg 得天体质量 M 。MmR2 gR2G(2)天体密度 。MV M43 R3 3g4 GR2天体环绕法：测出卫星绕天体做匀速圆周运动的半径 r 和周期 T。(1)由 G m 得天体的质量 M 。Mmr2 4 2rT2 4 2r3GT2(2)若已知天体的半径 R，则天体的密度6 。MV M43 R3 3 r3GT2R3(3)若卫星绕天体表面运行时，可认为轨道半径 r 等于天体半径 R，则天体密度 ，可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期 T，就可估算出中心天体的密度。3GT2例 2 (2018四川蓉城联考)中共十九大召开之际，据中央台报道，我国已经发射了一百七十多个航天
14、器。其中发射的货运飞船“天舟一号”与已经在轨运行的“天宫二号”成功对接形成组合体，如图所示。假设组合体在距地面高度为 h 的圆形轨道上绕地球做匀速圆周运动，周期为 T1。如果月球绕地球的运动也看成是匀速圆周运动，轨道半径为 R1，周期为 T2。已知地球表面处重力加速度为 g，地球半径为 R，引力常量为 G，不考虑地球自转的影响，地球看成质量分布均匀的球体。则( )A月球的质量可表示为4 2R31GT2B组合体与月球运转的线速度比值为 R1hC地球的密度可表示为3 R h 3GT21R3D组合体的向心加速度可表示为 2g(R hR )解题探究 (1)已知月球绕地球的周期和轨道半径，能求月球的质量
15、吗？提示：不能。只能求中心天体地球的质量。(2)距地面高度为 h 的圆形轨道半径为多少？提示： R h。尝试解答 选 C。由于月球是环绕天体，根据题意可以求出地球的质量，不能求月球的质量，A 错误；对于组合体和月球绕地球运动的过程，万有引力提供向心力，设地球质量为 M，则由牛顿第二定律可知 G m ，解得 v ，则组合体和月球的线速度比值为 ，B 错误；Mmr2 v2r GMr R1R h对于组合体，由 G m (R h)，解得 M ，又因为地球的体Mm R h 2 4 2T21 4 2 R h 3GT21积为 V R3，整理解得 ，C 正确；由 G ma， G mg，43 MV 3 R h
16、3GT21R3 Mm R h 2 MmR27知组合体的向心加速度大小为 a 2g，D 错误。(RR h)总结升华估算天体质量和密度时应注意的问题(1)利用万有引力提供天体做圆周运动的向心力估算天体质量时，估算的只是中心天体的质量，并非环绕天体的质量。(2)区别天体半径 R 和卫星轨道半径 r，只有在天体表面附近的卫星才有 r R；计算天体密度时， V R3中的 R 只能是中心天体的半径。43(3)在考虑自转问题时，只有两极才有 mg。GMmR2变式 21 (2017北京高考)利用引力常量 G 和下列某一组数据，不能计算出地球质量的是( )A地球的半径及重力加速度(不考虑地球自转)B人造卫星在地
17、面附近绕地球做圆周运动的速度及周期C月球绕地球做圆周运动的周期及月球与地球间的距离D地球绕太阳做圆周运动的周期及地球与太阳间的距离答案 D解析 根据 G mg 可知，已知地球的半径及重力加速度可计算出地球的质量，A 能；MmR2根据 G m 及 v 可知，已知人造卫星在地面附近绕地球做圆周运动的速度及周期MmR2 v2R 2 RT可计算出地球的质量，B 能；根据 G m r 可知，已知月球绕地球做圆周运动的周期Mmr2 4 2T2及月球与地球间的距离，可计算出地球的质量，C 能；已知地球绕太阳做圆周运动的周期及地球与太阳间的距离只能求出太阳的质量，不能求出地球的质量，D 不能。变式 22 (2
18、019宁夏育才中学月考)如图所示，两颗人造卫星绕地球运动，其中一颗卫星绕地球做圆周运动，轨道半径为 r，另一颗卫星绕地球沿椭圆形轨道运动，半长轴为 a。已知椭圆形轨道卫星绕地球 n 圈所用时间为 t，地球的半径为 R，引力常量为 G，则地球的平均密度为( )8A. B. C. D.3 n2a3Gt2R3 4 n2r33Gt2R3 3 n2a32Gt2R3 4 n2r3Gt2R3答案 A解析 椭圆形轨道卫星的运行周期为 T0 ，根据开普勒第三定律得 ，则圆形tn a3T20 r3T2轨道卫星的周期为 T T0 ，对于圆形轨道卫星，万有引力等于向心力， G m r，r3a3 Mmr2 4 2T2地
19、球的平均密度 ，联立可得 ，A 正确。M43 R3 3 n2a3Gt2R3考点 3 人造卫星的运动规律1人造卫星的运动规律(1)一种模型：无论自然天体(如地球、月亮)还是人造天体(如宇宙飞船、人造卫星)都可以看做质点，围绕中心天体(视为静止)做匀速圆周运动。(2)两条思路万有引力提供向心力，即 G ma。Mmr2天体对其表面的物体的万有引力近似等于重力，即 mg 或 gR2 GM(R、 g 分别是GMmR2天体的半径、表面重力加速度)，公式 gR2 GM 应用广泛，被称为“黄金代换” 。(3)地球卫星的运行参数(将卫星轨道视为圆)92地球同步卫星的特点(1)轨道平面一定：轨道平面和赤道平面重合
20、。(2)周期一定：与地球自转周期相同，即 T24 h86400 s。(3)角速度一定：与地球自转的角速度相同。(4)高度一定：据 G m r 得 r 4.2310 4 km，卫星离地面高度Mmr2 4 2T2 3GMT24 2h r R6 R(为恒量)。(5)绕行方向一定：与地球自转的方向一致。3极地卫星和近地卫星(1)极地卫星运行时每圈都经过南北两极，由于地球自转，极地卫星可以实现全球覆盖。(2)近地卫星是在地球表面附近环绕地球做匀速圆周运动的卫星，其运行的轨道半径可近似认为等于地球的半径，其运行线速度约为 7.9 km/s。(3)两种卫星的轨道平面一定通过地球的球心。10例 3 (2018
21、南宁、柳州联考)如图所示，两颗质量相同的人造卫星 A、 B 仅受地球的引力作用在同一平面内绕地心 O 做匀速圆周运动，已知在运动过程中， A、 B 连线与 A、 O连线间的夹角最大为 ，则 A、 B( )A动能之比为 sin 1 B动能之比为 tan 1C周期之比为 sin2 1 D周期之比为 sin 1解题探究 (1)如何找到 OA 连线与 A、 B 连线的最大夹角？提示：假设 A 不动，连接 OA，观察 B 运动过程中，何时 OA 与 AB 夹角最大。(2)卫星的 v、 T 与轨道半径有什么关系？提示：由 得 v ，由 m r 得 T 。GMmr2 mv2r GMr GMmr2 4 2T2
22、 4 2r3GM尝试解答 选 A。运动过程中 OAB 构成一个三角形，假设 A 不动，只让 B 转动，很容易发现 OB 垂直 AB时， OA 与 AB 夹角最大，如图所示。由于 OA、 OB 分别为卫星 A、 B 的轨道半径 rA、 rB，则有 sin 。由万有引力提供向心力可得 G m ， G m 2r，可求出 A 与 B 的动rBrA Mmr2 v2r Mmr2 (2T)能之比 ，周期之比 ，A 正确。EkAEkB v2Av2B rBrA sin1 TATB (rArB) 总结升华人造卫星问题的解题技巧(1)利用万有引力提供向心加速度的不同表述形式。G man m m 2r m 2r m(
23、2 f)2r。Mmr2 v2r (2T)2 第一宇宙速度是人造卫星环绕地球表面运行的最大速度，轨道半径 r 近似等于地11球半径v 7.9 km/sGMR万有引力近似等于卫星的重力，即 mg m ， v 7.9 km/s。v2R Rg3 同步卫星：具有特定的线速度、角速度和周期；具有特定的位置高度和轨道半径；运行轨道平面必须处于地球赤道平面上，只能静止在赤道上方特定的点上。比较卫星与地球有关的物理量时可以通过比较卫星与同步卫星的参量来确定。4 天体相遇与追及问题的处理方法首先根据 mr 2判断出谁的角速度大，然后根据两星追上或相距最近时满足两星GMmr2运动的角度差等于 2 的整数倍，即 At
24、 Bt n2 n1，2，3 ，相距最远时两星运行的角度差等于 的奇数倍，即 At Bt2 n1 n0，1，2变式 31 (2018武昌调研)2017 年 6 月 15 日上午 11 时，我国在酒泉卫星发射中心采用长征四号乙运载火箭，成功发射了首颗 X 射线空间天文卫星“慧眼” ，该卫星工程将显著提升我国大型科学卫星研制水平，填补我国空间 X 射线探测卫星的空白，实现我国在空间高能天体物理领域由地面观测向天地联合观测的跨越。卫星发射入轨后，将开展多个方面的空间探测活动。已知“慧眼”在距地面高度为 h 的圆形轨道上运行，地球半径为 R、地球自转周期为 T0、地球表面的重力加速度为 g、引力常量为
25、G。则下列关于“慧眼”在轨运行的结论错误的是( )A线速度大小为 v R gR hB角速度大小为 RR h gR hC周期为 T2 R hR R hgD向心加速度大小为 a (R h)4 2T20答案 D解析 “慧眼”围绕地球做圆周运动的过程中，万有引力提供其做圆周运动的向心力，设“慧眼”的质量为 m，则 G m ，又由于 G m0g， m0为地球表面物体的Mm R h 2 v2R h Mm0R2质量，由以上两式整理可得“慧眼”的线速度大小为 v ，A 正确；又由于 GgR2R h m 2(R h)，整理解得 ，B 正确；由于 T ，解得 TMm R h 2 RR h gR h 2，C 正确；
26、 “慧眼”的向心加速度大小应为 a (R h)，则 D 错误。2 R hR R hg 4 2T212变式 32 (2018湖南师大附中月考六)(多选)已知地球自转周期为 T0，有一颗与同步卫星在同一轨道平面的低轨道卫星，自西向东绕地球运行，其运行半径为同步轨道半径的四分之一，该卫星两次在同一城市的正上方出现的时间间隔可能是( )A. B. C. D.T04 3T04 3T07 T07答案 CD解析 设地球的质量为 M，卫星的质量为 m，运动周期为 T，因为卫星做圆周运动的向心力由万有引力提供，有： ，解得： T2 。同步卫星的周期与地球自转GMmr2 4 2mrT2 r3GM的周期相同，即为
27、T0。已知该人造卫星的运行半径为同步卫星轨道半径的四分之一，所以该人造卫星与同步卫星的周期之比是： ，解得： T 。设卫星每隔 t 时TT0 r3 4r 3 18 T08间才在同一地点的正上方出现一次，根据圆周运动角速度与所转过的圆心角的关系 t 得： t2 n t，解得 t (n1,2,3，)，当 n1 时 t ，当2T 2T0 nT07 T07n3 时 t ，故 A、B 错误，C、D 正确。3T07考点 4 航天器的变轨问题当卫星开启发动机，或者受空气阻力作用时，万有引力不再等于向心力，卫星将做变轨运行，前者是轨道的突变，后者是轨道的渐变。1卫星轨道的渐变(1)当卫星的速度增加时， G m
28、 ，即万有引力大于所需要的向心力，卫星将做近心Mmr2 v2r运动，脱离原来的圆轨道，如果速度减小很缓慢，卫星每转一周均可看成做匀速圆周运动，经过一段时间，轨道半径变小，当卫星进入新的轨道运行时，由 v 可知其运行速度GMr比在原轨道时大。例如，人造卫星受到高空稀薄大气的摩擦力，轨道高度不断降低。2卫星轨道的突变：由于技术上的需要，有时要在适当的位置短时间内启动飞行器上的发动机，使飞行器轨道发生突变，使其进入预定的轨道。如图所示，发射同步卫星时，可以分多过程完成：13(1)先将卫星发送到近地轨道，使其绕地球做匀速圆周运动，速率为 v。(2)变轨时在 P 点点火加速，短时间内将速率由 v1增加到
29、 v2，这时 m ，变轨到低轨道，最后在椭圆轨道的近地点处返回地面。GMmr2 v2r3卫星变轨时一些物理量的定性分析(1)速度：设卫星在圆轨道、上运行时的速率分别为 v1、 v4，在轨道上过 P、 Q点时的速率分别为 v2、 v3，在 P 点加速，则 v2v1；在 Q 点加速，则 v4v3。又因 v1v4，故有 v2v1v4v3。(2)加速度：因为在 P 点不论从轨道还是轨道上经过， P 点到地心的距离都相同，卫星的加速度都相同，设为 aP。同理，在 Q 点加速度也相同，设为 aQ。又因 Q 点到地心的距离大于 P 点到地心的距离，所以 aQa1a3 B a3a2a1C a3a1a2 D a
30、1a2a3答案 D解析 对于东方红一号与东方红二号，由 G ma 得： a ，由此式可知 a1a2。对Mmr2 GMr2于地球同步卫星东方红二号和地球赤道上的物体，角速度相同，由 a 2r 可知，半径大的加速度大即 a2a3。综上可知， a1a2a3，故 D 正确。5(2018银川一中第一次模拟)我国预计于 2019 年发射“嫦娥五号”探月卫星，计划执行月面取样返回任务。 “嫦娥五号”从月球返回地球的过程可以简单分成四步，如图所示，第一步将“嫦娥五号”发射至月球表面附近的环月圆轨道，第二步在环月轨道的 A处进行变轨进入月地转移轨道，第三步当接近地球表面附近时，又一次变轨，从 B 点进入绕地圆轨
31、道，第四步再次变轨道后降落至地面，下列说法正确的是( )23A将“嫦娥五号”发射至轨道时所需的发射速度为 7.9 km/sB “嫦娥五号”从环月轨道进入月地转移轨道需要加速C “嫦娥五号”从 A 沿月地转移轨道到达 B 点的过程中其动能一直增加D “嫦娥五号”在第四步变轨时需要加速 答案 B解析 因 v ，知月球上 g 月 TB B EkAEkBC SA SB D. R3AT2A R3BT2B答案 AD解析 卫星做匀速圆周运动时有 m mR 2 mR ，则 T2 ，故GMmR2 v2R 4 2T2 R3GM R3TATB， ，A、D 正确； Ek mv2 ，故 EkAEkB，B 错误；R3AT
32、2A R3BT2B 12 GMm2R 1RS R 2 ，故 C 错误。12 12GMR R10据天文学家研究发现，月球正在以每年 3.8 cm 的“速度”远离地球，地月之间的距离从“刚开始”的约 2104 km 拉大到目前的约 38104 km,100 万年前的古人类看到的月球大小是现在的 15 倍左右，随着时间推移，月球还会“走”更远，最终离开地球的“视线” ，假设地球和月球的质量不变，不考虑其他星球对“地月”系统的影响，已知月球环26绕地球运动的周期为 27 d(天)， 4.36， 3.87，以下说法正确的是( )19 15A随着时间的推移，月球在离开地球“视线”之前的重力势能会缓慢增大B
33、月球“刚开始”环绕地球运动的线速度大小约为目前的 15 倍C月球“刚开始”环绕地球运动的周期约为 8 hD月球目前的向心加速度约为“刚开始”的 倍1225答案 AC解析 月球在离开地球“视线”之前要克服万有引力做功，所以重力势能会缓慢增大，A 正确；根据万有引力充当向心力得 v ，所以刚开始时GMrv v4.36 v， B 错误；根据万有引力充当向心力得 T ，所以刚开始381042104 4 2r3GM时 T T h 8 h，故 C 正确；根据万有引力充当向心力得 ma，所11919 27241919 GMmr2以目前的向心加速度为 a a a，D 错误。r 2r2 136111(2019广
34、州第一次测试)某人在春分那天(太阳光直射赤道)站在地球赤道上用天文望远镜观察他正上方的一颗同步卫星，他发现在日落后连续有一段时间 t 观察不到此卫星。已知地球表面的重力加速度为 g，地球自转周期为 T，圆周率为 ，仅根据g、 t、 T、 可推算出( )A地球的质量B地球的半径C卫星距地面的高度D卫星与地心的连线在 t 时间内转过的角度答案 BCD解析 赤道上物体所受万有引力可近似等于重力，设物体质量为 m，地球半径为 R，则mg m 2R， R ，B 正确；如图所示，由于太阳和地球相距很远，太阳光可看成平(2T) gT24 2行光射向地球，同步卫星相对地球赤道上观察者静止，当在 AOB 范围内
35、绕地心做圆周运动时，由于太阳光不能照射到卫星上，观察者观察不到卫星，则有 ，又tT 2sin ，两式联立可得 h R，C 正确；由 ，可得 ，D 正确。RR h 2 Rsin tT tT 2 2 tT由于万有引力常数 G 未知，根据已知条件无法求出地球的质量，A 错误。2712. 如图为哈勃望远镜拍摄的银河系中被科学家称为“罗盘座 T 星”系统的照片，该系统是由一颗白矮星和它的类日伴星组成的双星系统。图片下面的亮点为白矮星，上面的部分为类日伴星(中央的最亮的为类似太阳的天体)。由于白矮星不停地吸收由类日伴星抛出的物质致使其质量不断增加，科学家预计这颗白矮星在不到 1000 万年的时间内会完全“
36、爆炸” ，从而变成一颗超新星。现假设类日伴星所释放的物质被白矮星全部吸收，并且两星之间的距离在一段时间内不变，两星的总质量不变，不考虑其他星体对该“罗盘座 T 星”系统的作用，则下列说法正确的是( )A两星之间的万有引力不变B两星的运动周期不变C类日伴星的轨道半径减小D白矮星的线速度变小答案 BD解析 两星间距离在一段时间内不变，由万有引力定律可知，两星的质量总和不变而两星质量的乘积必定变化，则万有引力必定变化，故 A 错误；组成的双星系统的周期 T 相同，设白矮星与类日伴星的质量分别为 M1和 M2，圆周运动的半径分别为 R1和 R2，由万有引力定律提供向心力： G M1 R1 M2 R2，
37、可得：M1M2L2 4 2T2 4 2T2GM1 ， GM2 ，两式相加： G(M1 M2)T24 2L3，白矮星与类日伴星的总4 2R2L2T2 4 2R1L2T2质量不变，则周期 T 不变，故 B 正确；由 G M1 R1 M2 R2得： M1R1 M2R2，知M1M2L2 4 2T2 4 2T228双星运行半径与质量成反比，类日伴星的质量逐渐减小，故其轨道半径增大，白矮星的质量增大，轨道变小，故 C 错误；白矮星的周期不变，轨道半径减小，根据 v ，线速2 R1T度减小，故 D 正确。二、非选择题(本题共 2 小题，共 28 分)13(12 分)宇航员到达某星球后，试图通过相关测量估测该
38、星球的半径。他在该星球上取得一矿石，测得其质量为 m0，体积为 V0，重力为 W，若所取矿石密度等于该星球的平均密度，引力常量为 G，该星球视为球形，请用以上物理量推导该星球半径的表达式。(球 体 体 积 公 式 为 V 43 R3， 式 中 R为 球 体 半 径 )答案 R3WV04 Gm20解析 设矿石的密度为 0，由题意知 0m0V0该星球表面的重力加速度为 gWm0在该星球表面，万有引力等于重力 G m0gMm0R2该星球的平均密度为 MV据题意： 0， V R343联立以上各式解得： R 。3WV04 Gm2014(16 分) 如图所示， A 是地球的同步卫星，另一卫星 B 的圆形轨
39、道位于赤道平面内，离地面高度为 h。已知地球半径为 R，地球自转角速度为 0，地球表面的重力加速度为g， O 为地球中心。(1)求卫星 B 的运行周期；(2)如卫星 B 绕行方向与地球自转方向相同，某时刻 A、 B 两卫星相距最近( O、 B、 A 在同一直线上)，则至少经过多长时间，它们再一次相距最近？答案 (1)2 (2) R h 3gR2 2gR2 R h 3 029解析 (1)由万有引力定律和向心力公式得G m (R h)Mm R h 2 4 2T2B又 G mgMmR2联立式得 TB2 R h 3gR2(2)由题意得( B 0)t2由得 B gR2 R h 3代入得 t 。2gR2 R h 3 030
