1、1第七节 对数与对数函数1对数概念如果 ax N(a0，且 a1)，那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对数，记作xlog aN，其中 a 叫做对数的底数， N 叫做真数，log aN 叫做对数式对数式与指数式的互化： ax Nxlog aN性质loga10，log aa1， alogaN Nloga(MN)log aMlog aNloga log aMlog aNMN运算法则logaMn nlogaM(nR)a0，且 a1， M0， N0换底公式 换底公式：logab (a0，且 a1， c0，且 c1， b0)logcblogca2.对数函数的图象与性质ylog ax a1 0 a1图象定
2、义域为(0，)值域为 R过定点(1,0)，即 x 时， y1 0当 x1 时， y0；当 0 x1 时， y0当 0 x1 时， y0当 x1 时， y0；性质在区间(0，)上是 函数增 在区间(0，)上是 函数减3反函数指数函数 y ax(a0 且 a1)与对数函数 ylog ax(a0 且 a1)互为反函数，它们的图象关于直线 y x 对称小题体验1已知 a0，且 a1，函数 y ax与 ylog a( x)的图象可能是_(填序号)2答案：2函数 f(x)log a(x2)2( a0，且 a1)的图象必过定点_答案：(1，2)3函数 f(x)log 5(2x1)的单调增区间是_答案： (1
3、2， )4(1)2log 3 log 3 31log 32_；2 427(2)4 (lg 2lg 5)_.12答案：(1)5 (2)11在运算性质 logaM logaM 中，要特别注意条件，在没有 M0 的条件下应为logaM loga|M|( N *，且 为偶数)2解决与对数函数有关的问题时需注意两点：(1)务必先研究函数的定义域；(2)注意对数底数的取值范围小题纠偏1函数 y 的定义域为_log0.5 4x 3答案： (34， 12函数 f(x)log (x1) (2x1)的单调递增区间是_答案： (12， )3已知函数 ylog a(2 ax)(a0，且 a1)在0,1上为减函数，则
4、a 的取值范围为_解析：因为 a0，所以 g(x)2 ax 为减函数，即任取 x1， x20,1，且 x1 x2，有 g(x1) g(x2)，又 logag(x1)log ag(x2)，所以 a1.而又因为 g(x)2 ax 在0,1恒大于 0，所以 2 a0，所以 a2，综上，1 a2.答案：(1,2)3考 点 一 对 数 式 的 化 简 与 求 值 基 础 送 分 型 考 点 自 主 练 透 题组练透1计算：(1)4log 23_.(2)log225log34log59_.解析：(1)4log 2322log 232log 299(2)原式 lg 25lg 2 lg 4lg 3 lg 9l
5、g 5 8.2lg 5lg 2 2lg 2lg 3 2lg 3lg 5答案：(1)9 (2)82计算 10012_.(lg 14 lg 25)解析：原式(lg 2 2 lg 5 2)100lg 10lg 10 2 101225221020.答案：203. lg lg lg _.12 3249 43 8 245解析： lg lg lg12 3249 43 8 245 (5lg 22lg 7) 3lg 2 (lg 52lg 7)12 43 12 12 (lg 2lg 5) .12 12答案：12谨记通法对数运算的一般思路(1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简；(2)将同底对数的和、差、倍合并；
6、(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用考 点 二 对 数 函 数 的 图 象 及 应 用 重 点 保 分 型 考 点 师 生 共 研 典例引领41(2018苏北三市三模)如图，已知正方形 ABCD 的边长为 2， BC 平行于 x 轴，顶点A， B 和 C 分别在函数 y13log ax， y22log ax 和 y3log ax(a1)的图象上，则实数 a 的值为_解析：设 C(x0，log ax0)，则 2logaxBlog ax0，即 x x0，解得 xB ，2B x0故 xC xB x0 2，解得 x04，x0即 B(2,2loga2
7、)， A(2,3loga2)，由 AB2，可得 3loga22log a22，解得 a .2答案： 22若不等式 logax( x1) 2恰有三个整数解，则 a 的取值范围为_解析：由不等式 logax( x1) 2恰有三个整数解，得 a1.在同一直角坐标系中画出 ylog ax(a1)与 y( x1) 2的图象，可知不等式的整数解集为2,3,4，则应满足Error!解得 a .165 94答案： ， )165 94由题悟法研究对数型函数图象的思路(1)研究对数型函数的图象时，一般从最基本的对数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到特别地，要注意底数 a1 或 0 a1 这两种不同情况(
8、2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解即时应用(2018常州一中模拟)设 f(x)|lg x|， a， b 为实数，且 0 a b.(1)若 a， b 满足 f(a) f(b)，求证： ab1；(2)在(1)的条件下，求证：由关系式 f(b)2 f 所得到的关于 b 的方程 g(b)(a b2 )0，存在 b0(3,4)，使 g(b0)0.证明：(1)结合函数图象，由 f(a) f(b)可判断 a(0,1)，b(1， )，从而lg alg b，即 lg ab0.故 ab1.(2)因为 0 a b，所以 1.a b2 ab由已知可得 b 2，即 4b a2
9、b22 ab，得 b224 b0， g(b)(a b2 ) 1b25 b224 b，因为 g(3)0， g(4)0，根据零点存在性定理可知，函数 g(b)在(3,4)1b2内一定存在零点，即存在 b0(3,4)，使 g(b0)0.考 点 三 对 数 函 数 的 性 质 及 应 用 题 点 多 变 型 考 点 多 角 探 明 锁定考向高考对对数函数的性质及其应用的考查，多以填空题的形式考查，难度低、中、高档都有常见的命题角度有：(1)比较对数值的大小；(2)简单的对数不等式；(3)对数函数性质的综合问题 题点全练角度一：比较对数值的大小1已知 alog 29log 2 ， b1log 2 ， c
10、 log 2 ，则 a， b， c 的大小关系3 712 13为_(用“”表示)解析： alog 29log 2 log 23 ，3 3b1log 2 log 22 ， c log 2 log 2 ，7 712 13 26因为函数 ylog 2x 是增函数，且 2 3 ，7 3 26所以 b a c.答案： b a c角度二：简单的对数不等式2(2018启东联考)已知一元二次不等式 f(x)0 的解集为(，1)(2，)，则 f(lg x)0 的解集为_解析：因为一元二次不等式 f(x)0 的解集为(，1)(2，)，所以一元二次不等式 f(x)0 的解集为(1,2)，由 f(lg x)0 可得
11、1lg x2，从而解得 10 x100，所以不等式的解集为(10,100)答案：(10,100)角度三：对数函数性质的综合问题3(2019盐城中学第一次检测)已知函数 f(x)lg(2 x)lg(2 x)(1)求函数 f(x)的定义域，并判断函数 f(x)的奇偶性；(2)记函数 g(x)10 f(x)3 x，求函数 g(x)的值域；(3)若不等式 f(x) m 有解，求实数 m 的取值范围解：(1)函数 f(x)lg(2 x)lg(2 x)，6Error! 解得2 x2.函数 f(x)的定义域为(2,2) f( x)lg(2 x)lg(2 x) f(x)， f(x)是偶函数(2) f(x)lg
12、(2 x)lg(2 x)lg(4 x2)， g(x)10 f(x)3 x x23 x4 2 (2 x2)，(x32) 254 g(x)max g ， g(x)min g(2)6.(32) 254函数 g(x)的值域是 .( 6，254(3)不等式 f(x) m 有解， m f(x)max，令 t4 x2，由于2 x2，0 t4， mlg 4.实数 m 的取值范围为(，lg 4)通法在握1解决与对数函数有关的函数的单调性问题的步骤2比较对数值大小的方法(1)若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母，则需对底数进行分类讨论(2)若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式
13、化为同底后，再进行比较(3)若底数与真数都不同，则常借助 1,0 等中间量进行比较演练冲关1(2019苏州模拟)已知函数 f(x)log ax2 a|x|(a0，且 a1)，若 f(3) f(4)，则不等式 f(x23 x) f(4)的解集为_解析：易知函数 f(x)的定义域为(，0)(0，)， f( x)log ax2 a|x| f(x)， f(x)在定义域上为偶函数， f(3) f(3) f(3) f(4)， f(3) f(4)， a1， f(x)在(0，)上单调递增故不等式 f(x23 x) f(4)满足Error!解得1 x4，且 x0， x3.故不等式 f(x23 x) f(4)的解
14、集为(1,0)(0,3)(3,4)7答案：(1,0)(0,3)(3,4)2已知函数 f(x)log 4(ax22 x3)(1)若 f(1)1，求 f(x)的单调区间；(2)是否存在实数 a，使 f(x)的最小值为 0？若存在，求出 a 的值；若不存在，说明理由解：(1)因为 f(1)1，所以 log4(a5)1，因此 a54， a1，这时 f(x)log 4( x22 x3)由 x22 x30，得1 x3，函数 f(x)的定义域为(1,3)令 g(x) x22 x3，则 g(x)在(1,1)上递增，在(1,3)上递减又 ylog 4x 在(0，)上递增，所以 f(x)的单调递增区间是(1,1)
15、，递减区间是(1,3)(2)假设存在实数 a，使 f(x)的最小值为 0，则 h(x) ax22 x3 应有最小值 1，因此应有Error!解得 a .12故存在实数 a ，使 f(x)的最小值为 0.12 一抓基础，多练小题做到眼疾手快1(2018淮安调研)函数 f(x)log 2(3x1)的定义域为_解析：由 3x10，解得 x ，所以函数 f(x)的定义域为 .13 (13， )答案： (13， )2函数 f(x)log 3(x22 x10)的值域为_解析：令 t x22 x10( x1) 299，故函数 f(x)可化为 ylog 3t， t9，此函数是一个增函数，其最小值为 log39
16、2，故 f(x)的值域为2，)答案：2，)3计算 log23log34( ) 3log4log34_.3解析：log 23 log34( ) 3l 3 31log4223log 32224.3lg 3lg 2 2lg 2lg 3答案：484(2019长沙调研)已知函数 ylog a(x3)1( a0， a1)的图象恒过定点 A，若点 A 也在函数 f(x)3 x b 的图象上，则 f(log32)_.解析：函数 ylog a(x3)1( a0， a1)的图象恒过定点 A(2，1)，将x2， y1 代入 f(x)3 x b，得 32 b1， b ， f(x)3 x ，109 109则 f(log
17、32)3log 32 2 .109 109 89答案：895若函数 f(x)Error!( a0，且 a1)的值域是4，)，则实数 a 的取值范围是_解析：当 x2 时， y x64.因为 f(x)的值域为4，)，所以当 a1 时，3log ax3log a24，所以 loga21，所以 1 a2；当 0 a1 时，3log ax3log a2，不合题意故 a(1,2答案：(1,26(2018镇江期末)已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，当 x0 时， f(x)1log 2x，则不等式 f(x)0 的解集是_解析：当 x0 时， f(x) f( x)log 2( x)1， f(x)0，
18、即 log2( x)10，解得2 x0；当 x0 时， f(x)1log 2x， f(x)0，即 1log 2x0，解得 x2，综上，不等式 f(x)0 的解集是(2,0)(2，)答案：(2,0)(2，) 二保高考，全练题型做到高考达标1(2019镇江中学调研)函数 ylog 2xlog 2(4 x)的值域为_解析：由题意知， x0 且 4 x0， f(x)的定义域是(0,4)函数 f(x)log 2xlog 2(4 x)log 2x(4 x)，0 x(4 x) 24，当且仅当 x2 时等号成立x 4 x2 log 2x(4 x)2，函数 ylog 2xlog 2(4 x)的值域为(，2答案：
19、(，22(2018镇江中学学情调研)已知函数 f(x)lg 的定义域是 ，则实(1a2x) (12， )数 a 的值为_解析：因为函数 f(x)lg 的定义域是 ，所以当 x 时，1 0，(1a2x) (12， ) 12 a2x9即 1，所以 a2 x，所以 xlog 2a.令 log2a ，得 a2 ，所以实数 a 的值为 .a2x 12 12 2 2答案： 23若函数 f(x)lg( x22 ax1 a)在区间(，1上递减，则 a 的取值范围为_解析：令函数 g(x) x22 ax1 a( x a)21 a a2，对称轴为 x a，要使函数在 (，1上递减，则有Error!即Error!解
20、得 1 a2，即 a1,2)答案：1,2)4(2019连云港模拟)已知函数 f(x)lg ，若 f(a) ，则 f( a)_.1 x1 x 12解析：因为 f(x)lg 的定义域为1 x1，1 x1 x所以 f( x)lg lg f(x)，1 x1 x 1 x1 x所以 f(x)为奇函数，所以 f( a) f(a) .12答案：125函数 f(x) lg 的定义域为_4 |x|x2 5x 6x 3解析：由Error!得Error! 故函数定义域为(2,3)(3,4答案：(2,3)(3,46(2018苏州调研)若函数 f(x)Error!( a0，且 a1)的值域为6，)，则实数 a 的取值范围
21、是_解析：当 x2 时， f(x)6，)，所以当 x2 时， f(x)的取值集合A6， )当 0 a1 时， A ，不符合题意；当 a1 时，( ， loga2 5)A(log a25，)，若 A6，)，则有 loga256，解得 1 a2.答案：(1,27函数 f(x)log 2 log (2x)的最小值为_x 2解析：依题意得 f(x) log2x(22log 2x)(log 2x)122log 2x 2 ，(log2x12) 14 14当且仅当 log2x ，即 x 时等号成立，12 22因此函数 f(x)的最小值为 .1410答案：148设函数 f(x)Error!若 f(a) f(
22、a)，则实数 a 的取值范围是_解析：由 f(a) f( a)得Error!或 Error!即Error! 或Error!解得 a1 或1 a0.答案：(1,0)(1，)9已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数， f(0)0，当 x0 时， f(x)log 12x.(1)求函数 f(x)的解析式；(2)解不等式 f(x21)2.解：(1)当 x0 时， x0，则 f( x)log 12 ( x)因为函数 f(x)是偶函数，所以 f( x) f(x)所以函数 f(x)的解析式为f(x)Error!(2)因为 f(4)log 1242， f(x)是偶函数，所以不等式 f(x21)2 可化为 f
23、(|x21|) f(4)又因为函数 f(x)在(0，)上是减函数，所以| x21|4，解得 x ，5 5即不等式的解集为( ， )5 510(2019如东上学期第一次阶段检测)已知函数 f(x)log a(x1)log a(3 x)(a0 且 a1)，且 f(1)2.(1)求 a 的值及 f(x)的定义域；(2)若不等式 f(x) c 恒成立，求实数 c 的取值范围解：(1)因为 f(1)2，所以 2loga22，故 a2，所以 f(x)log 2(1 x)log 2(3 x)，要使函数 f(x)有意义，需有Error!解得1 x3，所以 f(x)的定义域为(1,3)(2)由(1)知， f(x
24、)log 2(1 x)log 2(3 x)11log 2(1 x)(3 x)log 2( x22 x3)log 2( x1) 24，故当 x1 时， f(x)有最大值 2，所以 c 的取值范围是2，) 三上台阶，自主选做志在冲刺名校1(2019南京五校联考)已知函数 f(x) x2e x (x0)与 g(x) x2ln( x a)，12若函数 f(x)图象上存在点 P 与函数 g(x)图象上的点 Q 关于 y 轴对称，则 a 的取值范围是_解析：设点 P(x0， y0)(x00)，则点 P 关于 y 轴的对称点 Q( x0， y0)在函数 g(x)的图象上，所以Error!消去 y0，可得 x
25、 e x0 ( x0)2ln( x0 a)，2012所以 e x0 ln( x0 a)(x00)12令 m(x)e x (x0)， n(x)ln( a x)(x0)，问题转化为函数 m(x)与函数 n(x)的12图象在 x0 时有交点在平面直角坐标系中分别作出函数 m(x)与函数 n(x)的图象如图所示当 n(x)ln( a x)的图象过点 时， a .(0，12) e由图可知，当 a 时，函数 m(x)与函数 n(x)的图象在 x0 时有交点e故 a 的取值范围为(， )e答案：(， )e2(2018昆山测试)已知函数 f(x)lg (kR)kx 1x 1(1)当 k0 时，求函数 f(x)
26、的值域；(2)当 k0 时，求函数 f(x)的定义域；(3)若函数 f(x)在区间10，)上是单调增函数，求实数 k 的取值范围解：(1)当 k0 时， f(x)lg ，定义域为(，1)11 x12因为函数 y (x1)的值域为(0，)，11 x所以 f(x)lg 的值域为 R.11 x(2)因为 k0，所以关于 x 的不等式 0( x1)( kx1)0 (x1)kx 1x 10.(*)(x1k)若 0 k1，则 1，不等式(*)的解为 x1 或 x ；1k 1k若 k1，则不等式(*)即( x1) 20，其解为 x1；若 k1，则 1，不等式(*)的解为 x 或 x1.1k 1k综上，当 0
27、 k1 时，函数 f(x)的定义域为(，1) ；(1k， )当 k1 时，函数 f(x)的定义域为 (1，)( ，1k)(3)令 g(x) ，则 f(x)lg g(x)kx 1x 1因为函数 f(x)在10，)上是单调增函数，且对数的底数 101，所以当 x10，)时， g(x)0，且函数 g(x)在10，)上是单调增函数而 g(x) k ，kx 1x 1 k x 1 k 1x 1 k 1x 1若 k10，则函数 g(x)在10，)上不是单调增函数；若 k10，则函数 g(x)在10，)上是单调增函数所以 k1.因为函数 g(x)在10，)上是单调增函数，所以要使当 x10，)时， g(x)0，必须 g(10)0，即 0，解得 k .10k 110 1 110综合知，实数 k 的取值范围是 .(110， 1)13
