1、1第六节 指数与指数函数1有理数指数幂(1)幂的有关概念正分数指数幂：a (a0， m， nN *，且 n1)mn nam负分数指数幂：a (a0， m， nN *，且 n1)mn 1amn 1nam0 的正分数指数幂等于 ,0 的负分数指数幂没有意义0(2)有理数指数幂的性质 aras ar s(a0， r， sQ)；( ar)s (a0， r， sQ)；ars( ab)r arbr(a0， b0， rQ)2指数函数的图象与性质y ax a1 0 a1图象定义域 R值域 (0，)过定点(0,1)当 x0 时， y1；x0 时，0 y1当 x0 时，0 y1；x0 时， y1性质在区间(，)上
2、是增函数在区间(，)上是减函数小题体验1函数 f(x)2 ax1 1( a0，且 a1)恒过定点_2答案：(1,1)2已知 0.2m0.2 n，则 m_n(填“”或“”)答案：3计算：( a2 )( )_.5a3 a 10a9答案： a651在进行指数幂的运算时，一般用分数指数幂的形式表示，并且结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数2指数函数 y ax(a0， a1)的图象和性质跟 a 的取值有关，要特别注意区分a1 或 0 a1.小题纠偏1化简 (a0， b 0)的结果为_a3b23ab2(ab)4ab答案：ab2若函数 y( a1) x在(，)上为减函数，则实数 a
3、的取值范围是_答案：(1,2)考 点 一 指 数 幂 的 化 简 与 求 值 基 础 送 分 型 考 点 自 主 练 透 题组练透化简与求值：(1) 02 2 12(0.01) 0.5；(235) (214)(2) a13b2 12；56 ( 3ab 1) (4ab 3)(3) .(ab 1)ab6ab5解：(1)原式1 121214 (49) (1100)1 14 23 1101 16 1103 .1615(2)原式 a16b3 (4a23b3 )1252 a b3 (a b 2)54 a12b54 .54 1ab3 5ab4ab2(3)原式ababab a1326b1536 .1a谨记通法
4、指数幂运算的一般原则(1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算(2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数(3)底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数的，先化成假分数(4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答考 点 二 指 数 函 数 的 图 象 及 应 用 重 点 保 分 型 考 点 师 生 共 研 典例引领1(2019苏州调研)若 a1， b1，则函数 f(x) ax b 的图象经过第_象限解析： a1， y ax的图象过第一、第二象限，且是单调增函数，经过(0,1)，f(x) ax b 的图象可看成把 y ax的图象向
5、下平移 b( b1)个单位得到的，故函数 f(x) ax b 的图象经过第一、三、四象限答案：一、三、四2已知 f(x)|2 x1|.(1)求 f(x)的单调区间；(2)比较 f(x1)与 f(x)的大小解：(1)由 f(x)|2 x1|Error!可作出函数 f(x)的图象如图所示因此函数 f(x)的4单调递减区间为(，0)，单调递增区间为(0，)(2)在同一坐标系中，分别作出函数 f(x)、 f(x1)的图象，如图所示由图象知，当 2 01x11 2 0，即 x0log 2 时，两图象相23交，由图象可知，当 xlog 2 时， f(x) f(x1)；23当 xlog 2 时， f(x)
6、f(x1)；23当 xlog 2 时， f(x) f(x1)23由题悟法指数函数图象的画法及应用(1)画指数函数 y ax(a0， a1)的图象，应抓住三个关键点：(1， a)，(0,1)，.( 1，1a)(2)与指数函数有关的函数的图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象(3)一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解即时应用1若曲线| y|2 x1 与直线 y b 没有公共点，则 b 的取值范围是_解析：作出曲线| y|2 x1 与直线 y b 的图象如图所示，由图象可得：如果| y|2 x1 与直线 y b 没有公共点，则 b 应
7、满足的条件是b1,1答案：1,12已知函数 y |x 1|.(13)5(1)作出该函数的图象；(2)由图象指出函数的单调区间解：(1) y |x 1|Error!(13)其图象由两部分组成：一部分是： y x(x0) y x1 (x1)；(13) 向 左 平 移 1个 单 位 (13)另一部分是： y3 x(x0) y3 x1 (x1)，函数图象如图所示 向 左 平 移 1个 单 位(2)由图象知函数的单调递增区间是(，1，单调递减区间是(1，)考 点 三 指 数 函 数 的 性 质 及 应 用 题 点 多 变 型 考 点 多 角 探 明 锁定考向高考常以填空题的形式考查指数函数的性质及应用，
8、常见的命题角度有：(1)比较指数式的大小；(2)简单的指数不等式；(3)指数型函数的性质 题点全练角度一：比较指数式的大小1设 a0.6 0.6， b0.6 1.5， c1.5 0.6，则 a， b， c 的大小关系是_(用“”表示)解析：因为函数 y0.6 x是减函数，00.61.5，所以 10.6 0.60.6 1.5，即 b a1.因为函数 y1.5 x在(0，)上是增函数，060，所以 1.50.61.5 01，即 c1.综上， c a b.答案： c a b角度二：简单的指数不等式2设函数 f(x)Error!若 f(a)1，则实数 a 的取值范围是_解析：当 a0 时，不等式 f(
9、a)1 可化为 a71，(12)即 a8，即 a 3 ，(12) (12) (12)6因为 0 1，所以 a3，此时3 a0；12当 a0 时，不等式 f(a)1 可化为 1，a所以 0 a1.故 a 的取值范围是(3,1)答案：(3,1)角度三：指数型函数的性质3(1)若函数 f(x)2 |x a|(aR)满足 f(1 x) f(1 x)，且 f(x)在 m，)上单调递增，则实数 m 的最小值等于_(2)如果函数 y a2x2 ax1( a0， a1)在区间1,1上的最大值为 14，则 a 的值为_解析：(1)函数 f(x)2 |x a|(aR)的图象关于直线 x a 对称，由 f(1 x)
10、 f(1 x)得函数 f(x)的图象关于直线 x1 对称，故 a1，则 f(x)2 |x1| Error!由复合函数的单调性得 f(x)在1，)上单调递增，故 m1，所以实数 m 的最小值等于 1.(2)令 ax t，则 y a2x2 ax1 t22 t1( t1) 22.当 a1 时，因为 x1,1，所以 t .1a， a又函数 y( t1) 22 在 上单调递增，1a， a所以 ymax( a1) 2214，解得 a3(负值舍去)当 0 a1 时，因为 x1,1，所以 t .a，1a又函数 y( t1) 22 在 上单调递增，a，1a所以 ymax 2214，解得 a (负值舍去)(1a
11、1) 13综上， a3 或 a .13答案：(1)1 (2)3 或134(2019启东中学高三检测)已知函数 f(x)9 x2 a3x3.(1)若 a1， x0,1，求 f(x)的值域；(2)当 x1,1时，求 f(x)的最小值 h(a)；(3)是否存在实数 m， n，同时满足下列条件： n m3；当 h(a)的定义域为 m， n时，其值域为 m2， n2若存在，求出 m， n 的值；若不存在，请说明理由解：(1)当 a1 时， f(x)9 x23 x3，则 f(x)(3 x1) 22.因为 x0,1，所以 3x1,3， f(x)2,67(2)令 3x t，因为 x1,1，故 t ，函数 f(
12、x)可化为 g(t)13， 3 t22 at3( t a)23 a2.当 a 时， h(a) g ；13 (13) 289 2a3当 a3 时， h(a) g(a)3 a2；13当 a3 时， h(a) g(3)126 a.综上， h(a)Error!(3)因为 n m3， h(a)126 a 为减函数，所以 h(a)在 m， n上的值域为 h(n)， h(m)，又 h(a)在 m， n上的值域为 m2， n2，所以Error! 即Error!两式相减，得 6(m n) m2 n2( m n)(m n)，所以 m n6.而由 n m3 可得 m n6，矛盾所以不存在满足条件的实数 m， n.通
13、法在握应用指数函数性质的常见 3 大题型及求解策略题型 求解策略比较幂值的大小(1)能化成同底数的先化成同底数幂再利用单调性比较大小；(2)不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小简单指数不等式先利用幂的运算性质化为同底数幂，再利用单调性转化为一般不等式求解指数型函数的性质与探究一般函数的定义域、单调性(区间)、奇偶性、最值(值域)等性质的方法一致提醒 在探究指数型函数的单调性时，当底数与“1”的大小关系不明确时，要分类讨论演练冲关已知函数 f(x) bax(其中 a， b 为常数且 a0， a1)的图象经过点 A(1,6)，B(3,24)(1)试确定 f(x)；(2)若不等式 x x
14、 m0 在 x(，1上恒成立，求实数 m 的取值范围(1a) (1b)解：(1)因为 f(x) bax的图象过点 A(1,6)， B(3,24)，8所以Error!得 a24，又 a0 且 a1，所以 a2， b3，所以 f(x)32 x.(2)由(1)知 x x m0 在(，1上恒成立可转化为 m x x在(，1(1a) (1b) (12) (13)上恒成立令 g(x) x x，(12) (13)则 g(x)在(，1上单调递减，所以 m g(x)min g(1) ，12 13 56故所求实数 m 的取值范围是 .( ，56 一抓基础，多练小题做到眼疾手快1(2019连云港调研)已知 a3 ，
15、 be ， ce 3，则 a， b， c 的大小关系为_解析：由 ye x是增函数，得 be ce 3，由 y x 是增函数，得a3 be ，故 c b a.答案： c b a2已知函数 y ax1 3( a0 且 a1)图象经过点 P，则点 P 的坐标为_解析：当 x1 时， y a034，函数 y ax1 3( a0 且 a1)的图象恒过定点(1,4)点 P 的坐标为(1,4)答案：(1,4)3在同一平面直角坐标系中，函数 f(x)2 x1 与 g(x) x1 的图象关于_(12)对称解析：因为 g(x)2 1 x f( x)，所以 f(x)与 g(x)的图象关于 y 轴对称答案： y 轴
16、4已知 f(x)3 x b(2 x4， b 为常数)的图象经过点(2,1)，则 f(x)的值域为_解析：由 f(x)过定点(2,1)可知 b2，因为 f(x)3 x2 在2,4上是增函数，所以 f(x)min f(2)1， f(x)max f(4)9.9故 f(x)的值域为1,9答案：1,95不等式 2 x x4 的解集为_(12)解析：不等式 2 x22 x x4 可化为 x22 x x 4，等价于 x22 x x4，即(12) (12) (12)x23 x40，解得1 x4.答案： x|1 x46(2019徐州调研)若函数 f(x) ax1 (a1)在区间2,3上的最大值比最小值大 ，a2
17、则 a_.解析：函数 f(x) ax1 (a1)在区间2,3上为增函数， f(x)max f(3) a2， f(x)min f(2) a.由题意可得 a2 a ，解得 a .a2 32答案：32 二保高考，全练题型做到高考达标1若函数 f(x) a|x1| (a0，且 a1)的值域为1，)，则 f(4)与 f(1)的大小关系是_解析：由题意知 a1， f(4) a3， f(1) a2，由 y at(a1)的单调性知 a3 a2，所以 f(4) f(1)答案： f(4) f(1) 2(2018启东中学检测)满足 x 316 的 x 的取值范围是_(14)解析： x 316， x 3 2 ，(14
18、) (14) (14)函数 y x在定义域上是减函数，(14) x32，故 x1.答案：(，1)3已知实数 a， b 满足等式 2 017a2 018b，下列五个关系式：0 b a； a b0；0 a b； b a0； a b.其中不可能成立的关系式有_个解析：设 2 017a2 018b t，如图所示，由函数图象，可得若t1，则有 a b0；若 t1，则有 a b0；若 0 t1，则有10a b0.故可能成立，而不可能成立答案：24若函数 f(x)Error!是 R 上的减函数，则实数 a 的取值范围是_解析：依题意， a 应满足Error!解得 a .23 34答案： (23， 345(2
19、019苏州中学检测)函数 f(x) x21 的值域为_(13)解析：令 u x21，可得 f(u) u是减函数，(13)而 u x21 的值域为1，)，函数 f(x) x21 的值域为 .(13) (0， 13答案： (0，136(2019无锡调研)函数 f(x) x22 x6 的单调递增区间是_(12)解析：设 u(x) x22 x6( x1) 25，对称轴为 x1，则 u(x)在(，1)上单调递减，在(1，)上单调递增，又 y x在 R 上单调递减，(12)所以 f(x) x22 x6 在(，1)上单调递增，在(1，)上单调递减(12)答案：(，1)7已知函数 f(x) a x(a0，且
20、a1)，且 f(2) f(3)，则 a 的取值范围是_解析：因为 f(x) a x x，且 f(2) f(3)，(1a)所以函数 f(x)在定义域上单调递增，所以 1，1a解得 0 a1.答案：(0,1)8当 x(，1时，不等式( m2 m)4x2 x0 恒成立，则实数 m 的取值范围是_解析：原不等式变形为 m2 m x，(12)11因为函数 y x在(，1上是减函数，(12)所以 x 1 2，(12) (12)当 x(，1时， m2 m x恒成立等价于 m2 m2，解得1 m2.(12)答案：(1,2)9化简下列各式：(1) 0.50.1 2 23 3 0 ；(279) (21027) 3
21、748(2) .3aa 3 3a 3a 1解：(1)原式12 233 100 3 100.(259) 10.12 (6427) 3748 53 916 3748(2)原式 a 6a a8 a .3aa 3aa 3a 3a10(2018苏州调研)已知函数 f(x)3 x 3 x( R)(1)若 f(x)为奇函数，求 的值和此时不等式 f(x)1 的解集；(2)若不等式 f(x)6 对 x0,2恒成立，求实数 的取值范围解：(1)函数 f(x)3 x 3 x的定义域为 R.因为 f(x)为奇函数，所以 f( x) f(x)0 对 xR 恒成立， 即 3 x 3x3 x 3 x( 1)(3 x3 x
22、)0 对 xR 恒成立，所以 1.由 f(x)3 x3 x1，得(3 x)23 x10，解得 3x 或 3x (舍去)，1 52 1 52所以不等式 f(x)1 的解集为Error!.(2)由 f(x)6，得 3x 3 x6，即 3x 6.3x令 t3 x1,9，则问题等价于 t 6 对 t1,9恒成立， t即 t26 t 对 t1,9恒成立，令 g(t) t26 t， t1,9，因为 g(t)在1,3上单调递增，在3,9上单调递减，所以当 t9 时， g(t)有最小值 g(9)27，所以 27，即实数 的取值范围为(，27 三上台阶，自主选做志在冲刺名校121当 x1,2时，函数 y x2与
23、 y ax(a0)的图象有交点，则 a 的取值范围是12_解析：当 a1 时，如图所示，使得两个函数图象有交点，需满足 22 a2，即121 a ；2当 0 a1 时，如图所示，需满足 12 a1，即 a1.12 12综上可知， a .12， 2答案： 12， 22(2018南京调研)已知二次函数 f(x) mx22 x3，关于实数 x 的不等式 f(x)0的解集为1， n(1)当 a0 时，解关于 x 的不等式 ax2 n1( m1) x2 ax；(2)是否存在实数 a(0,1)，使得关于 x 的函数 y f(ax)3 ax1 在 x1,2上的最小值为 ？若存在，求实数 a 的值；若不存在，
24、请说明理由92解：(1)由 f(x) mx22 x30 的解集为1， n知，关于 x 的方程 mx22 x30的两根为1 和 n，且 m0，则Error! 所以Error!所以原不等式可化为( x2)( ax2)0.当 a0 时，原不等式化为( x2)(2)0，解得 x2；当 0 a1 时，原不等式化为( x2) 0，且 2 ，解得 x 或 x2；(x2a) 2a 2a当 a1 时，原不等式化为( x2) 20，解得 xR 且 x2；当 a1 时，原不等式化为( x2) 0，且 2 ，解得 x 或 x2.(x2a) 2a 2a综上所述，当 a0 时，原不等式的解集为 x|x2；当 0 a1 时，原不等式的解集为Error!；当 a1 时，原不等式的解集为Error!.(2)假设存在满足条件的实数 a，由(1)知 f(x) x22 x3，13y f(ax)3 ax1 a2x(3 a2) ax3.令 ax t， a2 t a，则 y t2(3 a2) t3，此函数图象的对称轴为 t ，3a 22因为 a(0,1)，所以 a2 a1,1 ，3a 22 52所以函数 y t2(3 a2) t3 在 a2， a上单调递减，所以当 t a 时， y 取得最小值，最小值为 y2 a22 a3 ，92解得 a (舍去)或 a .32 12故存在满足条件的 a， a 的值为 .1214
