1、1陕西省西安中学 2018-2019 学年高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）1.抛物线 x2=-8y 的准线方程是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先根据题意，求得抛物线 x2=-8y 的 p，即可求出准线方程.【详解】抛物线 x2=-8y 可得 2p=8所以 2=2故准线方程为 y=2故选 B【点睛】本题考查了抛物线的准线方程，属于基础题.2.已知向量=（1，1，0） ，则与共线的单位向量=（ ）A. B. 1， C. D. 1，(22,22,0) (0, 0) (22,22,0) (1,1)【答案】C【解析】【分析】先根
2、据题意，设出与共线的单位向量可为 ，再利用单位向量的模长为 1，求得 a 的(,0)值即可得出答案.【详解】因为向量=（1，1，0）所以与共线的单位向量可为 且 (,0) 2+2+0=1解得 =22所以可得与共线的单位向量为 或(22,22,0) (22,22,0)故选 C【点睛】本题主要考查了向量共线的单位向量，属于基础题.23.下列说法中正确的是( )A. 若 ，则 四点构成一个平行四边形= ,B. 若 ， ，则/ / /C. 若 和 都是单位向量，则 =D. 零向量与任何向量都共线【答案】D【解析】【分析】结合向量的性质，对选项逐个分析即可选出答案。【详解】对于选项 A， 四点可能共线，
3、故 A 不正确；对于选项 B，若 是零向量，则, 不一定成立，故 B 错误；对于选项 C，若 方向不同，则 ，故 C 错误；对于/ 、 D，零向量与任何向量都共线，正确。故答案为 D.【点睛】本题考查了零向量、平行向量、相等向量、单位向量等知识，考查了学生对基础知识的掌握情况。4.给出如下三个命题：若“ p 且 q”为假命题，则 p、 q 均为假命题；命题“若 a b，则 2a2 b-1”的否命题为“若 a b，则 2a2 b-1”；“ x R， x2+11”的否定是 “x R， x2+11” 正确的个数是（ ）A. 0 B. 1 C. 2 D. 3【答案】B【解析】【分析】根据真值表可得 p
4、 且 q 为假命题时，则 p、q 至少有一个是假命题写出一个命题的否命题的关键是正确找出原命题的条件和结论全称命题：“xA，P（x） ”的否定是特称命题：“ xA ，非 P（x） ”，结合已知中原命题；“xR，x 2+11” ，易得到答案【详解】根据真值表可得：若 p 且 q 为假命题时，则 p、q 至少有一个是假命题，所以3错误根据命题“若 ab，则 2a2 b-1”的否命题为“若 ab，则 2a2 b-1” 是真命题，所以正确 若原命题“xR，都有 x2+11” 命题“xR，都有 x2+12x” 的否定是： xR，有 x2+11，所以不正确 故选：B【点睛】解决此类问题的关键是熟练掌握真值
5、表、特称命题、命题的否定以及其他的有关基础知识，属于基础题.5.若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为（ ）A. B. C. D. 12 32 34 64【答案】A【解析】【分析】根据椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，得出 ，然后求得离心率2=即可.=12【详解】由题意，椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，即 2=所以离心率 =12故选 A【点睛】本题主要考查了椭圆的简单性质，熟悉性质是解题的关键，属于基础题.6.“ ”是 “ 的最小正周期为 ”的（ ）=1 =22 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分
6、也不必要条件【答案】A【解析】当 时， ，所以周期为 ，当=1 =22=2 =22=的最小正周期为 时， ，所以 ，因此“ ”=22=2 =2| =1 =14是“ 的最小正周期为 ”的充分不必要条件.故选 A.=22 7.若曲线 表示椭圆，则 的取值范围是( )21+21+=1 A. B. C. D. 1 01+011+ 【详解】 曲线 表示椭圆，21+21+=1， 101+011+ 解得 ，且 ，10）的中心和左222=1焦点，点 P 为双曲线右支上的任意一点，则 的取值范围为A. 3- , ） B. 3+ , ） C. , ） D. ,23+ 23+ 74+ 74）+【答案】B【解析】试题
7、分析： 因为 F（-2，0）是已知双曲线的左焦点，所以 a2+1=4，即 a2=3，所以双曲线方程为设点 P（x 0，y 0） ，则有 (x0 )，解得 y02= (x0 )，232=1 02302=1 3 0231 3因为 =(x0+2，y 0)， =(x0，y 0)，所以 =x0(x0+2)+y02=x0（x 0+2）+ = +2x0- 023140231，此二次函数对应的抛物线的对称轴为 x0=- ，因为 x0 ，34 3所以当 x0= 时， 取得最小值 = ，故 3 433+231=3+23 的取值范围是 ，+)，选 B3+23考点：本题主要考查了待定系数法求双曲线方程，考查平面向量的
8、数量积的坐标运算、二次函数的单调性与最值等，考查了同学们对基础知识的熟练程度以及知识的综合应用能力、运算能力点评：解决该试题的关键是先根据双曲线的焦点和方程中的 b 求得 a，则双曲线的方程可得，设出点 P，代入双曲线方程求得 y0的表达式，根据 P，F，O 的坐标表示出 ，进,而求得 的表达式，利用二次函数的性质求得其最小值，则 的取值范围可得 【此处有视频，请去附件查看】10.已知动圆 P 与定圆 C：（ x-2） 2+y2=1 相外切，又与定直线 l： x=-1 相切，那么动圆的圆心 P 的轨迹方程是（ ）6A. B. C. D. 2=4 2=4 2=82=8【答案】C【解析】【分析】令
9、 P 点坐标为（x，y） ，A（2，0） ，动圆得半径为 r，则根据两圆相外切及直线与圆相切得性质可得，PA=1+r，d=r，PA-d=1，化简可求【详解】令 P 点坐标为（x，y） ，A（2，0） ，动圆得半径为 r，则根据两圆相外切及直线与圆相切得性质可得，PA=1+r，d=r，P 在直线的右侧，故 P 到定直线的距离是 x+1，所以 PA-d=1，即 -（x+1）=1，(2)2+2化简得：y 2=8x故选 C【点睛】本题主要考查了点的轨迹方程的求解，解题的关键是由根据两圆相外切及直线与圆相切得性质可得 PA-d=1，属于中档题.11.在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1中， =x +
10、2y +3z ，则 x+y+z=（ ）1 1A. 1 B. C. D. 76 56 23【答案】B【解析】【分析】先根据题意，易知 ，再分别求得 的值，然后求1=+1=+1 ,得答案即可.【详解】在平行六面体中， 1=+1=+1所以 解得=1,2=1,3=1 =1,=12,=13所以 +=76故选 B【点睛】本题主要考查了向量的线性运算，属于较为基础题.712.方程 与 的曲线在同一坐标系中的示意图应是+2=0 2+2=1(|0)（ ） A. B. C. D. 【答案】A【解析】方程 即 ，表示抛物线，+2=0 2=方程 表示椭圆或双曲线，2+2=1(|0)当 和 同号时，抛物线开口向左，方程
11、 表示焦点在 轴的椭圆，无符合条件的选项；2+2=1(|0) 当 和 异号时，抛物线 开口向右， 2=方程 表示双曲线，2+2=1(|0)本题选择 A 选项.二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）13.过抛物线 y2=4x 的焦点作直线交抛物线于 A（ x1， y1） ， B（ x2， y2） ，如果 x1+x2=8，则|AB|=_；【答案】10【解析】【分析】先根据题意求出 ，再利用抛物线的焦点弦 代入得出答案即可.=2 |=1+2+【详解】抛物线 y2=4x 中， 2=4,=2过焦点作直线交抛物线于 A（ x1， y1） ， B（ x2， y2） ，如果 x1+x2=8，8则焦
12、点弦 |=1+2+=8+2=10故答案为 10【点睛】本题主要考查了抛物线的性质以及焦点弦，属于基础题.14.已知 ，且 ， ， ，则|=|=|=1 ， =3 ， =2 ， =2=_；|+2|【答案】 22【解析】【分析】先求出 ， ， ，然后利用 ，展开计算即可。 |+2|2=(+2)2【详解】由题意， ， ，=113=12 =112=0，则=112=0|+2|2=(+2)2=2+(2)2+2+442=1+4+1+200=8，则 .|+2|=22【点睛】本题考查了向量的数量积，向量的平方等于模的平方，考查了计算能力，属于基础题。15.已知 是直线被椭圆 所截得的线段的中点，则的方程是 _.(
13、4,2)236+29=1【答案】 +28=0【解析】试题分析：由题意得，斜率存在，设为 k，则直线 l 的方程为 y-2=k（x-4） ，即 kx-y+2-4k=0，代入椭圆的方程化简得 （1+4k 2）x 2+（16k-32 k 2）x+64 k 2-64k-20=0， ，解得 k=- ，故直线 l 的方程为 x+2y-8=01+2=322161+42=8 12考点：直线与圆锥曲线的关系16.如图，四棱锥 的底面是边长为 2 的正方形，侧面 底面 ,且 ， 分别为棱 的中点，则点 到平面 的距离为_.=2 , , 9【答案】55【解析】【分析】由题意，过点 作 的垂线，垂足为 ，可证明 平面
14、 ，设点 到平面 的距 离为 ，则 ，即 ,求解即可。 =13=13【详解】由题意， ，侧面 底面 ，故 侧面 ，则 ，又因 为 为棱 的中点，所以 ， ， =2+2=5 =2=22因为 ，所以 为正三角形，分别过点 作 的垂线，垂足为 ，=2 、 、 则 ， ，=12=12232=32 =232=3因为 ，所以 ，2+2=2 因为 为棱 的中点，所以 ， =1221=1设点 到平面 的距离为 ，则 ，即 , =13=13则 .= 1321253=55故点 到平面 的距离为 . 55【点睛】本题考查了空间几何中点到平面的距离的求法，利用等体积法是解决此类问题的常见的方法，属于中档题。三、解答题
15、（本大题共 6 小题，共 70.0 分）1017.已知双曲线的方程是 16x29 y2144.(1)求双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程；(2)设 F1和 F2是双曲线的左、右焦点，点 P 在双曲线上，且| PF1|PF2|32，求 F1PF2的大小【答案】 （1）焦点坐标 F1(5,0)， F2(5,0)，离心率 e ，渐近线方程为 y x.（2）53 43 F1PF290.【解析】【分析】（1）将双曲线方程化为标准方程，即可求出 ，从而可求出双曲线的实轴长和渐近线、 方程；（2）由双曲线的性质可得 ，结合余弦定理|1|2|=6，即可求出 .12=|1|2+|2|2422|1|2| 12【
16、详解】 （1）将双曲线方程化为标准方程 ，则 ，长轴长为 6，29216=1 =3,=4渐近线方程是 .=43（2） ，=2+2=5且 ,|1|2|=6 |1|2|=32则 ,12=|1|2+|2|2422|1|2| =(|1|2|)2+2|1|2|422|1|2|因为 ，(|1|2|)2+2|1|2|42=36+64100=0所以 ，12=0故 .12=90【点睛】本题考查了双曲线的方程，双曲线的长轴及渐近线等基础知识，考查了双曲线中焦点三角形，属于基础题。18.如图，在三棱柱 ABC-A1B1C1中， BB1平面 ABC， BAC=90， AC=AB=AA1， E 是 BC 的中点11（1
17、）求证： AE B1C；（2）求异面直线 AE 与 A1C 所成的角的大小；（3）若 G 为 C1C 中点，求二面角 C-AG-E 的正切值【答案】 （1）见解析；（2） ；（3）3 5【解析】【分析】（1）由 BB1面 ABC 及线面垂直的性质可得 AEBB 1，由 AC=AB，E 是 BC 的中点，及等腰三角形三线合一，可得 AEBC，结合线面垂直的判定定理可证得 AE面 BB1C1C，进而由线面垂直的性质得到 AEB 1C； （2）取 B1C1的中点 E1，连 A1E1，E 1C，根据异面直线夹角定义可得，E 1A1C 是异面直线 A与 A1C 所成的角，设 AC=AB=AA1=2，解三
18、角形 E1A1C 可得答案 （3）连接 AG，设 P 是 AC 的中点，过点 P 作 PQAG 于 Q，连 EP，EQ，则 EPAC，由直三棱锥的侧面与底面垂直，结合面面垂直的性质定理，可得 EP平面 ACC1A1，进而由二面角的定义可得PQE 是二面角 C-AG-E 的平面角【详解】证明：（1）因为 BB1面 ABC， AE面 ABC，所以 AE BB1由 AB=AC， E 为 BC 的中点得到 AE BC BC BB1=B AE面 BB1C1C AE B1C12解：（2）取 B1C1的中点 E1，连 A1E1， E1C，则 AE A1E1， E1A1C 是异面直线 AE 与 A1C 所成的
19、角 设 AC=AB=AA1=2，则由 BAC=90，可得 A1E1=AE= ， A1C=2 ， E1C1=EC= BC=2 212 2 E1C= =121+12 6在 E1A1C 中，cos E1A1C= =2+86222212所以异面直线 AE 与 A1C 所成的角为 3（3）连接 AG，设 P 是 AC 的中点，过点 P 作 PQ AG 于 Q，连 EP， EQ，则 EP AC又平面 ABC平面 ACC1A1 EP平面 ACC1A1而 PQ AG EQ AG PQE 是二面角 C-AG-E 的平面角由 EP=1， AP=1， PQ= ，得 tan PQE= =15 5所以二面角 C-AG-
20、E 的平面角正切值是 5【点睛】本题是与二面角有关的立体几何综合题，主要考查了异面直线的夹角，线线垂直的判定，二面角等知识点，难度中档，熟练掌握线面垂直，线线垂直与面面垂直之间的转化及异面直线夹角及二面角的定义，是解答本题的关键19.如图，在边长为 2 的正方体 ABCD-A1B1C1D1中， E 是 BC 的中点， F 是 DD1的中点，（1）求证： CF平面 A1DE；（2）求平面 A1DE 与平面 A1DA 夹角的余弦值13【答案】 （1）见解析；（2）13【解析】【分析】（1）以 D 为原点，分别以 DA，DC，DD 1为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，利用向量法能证明 C
21、F平面 A1DE （2）求出平面 A1DE 的法向量和平面 A1DA 的法向量，利用向量法能求出平面 A1DE 与平面A1DA 夹角的余弦值【详解】证明：（1）以 D 为原点，分别以 DA， DC， DD1为 x 轴， y 轴， z 轴建立空间直角坐标系，则 A（2，0，0） ， A1（2，0，2） ， E（1，2，0） ， D（0，0，0） ， B1（2，2，2） ，则 ，1=(2， 0， 2)， =(1， 2， 0) =(0， 2， 1)设平面 A1DE 的法向量是=(， ， )则 ，取 ， 1=2+2=0=+2=0 =(2， 1， 2)=(0， 2， 1)(2， 1， 2)=0所以 CF
22、平面 A1DE解：（2） 是面 A1DA 的法向量，=(0， 2， 0) = (2， 1， 2)(0， 2， 0)(2)2+12+220+22+0=13即平面 A1DE 与平面 A1DA 夹角的余弦值为 13【点睛】本题考查线面平行的证明，考查线面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、14面面间的位置关系，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题20.已知抛物线 的焦点 ，抛物线上一点 点纵坐标为 2， . :2=2(0) |=3（1）求抛物线的方程；（2）已知抛物线 与直线 交于 两点， 轴上是否存在点 ，使得当 变动时， ： =+1 , 总有 ？说明理由.+=0【答案】 （1） ；（
23、2）存在.2=4【解析】【分析】（1）由抛物线性质可知 ，计算可求出 ，即可得到抛物线方程；（2）设|=+2 =2为符合题意的点，设 ， ，设直线 的斜率分别为 , 将(0,) (1,1) (2,2) , 1,2代入抛物线 的方程可得关于 的一元二次方程，结合斜率表达式及根与系数关=+1 系可得 ,从而可求出 ，即可说明存在 点。+=(1+)=0 =1 【详解】 （1） 即 ，|=+23=2+2 =2故抛物线的方程为 .2=4（2）设 为符合题意的点，设 ， ，(0,) (1,1) (2,2)设直线 的斜率分别为 , 1,2将 代入抛物线 的方程得 ，=+1 244=0故 ,1+2=4,12=
24、4+=11+22=1+11 +2+12,=212+(1)(1+2)12 =8+4(1)4 =(1+)当 时，有 .=1 +=0故存在点 ，使得当 变动时，总有 .(0,1) +=0【点睛】本题考查了抛物线的性质，考查了抛物线方程的求法，考查了直线的斜率，考查了学生分析问题、解决问题的能力，属于中档题。21.如图，四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 为矩形， PD 垂直于底面 ABCD， AD=PD=2，E、 F 分别为 CD、 PB 的中点15（1）求证： EF平面 PAB；（2）设 ，求直线 AC 与平面 AEF 所成角 的正弦值=2【答案】 （1）见解析；（2）36【解析】【分析】（
25、1）求出直线 EF 所在的向量，再求出平面内两条相交直线所在的向量，然后利用向量的数量积为 0，根据线面垂直的判定定理得到线面垂直（2）求出平面的法向量以及直线所在的向量，再利用向量的有关运算求出两个向量的夹角，进而转化为线面角，即可解决问题【详解】解：以 D 为从标原点， DC、 DA、 DP 所在直线分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴，建立空间直角坐标系 D-xyz设 AB=a，则 A（0，2，0） ， B（ a，2，0） ， C（ a，0，0） ， D（0，0，0， ） ， p（0，0，2） ，(2， 0， 0)， (2， 1， 1)（1）由题意可得： =00+12+1（-2）=0， =
26、0a+12+1（-2）=0 EF PA， EF PB EF平面 PAB （2） AB=2 =（0，1，1） 2 由 上 ， =(2， 2， 0)， 16设平面 AEF 的法向量 ，=(,)则=0=0 即 22+0=00+=0 令 y=1，则 x= ，所以 2， =1 =(2， 1， 1)又 =(22， 2， 0)， 所 以 ， =42+0124=36所以 sin= | =36【点睛】解决此类问题的关键是熟练掌握几何体的结构特征，进而得到空间中点、线、面的位置关系，利于建立空间之间坐标系，利用向量的有关知识解决空间角与空间距离以及线面的位置关系等问题22.已知椭圆 的两个焦点分别为 ，离心率为
27、，过 的直线与椭:22+22=1(0) 1,2 12 1圆 交于 两点，且 的周长为 8 , 2（1）求椭圆 的方程；（2）直线 过点 ，且与椭圆 交于 两点，求 面积的最大值. (1,0) , 2【答案】 （1） ；（2）3.24+23=1【解析】【分析】（1）由 的周长为 8，可知 ,结合离心率为 ，可求出 ， ， ，从2 4=812 =2 =1 2=3而可得到椭圆的标准方程；（2）由题意知直线 的斜率不为 0，设直线 的方程为 ， ， ，将直线方程与椭圆方程联立可得到关于 的一元二次方程，=1 (1,1) (2,2) 由三角形的面积公式可知 ，结合根与系数关系可得到 的表达2=12|12
28、|12| 2式，求出最大值即可。【详解】 （1）由题意知, ,则 ,4=8 =2由椭圆离心率 ,则 , ,=12 =12=3则椭圆 的方程 .24+23=1（2）由题意知直线 的斜率不为 0，设直线 的方程为 ， ， ， =1 (1,1) (2,2)17则 ，=124+23=1 (4+32)269=01+2= 632+412= 932+4 所以2=12|12|12|=12|12| (1+2)2412=122 ( 632+4)2+ 3632+4=122+132+4，令 ，则 ，所以 ，2+1= 12= 123(21)+4=123+1而 在 上单调递增，则 的最小值为 4，=3+1 1,+) 3+1所以 ，2=123+13当 时取等号，即当 时， 的面积最大值为 3.=1 =0 2【点睛】本题考查了椭圆方程的求法，考查了直线与椭圆的位置关系，考查了三角形的面积公式的运用，属于难题。18
