1、1课时跟踪检测（六十一） 古典概型与几何概型1(2019长沙长郡中学选拔性考试)长郡中学要从师生推荐的参加讲课比赛的 3 名男教师和 2 名女教师中，任选 2 人参加讲课比赛，则选取的 2 人恰为一男一女的概率为( )A. B.25 35C. D.13 23解析：选 B 从 3 名男教师和 2 名女教师中任选 2 人参加讲课比赛，基本事件总数为10，选取的 2 人恰为一男一女包含的基本事件个数为 6，故选取的 2 人恰为一男一女的概率为 P .故选 B.mn 610 352(2019贵阳模拟)某市国际马拉松邀请赛设置了全程马拉松、半程马拉松和迷你马拉松三个比赛项目，4 位长跑爱好者各自任选一个
2、项目参加比赛，则这三个项目都有人参加的概率为( )A. B.89 49C. D.29 827解析：选 B 基本事件总数 n3 481，这三个项目都有人参加所包含的基本事件个数mC A 36，故这三个项目都有人参加的概率为 P .243mn 3681 493(2019广东五校联考)从 19 这 9 个自然数中任取 7 个不同的数，则这 7 个数的平均数是 5 的概率为( )A. B.23 13C. D.19 18解析：选 C 从 19 这 9 个自然数中任取 7 个不同的数的取法共有 C 36 种，从79(1,9)，(2,8)，(3,7)，(4,6)中任选 3 组，有 C 4 种选法，故这 7
3、个数的平均数是 5 的34概率为 ，选 C.436 194(2019成都外国语学校月考)九章算术中有如下问题：今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆，径几何？”其大意：已知直角三角形的两直角边长分别为 8 步和 15 步，问其内切圆的直径为多少步现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是( )A. B.310 3202C1 D1310 320解析：选 D 直角三角形的斜边长为 17，82 152设内切圆的半径为 r，则 8 r15 r17，解得 r3.内切圆的面积为 r29，豆子落在内切圆外的概率 P1 1 .912815 3205(2019长春质检)如图，扇形 AOB 的圆心角
4、为 120，点 P在弦 AB 上，且 AP AB，延长 OP 交弧 AB 于点 C，现向扇形 AOB 内投13一点，则该点落在扇形 AOC 内的概率为( )A. B. 14 13C. D.27 38解析：选 A 设 OA3，则 AB3 ， AP ，由余弦定理可求得 OP ，则3 3 3 AOP30，所以扇形 AOC 的面积为 ，又扇形 AOB 的面积为 3，从而所求概率为34 .343 146在如图所示的圆形图案中有 12 片树叶，构成树叶的圆弧均相同且所对的圆心角为 ，若在圆内随机取一点，则此点取自树叶(即图中阴 3影部分)的概率是( )A2 B433 63C4 D413 32 23解析：选
5、 B 设圆的半径为 r，根据扇形面积公式和三角形面积公式得阴影部分的面积S24 4 r26 r2，圆的面积 S r2，所以此点取自树叶(即图中阴(16 r2 34r2) 3影部分)的概率为 4 ，故选 B.SS 637已知函数 f(x) x3 ax2 b2x1，若 a 是从 1,2,3 三个数中任取的一个数， b 是13从 0,1,2 三个数中任取的一个数，则该函数有两个极值点的概率为( )3A. B.79 13C. D.59 23解析：选 D f( x) x22 ax b2，要使函数 f(x)有两个极值点，则有 (2 a)24 b20，即 a2 b2.由题意知所有的基本事件有 9 个，即(1
6、,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，其中第一个数表示 a 的取值，第二个数表示 b 的取值满足 a2 b2的有 6 个基本事件，即(1,0)，(2,0)，(2,1)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，所以所求事件的概率为 .69 238(2019安阳模拟)在边长为 a 的正三角形内任取一点 P，则点 P 到三个顶点的距离均大于 的概率是( )a2A B1 1112 36 36C D13 14解析：选 B 如图，正 ABC 的边长为 a，分别以它的三个顶点为圆心， 为半径，在 ABC 内部画圆弧，得到三个扇形，则点 P 在a2
7、这三个扇形外，因此所求概率为 1 ，34a2 12 (a2)234a2 36故选 B.9(2019石家庄毕业班摸底)一个三位数，个位、十位、百位上的数字依次为x， y， z，当且仅当 y x， y z 时，称这样的数为“凸数”(如 243)，现从集合1,2,3,4中取出三个不相同的数组成一个三位数，则这个三位数是“凸数”的概率为( )A. B.23 13C. D.16 112解析：选 B 从集合1,2,3,4中取出三个不相同的数组成一个三位数共有 24 个结果：123,124,132,134,142,143,213,214,231,234,241,243,312,314,321,324,341
8、,342,412,413,421,423,431,432，其中是“凸数”的是 132,142,143,231,241,243,341,342，共 8 个结果，所以这个三位数是“凸数”的概率为 ，故选 B.824 1310(2018全国卷)如图，来自古希腊数学家希波克拉底所研究4的几何图形此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形 ABC 的斜边 BC，直角边 AB， AC. ABC 的三边所围成的区域记为，黑色部分记为，其余部分记为.在整个图形中随机取一点，此点取自，的概率分别记为 p1， p2， p3，则( )A p1 p2 B p1 p3C p2 p3 D p1 p2 p3解析：选
9、 A 法一： S ABC ABAC，以 AB 为直径的半圆的面积为12 2 AB2，以 AC 为直径的半圆的面积为 2 AC2，以 BC 为直径的半圆12 (AB2) 8 12 (AC2) 8的面积为 2 BC2，12 (BC2) 8 S ABAC， S BC2 ABAC，12 8 12S ( 8AB2 8AC2) ( 8BC2 12ABAC) ABAC.12 S S .由几何概型概率公式得 p1 ， p2 ，SS总 SS总 p1 p2.故选 A.法二：不妨设 ABC 为等腰直角三角形，AB AC2，则 BC2 ，2所以区域的面积即 ABC 的面积，为 S1 222，12区域的面积 S21 2
10、 2， 2 22 2区域的面积 S3 22. 2 22根据几何概型的概率计算公式，得 p1 p2 ， p3 ，2 2 2 2所以 p1 p3， p2 p3， p1 p2 p3，故选 A.11甲、乙两人在 5 次综合测评中成绩的茎叶图如图所示，其中一个数字被污损，记甲、乙的平均成绩分别为 甲 ， 乙 ，则 甲 乙 的概率是_x x x x 5解析：设污损处的数字为 m，由 (84858790 m99) (8687919294)，15 15得 m5，即当 m5 时，甲、乙两人的平均成绩相等 m 的取值有 0,1,2,3，9，共 10种可能，其中，当 m6,7,8,9 时， 甲 乙 ，故所求概率为
11、.x x 410 25答案：2512(2018湖北武汉模拟)某路公交车在 6：30,7：00,7：30 准时发车，小明同学在6：50 至 7：30 之间到达该车站乘车，且到达该站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10 分钟的概率为_解析：小明同学在 6：50 至 7：30 之间到达该车站乘车，总时长为 40 分钟，公交车在6：30,7：00,7：30 准时发车，他等车时间不超过 10 分钟，则必须在 6：50 至 7：00 或7：20 至 7：30 之间到达，时长为 20 分钟，则他等车时间不超过 10 分钟的概率 P .2040 12答案：1213(2019南京模拟)口袋中有形状、大小完全相
12、同的 4 个球，球的编号分别为1,2,3,4，若从袋中一次随机摸出 2 个球，则摸出的 2 个球的编号之和大于 4 的概率为_解析：从袋中一次随机摸出 2 个球，共有1,2，1,3，1,4，2,3，2,4，3,46个基本事件，其中摸出的 2 个球的编号之和大于 4 包含的基本事件有1,4，2,3，2,4，3,4，共 4 个，因此摸出的 2 个球的编号之和大于 4 的概率为 .46 23答案：2314已知袋子中放有大小和形状相同的小球若干，其中标号为 0 的小球 1 个，标号为1 的小球 1 个，标号为 2 的小球 n 个若从袋子中随机抽取 1 个小球，取到标号为 2 的小球的概率是 .12(1
13、)求 n 的值(2)从袋子中不放回地随机抽取 2 个小球，记第一次取出的小球标号为 a，第二次取出的小球标号为 b.记“2 a b3”为事件 A，求事件 A 的概率；6在区间0,2内任取 2 个实数 x， y，求事件“ x2 y2( a b)2恒成立”的概率解：(1)依题意共有小球 n2 个，标号为 2 的小球 n 个，从袋子中随机抽取 1 个小球，取到标号为 2 的小球概率为 ，得 n2.nn 2 12(2)从袋子中不放回地随机抽取 2 个小球，( a， b)所有可能的结果为(0,1)，(0,2)，(0,2)，(1,2)，(1,2)，(2,2)，(1,0)，(2,0)，(2,0)，(2,1)
14、，(2,1)，(2,2)，共有 12 种，而满足 2 a b3 的结果有 8 种，故 P(A) .812 23由可知，( a b)24，故 x2 y24，( x， y)可以看成平面中的点的坐标，则全部结果所构成的区域为 ， x， y |0 x 2， 0 y 2， x， y R由几何概型得概率为 P 1 .22 14 2222 415(2019昆明适应性检测)某校为了解高一学生周末的阅读时间，从高一年级中随机抽取了 100 名学生进行调查，获得了每人的周末阅读时间(单位：h)，按照0,0.5)，0.5，1)，4,4.5分成 9 组，制成样本的频率分布直方图如图所示(1)求图中 a 的值；(2)估
15、计该校高一学生周末阅读时间的中位数；(3)在1,1.5)，1.5,2)这两组中采用分层抽样的方法抽取 7 人，再从这 7 人中随机抽取 2 人，求抽取的 2 人恰好都在同一个组的概率解：(1)由频率分布直方图可知，周末阅读时间在0,0.5)的频率为 0.080.50.04.同理，在0.5,1)，1.5,2)，2,2.5)，3,3.5)，3.5,4)，4，45的频率分别为 0.08,0.20,0.25,0.07,0.04,0.02，由 1(0.040.080.200.250.070.040.02)0.5 a0.5 a.解得a0.30.(2)设中位数为 m h.因为前 5 组的频率之和为 0.040.080.150.200.250.720.5，7而前 4 组的频率之和为 0.040.080.150.200.470.5，所以 2 m2.5.由 0.50(m2)0.50.47，解得 m2.06.故可估计该校高一学生周末阅读时间的中位数为 2.06 h.(3)由题意得周末阅读时间在1,1.5)，1.5,2)中的学生分别有 15 人、20 人，按分层抽样的方法应分别抽取 3 人、4 人，故抽取的两人恰好都在同一个组的概率为 .C23 C24C27 377
