1、- 1 -章末小结与测评机械振动Error!机械振动简 谐 运 动两 个 重要 模 型弹 簧 振 子 ：合 力 为 回 复 力单 摆等 时 性重 力 沿 切 线 方 向 的 分 力 提 供 回 复 力周 期 公 式 ：T 2lg实 验 ：用 单 摆 测 定 重 力 加 速 度 g 42lT2)简 谐 运 动 的 能 量 ：机 械 能 守 恒)机械振动Error!简谐运动的对称性和周期性1对称性(1)速率的对称性：系统在关于平衡位置对称的两位置具有相等的速率。(2)加速度的对称性：系统在关于平衡位置对称的两位置具有等大反向的加速度和回复力。(3)时间的对称性：系统在通过关于平衡位置对称的两段位移
2、的时间相等。通过振动过程中任意两点 A、 B 的时间与逆向通过的时间相等。2周期性做简谐运动的物体经过一个周期或几个周期后，能回复到原来的状态，因此在处理实际问题中，要注意到多解的可能性。典例 1 一质点在平衡位置 O 附近做简谐运动，从它经过平衡位置向右运动起开始计时，经 0.13 s 质点第一次通过 M 点，再经 0.1 s 质点第二次通过 M 点。(1)若 M 点在平衡位置右方，其振动周期是多少？(2)若 M 点在平衡位置左方，其振动周期又是多少？解析 (1)将物理过程模型化，画出具体化的图象如图甲所示。设质点从平衡位置 O向右运动到 M 点，那么质点从 O 到 M 运动时间为 0.13
3、 s，再由 M 经最右端 A 返回 M 经历时间为 0.1 s，如图乙所示。- 2 -由图可以看出 M A 历时 0.05 s，即由 O M A 历时 0.18 s，根据简谐运动的对称性可得 T140.18 s0.72 s。(2)若 M 点在 O 点左方，如图丙所示，质点由 O 点经最右方 A 点 后向左经过 O 点到达 M 点历时 0.13 s，再由 M 点向左经最左端 A点返 回M 点历时 0.1 s。由图可以看出，由 O A M 历时 t1 0.13 s，由 M A历时 t20.05 s，即O A M A历时 0.18 s，则 T20.18 s， T20.24 s。34答案 (1)0.7
4、2 s (2)0.24 s简谐运动的图象及应用简谐运动的图象描述了振动质点的位移随时间的变化规律。从图象中可以确定位移、速度、加速度、动能和势能等物理量以及它们的变化规律，具体分析如下：1可以确定振动物体在任一时刻的位移。如图所示，对应 t1、 t2时刻的位移分别是x17 cm、 x25 cm。2确定振动的振幅。图中最大位移的值就是振幅。图中所示的振幅是 10 cm。3确定振动的周期和频率，振动图象上一个完整的正弦(余弦)图形在时间轴上拉开的“长度”表示周期，由图可知， OD、 AE、 BF 的时间间隔都等于振动周期 T0.2 s，频率 f5 Hz。1T4确定各时刻质点的振动方向(看临近的下一
5、时刻质点到达的位置)。例如：图中 t1时刻质点正远离平衡位置运动；在 t3时刻，质点正向着平衡位置运动。5比较各时刻质点的加速度(回复力)的方向和大小。例如：图中 t1时刻质点位移 x1为正，则加速度 a1为负，两者方向相反； t2时刻，位移 x2为负，则 a2为正，又因为|x1| x2|，所以| a1| a2|。6比较不同时刻质点的势能、动能的大小。质点离平衡位置的位移越大，它所具有的势能越大，动能则越小，图中 t1时刻质点的势能 Ep1大于 t2时刻的势能 Ep2，而动能则Ek1 Ek2。典例 2 (多选)一质点做简谐运动的振动图象如图所示，下列说法正确的是( )- 3 -A振动图象上的
6、A、 B 两点振动物体的速度相同B在 t0.1 s 和 t0.3 s 时，质点的加速度大小相等，方向相反C振动图象上 A、 B 两点的速度大小相等，方向相反D质点在 t0.2 s 和 t0.3 s 时的动能相等解析选 BC A、 B 两点位移相同，速度大小相等，但方向相反，因此 A 错误，C 正确。t0.1 s 和 t0.3 s 质点离开平衡位置的位移最大，方向相反，由 F kx， a 可知，kxmB 正确。 t0.2 s 时，物体通过平衡位置，速度最大，动能最大；而 t0.3 s 时，速度为零，动能最小，故 D 错误。解决简谐运动的物理思想方法1理想模型法弹簧振子是一种理想化模型，它忽略了弹
7、簧的质量及摩擦力和空气阻力。单摆是实际摆的理想化模型，忽略了绳的质量、粗细、伸缩及球的大小、空气阻力等。这种理想化的近似可以使问题大为简化，有利于对物理现象和物理规律的探究和认识。2图象法图象法是物理学中常用的一种思维方法，它能够形象直观地反映物理规律，帮助我们认识物理现象和解决物理问题。用图象法研究物体的振动时，应注意物体振动的周期、振幅、相位等。3等效法本章有两个重要的物理模型，分别是弹簧振子模型和单摆模型。凡是具有与它们相同运动规律的系统都可以等效为弹簧振子模型或单摆模型，可以用弹簧振子或单摆的有关知识分析。4对称法由于简谐运动具有周期性和对称性，我们可以根据已知的一部分运动情况分析出其
8、他阶段的运动情况。典例 3 光滑的水平面叠放着质量分别为 m 和 的两木块，下m2 方木块与一劲度系数为 k 的弹簧相连，弹簧的另一端固定在墙上，如图 所示。已知两木块之间的最大静摩擦力为 f，要使这两个木块组成的系 统像一个整体一样地振动，系统的最大振幅为( )A. B. C. D.fk 2fk 3fk 4fk- 4 -解析选 C 对质量为 的木块分析，随质量为 m 的木块一起做类似弹簧振子的简谐运动，m2其最大加速度为 a ，即整体运动的最大加速度为 a ，则弹簧的最大弹力为fm2 2fm 2fmkA( m)a 解得 A ，C 正确。m2 32m2fmk 3fk典例 4 如图所示，光滑圆弧
9、槽半径为 R， A 为最低点， C 到 A 点的距离远小于 R，若同时释放小球 B、 C，要使两小球 B 和 C 在 A 点相遇(小球 B 和 C 可视为质 点)，则小球 B 到 A 点的距离 H 应满足什么条件？解析 因为小球 C 到 A 点的距离远小于 R，所以 C 球沿圆弧做简谐 运动，此振动与一个摆长为 R 的单摆振动模型相同，故此摆等效摆长为 R。C 球从开始释放至到达 A 点经历的最短时间为 ，也可能是 T 或 T即 tC (2n1)T4 34 54 T4(n0,1,2，)。其中 T2 。RgB 球到达 A 点经历的时间 tB 。两球相遇时， tB tC，所以 (2n1)2Hg 2
10、Hg T4(n0,1，2，) 。 2n 12 Rg故 H 应满足 H R(n0,1,2，)。 22n 128答案 H R(n0,1,2，) 22n 128受迫振动与共振典例 5 (多选)如图所示为单摆在两次受迫振动中的共振曲线，下列说法正确的是( )A若两次受迫振动分别在月球上和地球上进行，且摆长相同，则图线表示月球上单摆的共振曲线B若两次受迫振动是在地球上同一地点进行，则两次摆长之比 l1 l2254C图线若是在地球上完成的，则该摆摆长约为 1 mD若摆长均为 1 m，则图线是在地球上完成的- 5 -解析选 ABC 题图的图线中振幅最大处对应频率应与做受迫振动的单摆的固有频率相等，从图线上可
11、以看出，两摆的固有频率 f10.2 Hz， f20.5 Hz。根据周期公式可得f ，当两摆分别在月球上和地球上做受迫振动且摆长相等时， g 越大， f 越大，1T 12 gl所以 g2g1，由于月球上的重力加速度比地球上的小，所以图线表示月球上单摆的共振曲线，选项 A 正确；若两次受迫振动是在地球上同一地点进行，则 g 相同，两次摆长之比 l1 l2 254，所以选项 B 正确；图线若是在地球上完成的，将 g9.8 m/s2和1f12 1f22f20.5 Hz 代入频率的计算公式可解得 l21 m，所以选项 C 正确，D 错误。专题训练1(多选)把一弹簧振子的弹簧拉长一些，然后由静止释放，0.
12、5 s 后振子经过平衡位置，则此弹簧振子的周期可能为( )A1 s B2 sC0.55 s D0.4 s解析：选 BD 振子经 0.5 s 后回到平衡位置，可能是第一次回到平衡位置，也可能是第二次、第三次、第 n 次回到平衡位置。 t0.5 s 与周期有如下关系： t T4 nT2(n0,1,2，)。周期 T s(n0,1,2，)。当 n0 时，2n 1T4 4t2n 1 22n 1T02 s；当 n1 时， T1 s0.667 s；当 n2 时， T20.4 s，因此 B、D 正确。232(多选)下列说法中正确的是( )A有阻力的振动叫做受迫振动B物体振动时受到外力作用，它的振动就是受迫振动
13、C物体在周期性外力作用下的振动叫做受迫振动D物体在周期性外力作用下振动，它的振动频率最终等于驱动力频率解析：选 CD 物体在周期性外力作用下的振动叫做受迫振动，选项 C 对，B 错；有阻力的振动叫做阻尼振动，选项 A 错；受迫振动的频率最终等于驱动力频率，选项 D 对。3如图所示，在光滑水平面上的弹簧振子，弹簧形变的最大限度为 20 cm，图示 P 位置是弹簧振子处于自然伸长的位置，若将振子m 向右拉动 5 cm 后由静止释放，经 0.5 s 振子 m 第一次回到 P 位置，关于该弹簧振子，下列说法正确的是( )A该弹簧振子的振动频率为 1 HzB若向右拉动 10 cm 后由静止释放，经过 1
14、 s 振子 m 第一次回到 P 位置C若向左推动 8 cm 后由静止释放，振子 m 连续两次经过 P 位置的时间间隔是 2 s- 6 -D在 P 位置给振子 m 任意一个向左或向右的初速度，只要位移不超过 20 cm，总是经0.5 s 速度就降为 0解析：选 D 由题意知，该弹簧振子振动周期为 T0.54 s2 s，且以后不再变化，即弹簧振子固有周期为 2 s，振动频率为 0.5 Hz，所以 B 选项中应经过 0.5 s 第一次回到 P位置，A、B 选项错误；C 选项中连续两次经过 P 位置的时间间隔为半个周期，是 1 s，C 选项错误；根据简谐运动中速度的变化规律易知，D 选项正确。4(多选
15、)一简谐振子沿 x 轴振动，平衡位置在坐标原点。 t0 时刻振子的位移x0.1 m； t s 时刻 x0.1 m； t4 s 时刻 x0.1 m。该振子的振幅和周期可能为( )43A0.1 m， s B0.1 m,8 s83C0.2 m， s D0.2 m,8 s83解析：选 ACD 若振幅 A0.1 m， T s，则 s 为半个周期，从 0.1 m 处运动到83 430.1 m 处，符合运动实际，4 s s s 为一个周期，正好返回 0.1 m 处，所以 A 对；若43 83A0.1 m， T8 s， s 只是 T 的 ，不可能由负的最大位移处运动到正的最大位移处，所以43 16B 错；若
16、A0.2 m， T s， s ，振子可以由0.1 m 处运动到关于平衡位置的对称位83 43 T2置，4 s s s T，振子可以由 0.1 m 处返回 0.1 m 处，所以 C 对；若 A0.2 m， T8 43 83s， s2 ，而 sin ，即两个 时间内，振子可以从0.1 m 处运动到平衡43 T12 (2TT12) 12 T12位置，再从平衡位置运动到 0.1 m 处，由正弦函数规律易知，再经 s 又恰好能由 0.1 m 处83运动到 0.2 m 处后，再返回 0.1 m 处，所以 D 对。(时间：45 分钟 满分：100 分)一、单项选择题(本题共 8 小题，每小题 4 分，共 3
17、2 分)1单摆通过平衡位置时，小球受到的回复力( )A指向地面 B指向悬点C数值为零 D垂直于摆线解析：选 C 做简谐运动的小球，只有在离开平衡位置时才受到回复力， “平衡位置”的- 7 -意义就是回复力为零的位置，C 正确。2下列现象中，属于共振现象的是( )A杂技演员荡秋千越荡越高B下雨前雷声隆隆不绝C在山谷里说话有回声D湖面上的树叶随水波荡漾解析：选 A 杂技演员用周期性外力驱动，使秋千越荡越高，且驱动力频率恰好等于秋千的固定频率，属于共振现象；B、C 都属于声音的反射，D 是受迫振动。3如图所示为某质点在 04 s 内的振动图象，则( )A质点振动的振幅是 4 mB质点振动的频率为 4
18、 HzC质点在 4 s 内经过的路程为 8 mD质点在 t1 s 到 t3 s 的时间内，速度先沿 x 轴正方向后沿 x 轴负方向，且速度先增大后减小解析：选 C 由题图可知质点振动的振幅 A2 m，周期 T4 s，则频率 f 0.25 1THz，选项 A、B 错误；质点在 4 s 内经过的路程 s4 A8 m，选项 C 正确；质点从 t1 s到 t3 s 的时间内，速度一直沿 x 轴负方向，选项 D 错误。4做简谐运动的单摆摆长不变，若摆球质量增加为原来的 4 倍，摆球经过平衡位置时速度减小为原来的 ，则单摆振动的( )12A频率、振幅都不变B频率、振幅都改变C频率不变，振幅改变D频率改变，
19、振幅不变解析：选 C 单摆振动的频率只与摆长和所在地的重力加速度有关，与质量、振幅大小无关，题中单摆振动的频率不变；单摆振动过程中机械能守恒，振子在平衡位置的动能等于其在最大位移处的势能，因此，题中单摆的振幅改变，选项 C 正确。5脱水机把衣服脱水完毕后切断电源，电动机还要转一会儿才能停下来，在这一过程中，发现脱水机在某一时刻振动得很剧烈，然后又慢慢振动直至停止运转，其中振动很剧烈的原因是( )A脱水机没有放平稳- 8 -B电动机在这一时刻转快了C电动机在这一时刻的转动频率跟脱水机的固有频率相近或相等D是脱水机出现了故障解析：选 C 由于电动机的转动，使脱水机做受迫振动。而切断电源后电动机转动
20、的频率是逐渐变慢的，当它的频率接近或等于脱水机的固有频率时，发生共振现象，C 正确。6两个弹簧振子，甲的固有频率是 100 Hz，乙的固有频率是 400 Hz，若它们均在频率是 300 Hz 的驱动力作用下做受迫振动，则振动稳定后( )A甲的振幅较大，振动频率是 100 HzB乙的振幅较大，振动频率是 300 HzC甲的振幅较大，振动频率是 300 HzD乙的振幅较大，振动频率是 400 Hz解析：选 B 振动稳定后，受迫振动的频率等于驱动力频率，选项 A、D 错；由于乙的固有频率更接近驱动力频率，所以乙的振幅较大，选项 B 对，C 错。7某同学在研究单摆的受迫振动时，得到如图所示的共振曲线。
21、横轴表示驱动力的频率，纵轴表示稳定时单摆振动的振幅。已知重力加速度为 g，下列说法中正确的是( )A由图中数据可以估算出摆球的摆长B由图中数据可以估算出摆球的质量C由图中数据可以估算出摆球的最大动能D如果增大该单摆的摆长，则曲线的峰将向右移动解析：选 A 从单摆的共振曲线可以得出单摆的固有频率，单摆的固有频率等于振幅最大时的驱动力的频率，根据单摆的频率可以计算出单摆的周期，根据单摆的周期公式可以算出单摆的摆长，选项 A 正确；从单摆的周期无法计算出单摆的摆球质量和摆球的最大动能，选项 B、C 错误；如果增大单摆的摆长，单摆的周期增大，频率减小，曲线的峰将向左移动，选项 D 错误。8某质点做简谐
22、运动，其位移与时间的关系式为： x3sin( t ) cm，则下列说23 2法不正确的是( )A质点的振幅为 3 cmB质点振动的周期为 3 sC质点振动的周期为 s23- 9 -D t0.75 s 时刻，质点回到平衡位置解析：选 C 由 x3sin( t ) cm 可知， A3 cm， ， T 3 s，A、B23 2 23 2正确，C 错误；将 t0.75 s 代入关系式中可得： x0，故 t0.75 s 时，质点回到平衡位置，D 正确。二、多项选择题(本题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分)9一物体做受迫振动，驱动力的频率小于该物体的固有频率。当驱动力的频率逐渐增大到一定数值的过程
23、中，该物体的振幅可能( )A逐渐增大B逐渐减小C先逐渐增大，后逐渐减小D先逐渐减小，后逐渐增大解析：选 AC 当驱动力的频率等于固有频率时，做受迫振动的物体发生共振现象，振幅最大。由于没有说明驱动力的频率最后的情况，因此 A、C 选项都有可能。10如图甲所示，小球在内壁光滑的固定半圆形轨道最低点附近做小角度振动，其振动图象如图乙所示，以下说法正确的是( )A t1时刻小球速度为零，轨道对它的支持力最小B t2时刻小球速度最大，轨道对它的支持力最小C t3时刻小球速度为零，轨道对它的支持力最大D t4时刻小球速度最大，轨道对它的支持力最大解析：选 AD 小球在 t1和 t3时刻，位移最大，小球速
24、度为零，轨道对小球支持力最小；在 t2和 t4时刻，位移为零，小球速度最大，轨道对小球的支持力最大。A、D 正确。11如图所示，在一条张紧的绳上挂 7 个摆，先让 A 摆振动起来， 则其余各摆也随之振动，已知 A、 B、 F 三摆的摆长相同，则下列判断正 确的是( )A7 个摆的固有频率都相同B振动稳定后 7 个摆的振动频率都相同C B、 F 摆的摆长与 A 摆相同，它们的振幅最大D除 A 摆外， D、 E 摆离 A 摆最近，它们的振幅最大解析：选 BC 7 个摆的摆长不完全相同，固有频率不相同，选项 A 错； A 摆振动起来后，带动其余 6 个摆做受迫振动，振动稳定后 7 个摆的振动频率都相
25、同，选项 B 对； B、 F 摆的摆- 10 -长与 A 摆相同，发生共振，选项 C 对，D 错。12一个弹簧振子在光滑的水平面上做简谐运动，其中有两个时刻弹簧对振子的弹力大小相等，但方向相反，那么这两个时刻弹簧振子的( )A速度一定大小相等，方向相反B加速度一定大小相等，方向相反C位移一定大小相等，方向相反D以上三项都不对解析：选 BC 由弹簧振子的运动规律知，当弹簧弹力大小相等、方向相反时，这两时刻振子的位移大小相等、方向相反，加速度大小相等、方向相反，B、C 正确；由于物体的运动方向在两时刻可能为同向，也可能为反向，故 A 错误。13.如图所示为某质点沿 x 轴做简谐运动的图象，下列说法
26、中 正确的是( )A在 t4 s 时质点速度最大，加速度为 0B在 t1 s 时，质点的速度达到最大值C在 0 到 1 s 时间内，质点速度和加速度方向相同D在 t2 s 时，质点的位移沿 x 轴负方向，加速度也沿 x 轴负方向解析：选 BC t4 s 时质点位于正的最大位移处，加速度值最大，A 错误；在 t1 s时质点位于平衡位置，速度达到最大，B 正确；在 0 到 1 s 时间内，质点速度和加速度方向均为 x 轴负方向，C 正确；在 t2 s 时加速度指向平衡位置，位移沿 x 轴负方向，D 错误。14如图所示是甲、乙两个单摆做简谐运动的图象，则下列说法中正确的是( )A甲、乙两摆的振幅之比
27、为 21B t2 s 时，甲摆的重力势能最小，乙摆的动能为零C甲、乙两摆的摆长之比为 41D甲、乙两摆摆球在最低点时向心加速度大小一定相等解析：选 AB 由题图知甲、乙两摆的振幅分别为 2 cm、1 cm，故选项 A 正确； t2 s时，甲摆在平衡位置处，乙摆在振动的最大位移处，故选项 B 正确；由单摆的周期公式T2 ，得到甲、乙两摆的摆长之比为 14，故选项 C 错误；因摆球摆动的最大偏角未lg知，故选项 D 错误。三、非选择题(本题共 4 小题，共 44 分)- 11 -15(8 分)根据单摆周期公式 T2 ，可以通过实验测量当地的重力加速度。如图lg甲所示，将细线的上端固定在铁架台上，下
28、端系一小钢球，就做成了单摆。(1)用游标卡尺测量小钢球直径，示数如图乙所示，读数为_ mm。(2)(多选)以下是实验过程中的一些做法，其中正确的有_。a摆线要选择细些的、伸缩性小些的，并且尽可能长一些b摆球尽量选择质量大些、体积小些的c为了使摆的周期大一些，以方便测量，开始时拉开摆球，使摆线相距平衡位置有较大的角度d拉开摆球，使摆线偏离平衡位置不大于 5，在释放摆球的同时开始计时，当摆球回到开始位置时停止计时，此时间间隔 t 即为单摆周期 Te拉开摆球，使摆线偏离平衡位置不大于 5，释放摆球，当摆球振动稳定后，从平衡位置开始计时，记下摆球做 50 次全振动所用的时间 t，则单摆周期 T t50
29、解析：(1)按照游标卡尺的读数原则得小钢球直径为 18 mm60.1 mm18.6 mm。(2)单摆的构成条件：细线质量要小，弹性要小；球要选体积小、密度大的；偏角不超过 5，a、b 正确，c 错误；为了减小测量误差，要从摆球摆过平衡位置时计时，且需测量多次全振动所用时间，然后取平均值计算出一次全振动所用的时间，d 错误，e 正确。答案：(1)18.6 (2)abe16(10 分)如图所示是一个单摆的共振曲线。(1)若单摆所处环境的重力加速度 g 取 9.8 m/s2，试求此摆的 摆长；(2)若将此单摆移到高山上，共振曲线的“峰”将怎样移动？解析：(1)由题图知，单摆的固有频率 f0.3 Hz
30、。由单摆的周期公式 T2 得 f lg 12 gl解得 l m2.8 mg4 2f2 9.843.1420.32(2)由 f 知，将单摆移动到高山上，重力加速度 g 减小，其固有频率 f 减小，故12 gl- 12 -共振曲线的“峰”将向左移动。答案：(1)2.8 m (2)向左移动17(12 分)弹簧振子以 O 点为平衡位置在 B、 C 两点之间做简谐运动， B、 C 相距 20 cm。某时刻振子处于 B 点，经过 0.5 s，振子首次到达 C 点，求：(1)振动的周期和频率；(2)振子在 5 s 内通过的路程及 5 s 末的位移大小；(3)振子在 B 点的加速度大小跟它距 O 点 4 cm
31、 处 P 点的加速度大小的比值。解析：(1)由题意可知，振子由 B C 经过半个周期，即 0.5 s，故 T1.0 T2s， f 1 Hz。1T(2)振子经过 1 个周期通过的路程 s10.4 m。振子 5 s 内振动了五个周期，回到 B 点，通过的路程： s5 s12 m，位移大小 x10 cm0.1 m。(3)由 F kx 可知：在 B 点时 FB k0.1，在 P 点时 FP k0.04，故 52。aBaPFBmFPm答案：(1)1.0 s 1 Hz(2)2 m 0.1 m (3)5218(14 分)如图所示为一弹簧振子的振动图象，求：(1)该振子简谐运动的表达式；(2)在第 2 s 末
32、到第 3 s 末这段时间内，弹簧振子的加速度、速度、动能和弹性势能各是怎样变化的？(3)该振子在前 100 s 的总位移是多少？路程是多少？解析：(1)由题图可得：A5 cm， T4 s， 0则 rad/s2T 2- 13 -故该振子做简谐运动的表达式为： x5sin t cm。 2(2)由题图可知，在 t2 s 时振子恰好通过平衡位置，此时加速度为零，随着时间的延续，位移值不断加大，加速度的值也变大，速度值不断变小，动能不断减小，弹性势能逐渐增大。当 t3 s 时，加速度的值达到最大，速度等于零，动能等于零，弹性势能达到最大值。(3)振子经过一个周期位移为零，路程为54 cm20 cm，前 100 s 刚好经过了 25 个周期，所以前 100 s 振子位移 x0，振子路程 s2025 cm500 cm5 m。答案：(1) x5sin t cm 2(2)见解析 (3)0 5 m
