1、2017年湖南省张家界市中考 真题 数学 一、选择题 (本大题共 8 个小题，每小题 3 分，共 24 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 ). 1. 2017的相反数是 ( ) A. 2017 B.2017 C. 12017D. 12017解析： 2017的相反数是 2017. 答案： B. 2.正在修建的黔张常铁路，横跨渝、鄂、湘三省，起于重庆市黔江区黔江站，止于常德市武陵区常德站 .铁路规划线路总长 340 公里，工程估算金额 375000000000 元 .将数据37500000000用科学记数法表示为 ( ) A.0.375 1011 B.3.75 1011 C
2、.3.75 1010 D.375 108 解析：用科学记数法表示较大的数时，一般形式为 a 10n，其中 1 |a| 10， n为整数，据此可知， 37500000000=3.75 1010. 答案： C. 3.如图，在 O中， AB 是直径， AC是弦，连接 OC，若 ACO=30 ，则 BOC的度数是 ( ) A.30 B.45 C.55 D.60 解析： OA=OC， A= ACO=30 ， AB是 O的直径， BOC=2 A=2 30=60 . 答案： D. 4.下列运算正确的有 ( ) A.5ab ab=4 B.(a2)3=a6 C.(a b)2=a2 b2 D. 9 = 3 解析：
3、 A、 5ab ab=4ab，故本选项错误； B、 (a2)3=a6，故本选项正确； C、 (a b)2=a2 2ab b2，故本选项错误； D、 9 =3，故本选项错误 . 答案： B. 5.如图， D， E分别是 ABC的边 AB， AC 上的中点，如果 ADE的周长是 6，则 ABC的周长是 ( ) A.6 B.12 C.18 D.24 解析： D、 E分别是 AB、 AC的中点， 1 1 12 2 2A D A B A E A C D E B C ， ， ABC的周长 =AB+AC+BC=2AD+2AE+2DE=2(AD+AE+DE)=2 6=12. 答案： B. 6.如图是一个正方体
4、的表面展开图，则原正方体中与 “ 美 ” 字所在面相对的面上标的字是( ) A.丽 B.张 C.家 D.界 解析：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形， “ 张 ” 与 “ 丽 ” 是相对面， “ 美 ” 与 “ 家 ” 是相对面， “ 的 ” 与 “ 界 ” 是相对面 . 答案： C. 7.某校高一年级今年计划招四个班的新生，并采取随机摇号的方法分班，小明和小红既是该校的高一新生，又是好朋友，那么小明和小红分在同一个班的机会是 ( ) A.14B.13C.12D.34解析：如图， 共有 16种结果，小明和小红分在同一个班的结果有 4 种，故小明和小红分在同一个班的机会 = 41
5、16 4. 答案： A. 8.在同一平面直角坐标系中，函数 y=mx+m(m 0)与 myx(m 0)的图象可能是 ( ) A. B. C. D. 解析： A、由反比例函数图象得 m 0，则一次函数图象经过第二、三、四象限，所以 A选项错误； B、由反比例函数图象得 m 0，则一次函数图象经过第一、二、三象限，所以 B 选项错误； C、由反比例函数图象得 m 0，则一次函数图象经过第二、三、四象限，所以 C 选项错误； D、由反比例函数图象得 m 0，则一次函数图象经过第一、二、三象限，所以 D选项正确 . 答案： D. 二、填空题 (共 6个小题，每小题 3分，满分 18 分，将答案填在答题
6、纸上 ) 9.不等式组 12xx 的解集是 _. 解析：不等式组 12xx 的解集是： x 1. 答案 ： x 1. 10.因式分解： x3 x=_. 解析：原式 =x(x2 1)=x(x+1)(x 1). 答案 ： x(x+1)(x 1) 11.如图， a b， PA PB， 1=35 ，则 2的度数是 _. 解析：如图所示，延长 AP交直线 b于 C， a b， C= 1=35 ， APB是 BCP的外角， PA PB， 2= APB C=90 35=55 . 答案 ： 55 . 12.已知一元二次方程 x2 3x 4=0的两根是 m， n，则 m2+n2=_. 解析： m， n是一元二次
7、方程 x2 3x 4=0的两个根， m+n=3， mn= 4， 则 m2+n2=(m+n)2 2mn=9+8=17. 答案 ： 17. 13.某校组织学生参加植树活动，活动结束后，统计了九年级甲班 50名学生每人植树的情况，绘制了如下的统计表： 植树棵数 3 4 5 6 人数 20 15 10 5 那么这 50名学生平均每人植树 _棵 . 解析：平均每人植树 (3 20+4 15+5 10+6 5) 50=4棵 . 答案 ： 4. 14.如图，在正方形 ABCD中， AD=23，把边 BC绕点 B逆时针旋转 30 得到线段 BP，连接AP并延长交 CD于点 E，连接 PC，则三角形 PCE的面
8、积为 _. 解析： 四边形 ABCD 是正方形， ABC=90 ， 把边 BC绕点 B逆时针旋转 30 得到线段 BP， PB=BC=AB， PBC=30 ， ABP=60 ， ABP是等边三角形， BAP=60 ， AP=AB=23， AD=23， AE=4， DE=2， CE=23 2， PE=4 23， 过 P作 PF CD于 F， 3 2 3 32P F P E ， 三角形 PCE的面积 = 11 2 3 2 4 2 3 6 3 1 022C E P F . 答案 ： 6 310 . 三、解答题 (本大题共 9个小题，满分 58分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .) 15.
9、计算： 1 20171 2 c o s 3 0 3 1 1|2 | . 解析： 先计算负整数指数幂、代入特殊锐角三角函数值、根据绝对值性质去绝对值符号、计算乘方，再计算乘法、去括号，最后计算加减法可得 . 答案 ：原式 = 32 2 3 1 12 = 2 3 3 1 1 =2. 16.先化简 221 4 4111xxxx，再从不等式 2x 1 6的正整数解中选一个适当的数代入求值 . 解析： 先把括号里的式子进行通分，再把后面的式子根据完全平方公式、平方差公式进行因式分解，然后约分，再求出不等式的解集，最后代入一个合适的数据代入即可 . 答案 ： 222111 4 4 2 111 1 1 22
10、xxx x x xx x x xx ， 2x 1 6， 2x 7， x 72， 把 x=3代入上式得： 原式 =3132=4. 17.如图，在平行四边形 ABCD中，边 AB的垂直平分线交 AD于点 E，交 CB的延长线于点 F，连接 AF， BE. (1)求证： AGE BGF； (2)试判断四边形 AFBE 的形状，并说明理由 . 解析： (1)由平行四边形的性质得出 AD BC，得出 AEG= BFG，由 AAS 证明 AGE BGF即可； (2)由全等三角形的性质得出 AE=BF，由 AD BC，证出四边形 AFBE 是平行四边形，再根据EF AB，即可得出结论 . 答案： (1)证明
11、： 四边形 ABCD是平行四边形， AD BC， AEG= BFG， EF垂直平分 AB， AG=BG， 在 AGEH和 BGF中， A E G B F GA G E B G FA G B G ， AGE BGF(AAS)； (2)四边形 AFBE是菱形，理由如下： AGE BGF， AE=BF， AD BC， 四边形 AFBE是平行四边形， 又 EF AB， 四边形 AFBE是菱形 . 18.某校组织 “ 大手拉小手，义卖献爱心 ” 活动，购买了黑白两种颜色的文化衫共 140 件，进行手绘设计后了出售，所获利润全部捐给山区困难孩子 .每件文化衫的批发价和零售价如下表： 批发价 (元 ) 零售
12、价 (元 ) 黑色文化衫 10 25 白色文化衫 8 20 假设文化衫全部售出，共获利 1860元，求黑白两种文化衫各多少件？ 解析： 设黑色文化衫 x 件，白色文化衫 y件，依据黑白两种颜色的文化衫共 140 件，文化衫全部售出共获利 1860 元，列二元一次方程组进行求解 . 答案 ：设黑色文化衫 x 件，白色文化衫 y件，依题意得 1402 5 1 0 2 0 8 1 8 6 0xyxy ， 解得 6080xy， 答：黑色文化衫 60件，白色文化衫 80 件 . 19.位于张家界核心景区的贺龙铜像，是我国近百年来最大的铜像 .铜像由像体 AD和底座 CD两部分组成 .如图，在 Rt AB
13、C中， ABC=70.5 ，在 Rt DBC中， DBC=45 ，且 CD=2.3米，求像体 AD 的高度 (最后结果精确到 0.1 米，参考数据： sin70.5 0.943， cos70.5 0.334， tan70.5 2.824) 解析： 根据等腰直角三角形的性质得出 BC 的长，再利用 tan70.5= ACBC求出答案 . 答案 ： 在 Rt DBC中， DBC=45 ，且 CD=2.3米， BC=2.3m， 在 Rt ABC中， ABC=70.5 ， tan70.5= 2 .32 .3AC ADBC 2.824， 解得： AD 4.2 答：像体 AD 的高度约为 4.2m. 20
14、.阅读理解题： 定义：如果一个数的平方等于 1，记为 i2= 1，这个数 i 叫做虚数单位，把形如 a+bi(a，b 为实数 )的数叫做复数，其中 a叫这个复数的实部， b 叫做这个复数的虚部，它的加、减，乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似 . 例如计算： (2 i)+(5+3i)=(2+5)+( 1+3)i=7+2i； (1+i) (2 i)=1 2 i+2 i i2=2+( 1+2)i+1=3+i； 根据以上信息，完成下列问题： (1)填空： i3=_， i4=_； (2)计算： (1+i) (3 4i)； (3)计算： i+i2+i3+ +i2017. 解析： (1)把 i2= 1代入
15、求出即可； (2)根据多项式乘以多项式的计算法则进行计算，再把 i2= 1代入求出即可； (3)先根据复数的定义计算，再合并即可求解 . 答案 ： (1)i3=i2 i= i， i4=(i2)2=( 1)2=1. 故答案为： i， 1； (2)(1+i) (3 4i) =3 4i+3i 4i2 =3 i+4 =7 i； (3)i+i2+i3+ +i2017 =i 1 i+1+ +i =i. 21.在等腰 ABC中， AC=BC，以 BC 为直径的 O分别与 AB， AC相交于点 D， E，过点 D作 DF AC，垂足为点 F. (1)求证： DF 是 O的切线； (2)分别延长 CB， FD，
16、相交于点 G， A=60 ， O的半径为 6，求阴影部分的面积 . 解析： (1)连接 OD，由等腰三角形的性质证出 A= ODB，得出 OD AC，证出 DF OD，即可得出结论； (2)证明 OBD 是等边三角形，由等边三角形的性质得出 BOD=60 ，求出 G=30 ，由直角三角形的性质得出 OG=2OD=2 6=12，由勾股定理得出 DG=63，阴影部分的面积 = ODG的面积扇形 OBD的面积，即可得出答案 . 答案： (1)证明：连接 OD，如图所示： AC=BC， OB=OD， ABC= A， ABC= ODB， A= ODB， OD AC， DF AC， DF OD， OD是
17、O的半径， DF是 O的切线； (2)解： AC=BC， A=60 ， ABC是等边三角形， ABC=60 ， OD=OB， OBD是等边三角形， BOD=60 ， DF OD， ODG=90 ， G=30 ， OG=2OD=2 6=12， 3 6 3D G O D， 阴影部分的面积 = ODG的面积扇形 OBD的面积 = 21 6 0 66 6 3 1 8 3 62 3 6 0 . 22.为了丰富同学们的课余生活，某学校计划举行 “ 亲近大自然 ” 户外活动，现随机抽取了部分学生进行主题为 “ 你最想去的景点是？ ” 的问卷调查，要求学生必须从 “A (洪家关 )，B(天门山 )， C(大峡
18、谷 )， D(黄龙洞 )” 四个景点中选择一项，根据调查结果，绘制了如下两幅不完整的统计图 . 请你根据图中所提供的信息，完成下列问题： (1)本次调查的学生人数为 _； (2)在扇形统计图中， “ 天门山 ” 部分所占圆心角的度数为 _； (3)请将两个统计图补充完整； (4)若该校共有 2000名学生，估计该校最想去大峡谷的学生人数为 _. 解析： (1)由 B的人数除以其人数占被调查人数的百分比即可求解； (2)用 360 “ 天门山 ” 部分所占的百分比即可求解； (3)用调查的学生总人数乘以 C 所占百分比得出 C 的人数，补全条形图；用 1 减去 B、 C、 D所占的百分比得出 A
19、所占的百分比，补全扇形图； (4)用样本中最想去大峡谷的学生所占的百分比乘总人数即可 . 答案 ： (1)本次调查的学生人数为 66 55%=120. 故答案为 120人； (2)在扇形统计图中， “ 天门山 ” 部分所占圆心角的度数为 360 55%=198 . 故答案为 198 ； (3)选择 C的人数为： 120 25%=30(人 )， A所占的百分比为： 1 55% 25% 5%=15%. 补全统计图如图： (4)25% 2000=500(人 ). 答：若该校共有 2000 名学生，估计该校最想去大峡谷的学生人数为 500人 . 故答案为： 500人 . 23.已知抛物线 c1的顶点为
20、 A( 1， 4)，与 y轴的交点为 D(0， 3). (1)求 c1的解析式； (2)若直线 l1： y=x+m与 c1仅有唯一的交点，求 m 的值； (3)若抛物线 c1关于 y轴对称的抛物线记作 c2，平行于 x轴的直线记作 l2： y=n.试结合图形回答：当 n为何值时， l2与 c1和 c2共有： 两个交点； 三个交点； 四个交点； (4)若 c2与 x轴正半轴交点记作 B，试在 x轴上求点 P，使 PAB为等腰三角形 . 解析： (1)设抛物线 c1的解析式为 y=a(x+1)2+4，把 D(0， 3)代入 y=a(x+1)2+4即可得到结论； (2)解方程组得到 x2+3x+m
21、3=0，由于直线 l1： y=x+m 与 c1仅有唯一的交点，于是得到 =9 4m+12=0，即可得到结论； (3)根据轴对称的性质得到抛物线 c2的解析式为： y= x2+2x+3，根据图象即可刚刚结论； (4)求得 B(3， 0)，得到 OB=3，根据勾股定理得到 224 1 3 4 2AB ， 当 AP=AB， 当 AB=BP=42时， 当 AP=PB时，点 P在 AB 的垂直平分线上，于是得到结论 . 答案 ： (1) 抛物线 c1的顶点为 A( 1， 4)， 设抛物线 c1的解析式为 y=a(x+1)2+4， 把 D(0， 3)代入 y=a(x+1)2+4得 3=a+4， a= 1，
22、 抛物线 c1的解析式为： y= (x+1)2+4，即 y= x2 2x+3； (2)解 2 23y x xy x m 得 x2+3x+m 3=0， 直线 l1： y=x+m与 c1仅有唯一的交点， =9 4m+12=0， m=214； (3) 抛物线 c1关于 y轴对称的抛物线记作 c2， 抛物线 c2的顶点坐标为 (1， 4)，与 y轴的交点为 (0， 3)， 抛物线 c2的解析式为： y= x2+2x+3， 当直线 l2过抛物线 c1的顶点 ( 1， 4)和抛物线记作 c2的顶点 (1， 4)时，即 n=4 时， l2与 c1和 c2共有两个交点； 当直线 l2过 D(0， 3)时，即 n=3时， l2与 c1和 c2共有三个交点； 当 3 n 4或 n 3 时， l2与 c1和 c2共有四个交点； (4)如图， 若 c2与 x轴正半轴交于 B， B(3， 0)， OB=3， 224 1 3 4 2AB ， 当 AP=AB=42时， PB=8， P1( 5， 0)， 当 AB=BP=42时， P2(3 42， 0)或 P3(3+42， 0)， 当 AP=PB时，点 P在 AB的垂直平分线上， PA=PB=4， P4( 1， 0)， 综上所述，点 P 的坐标为 ( 5， 0)或 (3 42， 0)或 (3+42， 0)或 ( 1， 0)时， PAB为等腰三角形 .
