1、 2015 年湖南省张家界市中考真题数学 一、选择题 (本大题共 8 个小题，每小题 3分，满分 24 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 .) 1.(3 分 )-2 的相反数是 ( ) A. 2 B. -2 C. 12D. 12解 析 ： -2 的相反数是： -(-2)=2， 故选 A 2.(3 分 )如图， O=30 ， C 为 OB 上一点，且 OC=6，以点 C 为圆心，半径为 3 的圆与 OA 的位置关系是 ( ) A. 相离 B. 相交 C. 相切 D. 以上三种情况均有可能 解 析 ：过点 C 作 CDAO 于点 D， O=30 ， OC=6， DC=3 ，
2、以点 C 为圆心，半径为 3 的圆与 OA 的位置关系是：相切 . 故选： C. 3.(3 分 )下列运算正确的是 ( ) A. x2x 3=x6 B. 5x-2x=3x C. (x2)3=x5 D. (-2x)2=-4x2 解 析 ： A、 x2x 3=x5，故错误； B、 5x-2x=3x，故正确； C、 (x2)3=x6，故错误； D、 (-2x)2=4x2，故错误， 故选 B. 4.(3 分 )下列四个立体图形中，它们各自的三视图有两个相同，而另一个不同的是 ( ) A. B. C. D. 解 析 ：球的三视图都是圆， 不正确； 正方体的三视图都是正方形， 不正确； 圆柱的主视图和左视
3、图是矩形，俯视图是圆， 正确； 圆锥的主视图和左视图是三角形，俯视图是圆， 正确， 故选： D. 5.(3 分 )若一组数据 1、 a、 2、 3、 4 的平均数与中位数相同，则 a 不可能是下列选项中的 ( ) A. 0 B. 2.5 C. 3 D. 5 解 析 ：这组数据 1、 a、 2、 3、 4 的平均数为： (1+a+2+3+4)5 =(a+10)5 =0.2a+2 (1)将这组数据从小到大的顺序排列后为 a， 1， 2， 3， 4， 中位数是 2，平均数是 0.2a+2， 这组数据 1、 a、 2、 3、 4 的平均数与中位数相同， 0.2a+2=2 ， 解得 a=0，符号排列顺序
4、 . (2)将这组数据从小到大的顺序排列后为 1， a， 2， 3， 4， 中位数是 2，平均数是 0.2a+2， 这组数据 1、 a、 2、 3、 4 的平均数与中位数相同， 0.2a+2=2 ， 解得 a=0，不符合排列顺序 . (3)将这组数据从小到大的顺序排列后 1， 2， a， 3， 4， 中位数是 a，平均数是 0.2a+2， 这组数据 1、 a、 2、 3、 4 的平均数与中位数相同， 0.2a+2=a ， 解得 a=2.5，符合排列顺序 . (4)将这组数据从小到大的顺序排列后为 1， 2， 3， a， 4， 中位数是 3，平均数是 0.2a+2， 这组数据 1、 a、 2、
5、3、 4 的平均数与中位数相同， 0.2a+2=3 ， 解得 a=5，不符合排列顺序 . (5)将这组数据从小到大的顺序排列为 1， 2， 3， 4， a， 中位数是 3，平均数是 0.2a+2， 这组数据 1、 a、 2、 3、 4 的平均数与中位数相同， 0.2a+2=3 ， 解得 a=5；符合排列顺序； 综上，可得 a=0、 2.5 或 5. a 不可能是 3. 故选： C. 6.(3 分 )若关于 x 的一元二次方程 kx2-4x+3=0 有实数根，则 k的非负整数值是 ( ) A. 1 B. 0， 1 C. 1， 2 D. 1， 2， 3 解 析 ：根据题意得： =16 -12k0
6、，且 k0 ， 解得： k 43， 则 k 的非负整数值为 1. 故选： A. 7.(3 分 )函数 y=ax(a0) 与 y=ax在同一坐标系中的大致图象是 ( ) A. B. C. D. 解 析 ： A、由反比例函数的图象可知 a 0，由正比例函数的图象可知 a 0，二者相矛盾，故本选项错误； B、由反比例函数的图象可知 a 0，由正比例函数的图象可知 a 0，二者相矛盾，故本选项错误； C、由反比例函数的图象可知 a 0，由正比例函数的图象可知 a 0，二者相矛盾，故本选项错误； D、由反比例函数的图象可知 a 0，由正比例函数的图象可知 a 0，二者一致，故本选项正确 . 故选 D.
7、8.(3 分 )任意大于 1 的正整数 m 的三次幂均可 “ 分裂 ” 成 m 个连续奇数的和，如： 23=3+5，33=7+9+11， 43=13+15+17+19， 按此规律，若 m3分裂后其中有一个奇数是 2015，则 m 的值是 ( ) A. 46 B. 45 C. 44 D. 43 解 析 ： 底数是 2 的分裂成 2 个奇数，底数为 3 的分裂成 3个奇数，底数为 4的分裂成 4个奇数， m 3有 m 个奇数， 所以，到 m3的奇数的个数为： 2+3+4+m= 212mm， 2n+1=2015 ， n=1007， 奇数 2015 是从 3 开始的第 1007 个奇数， 4 4 2
8、4 4 22=966， 4 5 2 4 5 22=1015， 第 1007 个奇数是底数为 45 的数的立方分裂的奇数的其中一个， 即 m=45. 故选 B. 二、填空题 (本大题共 8 个小题，每小题 3分，满分 24 分 ) 9.(3 分 )因式分解： x2-1=_. 解 析 ：原式 =(x+1)(x-1). 故答案为： (x+1)(x-1). 10.(3 分 )如图， AC与 BD 相交于点 O，且 AB=CD，请添加一个条件 _，使得 ABOCDO. 解 析 ： AOB 、 COD 是对顶角， AOB=COD ， 又 AB=CD ， 要使得 ABOCDO ， 则只需添加条件： A=C.
9、 故答案为： A=C. 11.(3 分 )由中国发起创立的 “ 亚洲基础设施投资银行 ” 的法定资本金为 100 000 000 000美元，用科学记数法表示为 _美元 . 解 析 ：科学记数法的表示形式为 a10 n的形式，其中 1|a| 10， n 为整数 .确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位， n 的绝对值与小数点移动的位数相同 .当原数绝对值 1 时， n 是正数；当原数的绝对值 1 时， n 是负数 . 答案 ： 100 000 000 000=1.010 11. 故答案为： 1.010 11. 12.(3 分 )如图，在 ABC 中，已知 DEBC ， 2
10、3AEEC，则 ADE 与 ABC 的面积比为 _. 解 析 ：在 ABC 中， DEBC ， ADEABC ， 23AEEC， S ADE ： SABC =4： 25. 故答案为： 4： 25. 13.(3 分 )一个不透明的口袋中有 3 个红球， 2 个白球和 1 个黑球，它们除颜色外完全相同，从中任意摸出一个球，则摸出的是黑球的概率 是 _. 解 析 ：由在不透明的布袋中装有 3 个红球， 2 个白球， 1 个黑球，利用概率公式直接求解即可求得答案 . 答案 ： 在不透明的布袋中装有 3 个红球， 2 个白球， 1 个黑球， 从袋中任意摸出一个球，摸出的球是黑球的概率是： 111 2 3
11、 6. 故答案为： 16. 14.(3 分 )将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使顶点 C 在半圆上，点 A、 B 的读数分别为 100 、 150 ，则 ACB 的大小为 _度 . 解 析 ：连接 OA， OB， 由题意得： AOB=50 ， ACB 与 AOB 都对 ， ACB= 12AOB=25 ， 故答案为： 25 15.(3 分 )不等式组 4 2 325xxx 3的解集为 _. 解 析 ： 4 2 325xxx 3 解不等式 得： x2 ， 解不等式 得： x -1， 不等式组的解集为 -1 x2 ， 故答案为： -1 x2. 16.(3 分 )如图，在四边形 ABCD
12、中， AD=AB=BC，连接 AC，且 ACD=30 ， tanBAC= 233，CD=3，则 AC=_. 解析： 过点 D、 B 分别作 DEAC ， BHAC ，垂足分别为 E、 H，设 AC=x，先求得 AE（用含 x的式子表示）和 DE 的长， 根据勾股定理可表示出 AD2，然后根据等腰三角形三线合一的性质可知： AH=12x，然后根据锐角三角函数的定义可求得 HB（用含 x 的式子表示）的长，根据勾股定理可表示出 AB2，然后根据 AB=CD，列方程求解即可 答案 ：过点 D、 B 分别作 DEAC ， BHAC ，垂足分别为 E、 H，设 AC=x. 在 RtCDE 中， DC=3
13、， DCE=30 ， 12DEDC， 32ECDC. DE= 32， CE=3 32. 则 AE=x-3 32， 在 RtAED 中，由勾股定理得： AD2=AE2+DE2= 239324x， AB=BC ， BHAC ， AH= 12AC=12x， tanBAC= 233BHAH， 233BH， 33AH在 RtABH 中，由勾股定理得： AB2=BH2+AH2， 22221 3 72 3 1 2A B x x x . AB=AD ， 2 23 9 732 4 1 2xx 解得： x1=63， x2=635. 当 AC=635时， AC DC，与图形不符舍去 . AC= 63. 三、解答题
14、(本大题共 9 个小题，共计 72 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .) 17.(6 分 )计算： ( -3.14)0+ 4 -(12)-2+2sin30. 解 析 ：先根据二次根式的性质，零指数幂，特殊角的三角函数值，负整数指数幂求出每一部分的值，再代入求出即可 . 答案 ：原式 =1+2-4+2 12=0. 18.(6 分 )如图，在边长均为 1 的正方形网格纸上有一个 ABC ，顶点 A、 B、 C 及点 O 均在格点上，请按要求完成以下操作或运算： (1)将 ABC 向上平移 4 个单位，得到 A 1B1C1(不写作法，但要标出字母 )； (2)将 ABC 绕点 O 旋转
15、180 ，得到 A 2B2C2(不写作法，但要标出字母 )； (3)求点 A 绕着点 O 旋转到点 A2所经过的路径长 . 解 析 ： (1)根据图形平移的性质画出平移后的 A 1B1C1即可； (2)根据图形旋转的性质画出 ABC 绕点 O 旋转 180 后得到的 A 2B2C2； (3)根据弧长的计算公式列式即可求解 . 答案 ： (1)A 1B1C1如图所示； (2)A 2B2C2如图所示： (3)OA=4 ， AOA 2=180 ， 点 A 绕着点 O 旋转到点 A2所经过的路径长为 180 4180=4. 19.(6 分 )先化简，再求值： 2 2 22 a b b a baaa，其
16、中 12a ， 12b . 解 析 ：原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把 a 与 b 的值代入计算即可求出值 . 答案 ：原式 = 222a a b b aa a b a b = 2ab aa a b a b =abab当 12a ， 12b 时，原式 = 1 2 1 2 21 2 1 2 . 20.(8 分 )随着人民生活水平不断提高，我市 “ 初中生带手机 ” 现象也越来越多，为了了解家长对此现象的态度，某校数学课外活动小组随机调查了若干名学生家长，并将调查结果进行统计，得出如下所示的条形统计图和扇形统计图 . 问： (1)这次调查
17、的学生家长总人数为 _. (2)请补全条形统计图，并求出持 “ 很赞同 ” 态度的学生家长占被调查总人数的百分比 . (3)求扇形统计图中表示学生家长持 “ 无所谓 ” 态度的扇形圆心角的度数 . 解 析 ： (1)利用持反对态度的人数和所占 百分比进而求出总人数； (2)利用 (1)中所求得出持很赞同态度的人数没进而求出所占百分比； (3)利用 (1)中所求得出学生家长持 “ 无所谓 ” 态度的扇形圆心角的度数 . 答案 ： (1)这次调查的家长总人数为： 6030%=200( 人 )； 故答案为： 200； (2)如图所示： 持 “ 很赞同 ” 态度的学生家长占被调查总人数的百分比为： (
18、200-80-20-60)200100%=20% ； (3)学生家长持 “ 无所谓 ” 态度的扇形圆心角的度数为： 20200360=36. 21.(8 分 )小华从家里到学校的路是一段平路和一段下坡路，假设他始终保持平路每分钟走60m，下坡路每分钟走 80m，上坡路每分钟走 40m，则他从家里到学校需 10min，从学校到家里需 15min.问：从小华家到学校的平路和下坡路各有多远？ 解 析 ：设出平路和坡路的路程，从家里到学校走平路和下坡路一共用 10 分钟，从学校到家里走上坡路和平路一共用 15 分钟，利用这两个关系式列出方程组解答即可 . 答案 ：设平路有 xm，下坡路有 ym， 根据
19、题意得1060 801560 40xyxy ， 解得： 300400xy， 答：小华家到学校的平路和下坡路各为 300m， 400m. 22.(8 分 )如图 1 是 “ 东方之星 ” 救援打捞现场图，小红据此构造出一个如图 2 所示的数学模型，已知： A、 B、 D 三点在同一水平线上， CDAD ， A=30 ， CBD=75 ， AB=60m. (1)求点 B 到 AC 的距离； (2)求线段 CD 的长度 . 解 析 ：过点 B 作 BEAC 于点 E，在直角三角形 AEB 中，利用锐角三角函数定义求出 AE 的长，在直角三角形 CEB 中，利用锐角三角函数定义求出 BE 与 CE 的
20、长，由 AE+CE求出 AC的长，即可求出 CD 的长 . 答案 ：过点 B 作 BEAC 于点 E， 在 RtAEB 中， AB=60m， sinA=BEAB， BE=60 12=30， cosA=AEAB， AE=60 32=30 3 m， 在 RtCEB 中， ACB=CBD -A=75 -30=45 ， BE=CE=30m ， AC=AE+CE=(30+30 3 )m， 在 RtADC 中， sinA=CDAC， 则 CD=(30+30 3 ) 12=(15+15 3 )m. 23.(8 分 )阅读下列材料，并解决相关的问题 . 按照一定顺序排列着的一列数称为数列，排在第一位的数称为第
21、 1 项，记为 a1，依此类推，排在第 n 位的数称为第 n 项，记为 an. 一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母 q 表示 (q0). 如：数列 1，3， 9， 27， 为等比数列，其中 a1=1，公比为 q=3. 则： (1)等比数列 3， 6， 12， 的公比 q 为 _，第 4 项是 _. (2)如果一个数列 a1， a2， a3， a4， 是等比数列，且公比为 q，那么根据定义可得到： 21a qa ， 32a qa ， 43a qa ，1nna qa . 所以： a2=a1q ，
22、a3=a2q=(a 1q)q=a 1q 2， a4=a3q=(a 1q 2)q=a 1q 3， 由此可得： an=_(用 a1和 q 的代数式表示 ). (3)若一等比数列的公比 q=2，第 2 项是 10，请求它的第 1 项与第 4项 . 解 析 ： (1)由第二项除以第一项求出公比 q 的值，确定出第 4 项即可； (2)根据题中的定义归纳总结得到通项公式即可； (3)由公比 q 与第二项的值求出第一项的值，进而确定出第 4 项的值 . 答案 ： (1)q=63=2，第 4 项是 24； (2)归纳总结得： an=a1q n-1； (3) 等比数列的公比 q=2，第二项为 10， a 1=
23、2aq=5， a4=a1q 3=52 3=40. 故答案为： (1)2； 24； (2)a1q n-1 24.(10 分 )如图，已知：在平行四边形 ABCD 中，点 E、 F、 G、 H 分别在边 AB、 BC、 CD、 DA上， AE=CG， AH=CF，且 EG 平分 HEF. 求证： (1)AEHCGF ； (2)四边形 EFGH 是菱形 . 解 析 ： (1)由全等三角形的判定定理 SAS 证得结论； (2)易证四边形 EFGH 是平行四边形，那么 EFGH ，那么 HGE=FEG ，而 EG 是角平分线，易得 HEG=FEG ，根据等量代换可得 HEG=HGE ，从而有 HE=HG
24、，易证四边形 EFGH 是菱形 . 答案 ： (1)证明：如图， 四边形 ABCD 是平行四边形， A=C ， 在 AEH 与 CGF 中， AE CGACAH CF ， AEHCGF(SAS) ； (2) 四边形 ABCD 是平行四边形， AB=CD ， AD=BC， B=D. 又 AE=CG ， AH=CF， BE=DG ， BF=DH， 在 BEF 与 DGH 中， BE DGBDBF DH BEFDGH(SAS) ， EF=GH. 又由 (1)知， AEHCGF ， EH=GF ， 四边形 EFGH 是平行四边形， HGEF ， HGE=FEG ， EG 平分 HEF ， HEG=FE
25、G ， HEG=HGE ， HE=HG ， 四边形 EFGH 是菱形 . 25.(12 分 )如图，二次函数 y=ax2+2x+c 的图象与 x 轴交于点 A(-1， 0)和点 B，与 y 轴交于点C(0， 3). (1)求该二次函数的表达式； (2)过点 A 的直线 ADBC 且交抛物线于另一点 D，求直线 AD 的函数表达式； (3)在 (2)的条件下，请解答下列问题： 在 x 轴上是否存在一点 P，使得以 B、 C、 P 为顶点的三角形与 ABD 相似？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由； 动点 M 以每秒 1 个单位的速度沿线段 AD 从点 A 向点 D 运动，同时，动点
26、 N 以每秒 135个单位的速度沿线段 DB 从点 D 向点 B 运动，问：在运动过程中，当运动时间 t 为何值时， DMN的面积最大，并求出这个最大值 . 解 析 ： (1)把 A(-1， 0)， C(0， 3)代入 y=ax2+2x+c 即可得到结果； (2)在 y=-x2+2x+3 中，令 y=0，则 -x2+2x+3=0，得到 B(3， 0)，由已知条件得直线 BC 的解析式为 y=-x+3，由于 ADBC ，设直线 AD 的解析式为 y=-x+b，即可得到结论； (3) 由 BCAD ，得到 DAB=CBA ，全等只要当 BC PBAD AB或 BC PBAB AD时， PBCABD
27、 ，解方程组 2 231y x xyx 得 D(4， -5)，求出 AD=52， AB=4， BC=32，设 P 的坐标为(x， 0)，代入比例式解得 35x或 x=-4.5 即可得到 3 05P，或 P(-4.5， 0)； 过点 B 作 BFAD 于 F，过点 N 作 NEAD 于 E，在 RtAFB 中， BAF=45 ，于是得到sin BFBAF AB，求得 BF= 24 2 22 ， BD= 26 ，求得2 2 2 1 3s i n1326BFA D BBD ，由于 DM=52t ， DN= 135 t，于是得到 2221 1 2 1 1 1 5 2 55 2 2 5 22 2 5 5
28、 5 5 2 2M D NS D M N E t t t t t t t ，即可得到结果 . 答案 ： (1)由题意知： 023acc ， 解得 13ac， 二次函数的表达式为 y=-x2+2x+3； (2)在 y=-x2+2x+3 中，令 y=0，则 -x2+2x+3=0， 解得： x1=-1， x2=3， B(3 ， 0)， 由已知条件得直线 BC 的解析式为 y=-x+3， ADBC ， 设直线 AD 的解析式为 y=-x+b， 0=1+b ， b= -1， 直线 AD 的解析式为 y=-x-1； (3)BCAD ， DAB=CBA ， 只要当： BC PBAD AB或 BC PBAB
29、AD时， PBCABD ， 解 2 231y x xyx 得 D(4， -5)， AD= 52， AB=4， BC=32， 设 P 的坐标为 (x， 0)， 即 3 2 3452x 或 3 2 34 52x ， 解得 35x或 x=-4.5， 3 05P，或 P(-4.5， 0)， 过点 B 作 BFAD 于 F，过点 N 作 NEAD 于 E， 在 RtAFB 中， BAF=45 ， sin BFBAFAB， BF= 24 2 22， BD= 26 ， 2 2 2 1 3s i n1326BFA D BBD ， DM=52t ， DN= 135 t， 又 sin NEA D BDN， NE= 1 3 2 1 3 25 1 3 5tt， 2221 1 2 1 1 1 5 2 55 2 2 5 22 2 5 5 5 5 2 2M D NS D M N E t t t t t t t ， 当 522t 时， SMDN 的最大值为 52.
