1、2016 年湖南省张家界市中考真题数学 一、选择题 (本大题共 8 个小题，每小题 3 分，满分 24 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 .) 1. -5 的倒数是 ( ) A. 15B.15C.-5 D.5 解析： (-5) ( 15)=1， -5 的倒数是 15. 答案： A. 2.如图是由 4 个完全相同的小正方体组成的立体图形，则它的俯视图是 ( ) A. B. C. D. 解析：根据题意，从上面看原图形可得到 ， 答案： C. 3.下列运算正确的是 ( ) A.(x-y)2=x2-y2 B.x2 x4=x6 C. 233 D.(2x2)3=6x6 解析： (x-
2、y)2=x2-2xy+y2，故选项 A 错误； x2 x4=x6，故选项 B 正确； 233 ，故选项 C 错误； (2x2)3=8x6，故选项 D 错误； 答案： B. 4.如图，将一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上 .如果 1=50，那么 2 的度数是( ) A.30 B.40 C.50 D.60 解析：如图， 1=50， 3= 1=50， 2=90 -50 =40 . 答案： B. 5.在校田径运动会上，小明和其他三名选手参加 100 米预赛，赛场共设 1， 2， 3， 4 四条跑道，选手以随机抽签的方式决定各自的跑道 .若小明首先抽签，则小明抽到 1 号跑道的概率是 ( ) A.
3、 116B.14C.13D.12解析：小明选择跑道有 4 种结果，抽到跑道 1 只有一种结果， 小明抽到 1 号跑道的概率是 14. 答案： B. 6.如图， AB 是 O 的直径， BC 是 O 的弦 .若 OBC=60，则 BAC 的度数是 ( ) A.75 B.60 C.45 D.30 解析： AB 是 O 的直径， ACB=90， 又 OBC=60， BAC=180 - ACB- ABC=30 . 答案： D. 7.如表是我市 4 个区县今年 5 月 31 日最高气温 ( )的统计结果： 永定区 武陵源区 慈利县 桑植县 32 32 33 30 该日最高气温的众数和中位数分别是 ( )
4、 A.32， 32 B.32， 33 C.33， 33 D.32， 30 解析：在这一组数据中 32 是出现次数最多的，故众数是 32； 处于这组数据中间位置的数是 32、 32，那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是 32. 答案： A. 8.在同一平面直角坐标系中，函数 y=ax+b 与 y=ax2-bx 的图象可能是 ( ) A. B. C. D. 解析： A、对于直线 y=ax+b 来说，由图象可以判断， a 0， b 0；而对于抛物线 y=ax2-bx来说，对称轴 x=2ba 0，应在 y 轴的右侧，故不合题意，图形错误； B、对于直线 y=ax+b 来说，由图象可以判断， a
5、0， b 0；而对于抛物线 y=ax2-bx 来说，对称轴 x=2ba 0，应在 y 轴的左侧，故不合题意，图形错误； C、对于直线 y=ax+b 来说，由图象可以判断， a 0， b 0；而对于抛物线 y=ax2-bx 来说，图象开口向上，对称轴 x=2ba 0，应在 y 轴的右侧，故符合题意； D、对于直线 y=ax+b 来说，由图象可以判断， a 0， b 0；而对于抛物线 y=ax2-bx 来说，图象开 口向下， a 0，故不合题意，图形错误； 答案： C. 二、填空题 (本大题共 6 个小题，每小题 3 分，满分 18 分 ) 9.因式分解： x2-4= . 解析： x2-4=(x+
6、2)(x-2). 答案： (x+2)(x-2). 10.据统计， 2015 年张家界接待中外游客突破 50000000 人次，旅游接待人次在全国同类景区和旅游目的地城市中名列前茅 .将 50000000 人用科学记数法表示为 人 . 解析：将 50000000 用科学记数法表示为： 5 107. 答案： 5 107. 11.如图，在 ABC 中，点 D、 E、 F 分别是边 AB、 BC、 CA 上的中点，且 AB=6cm， AC=8cm，则四边形 ADEF 的周长等于 cm. 解析： BD=AD， BE=EC， DE=12AC=4cm， DE AC， CF=FA， CE=BE， EF=12A
7、B=3cm， EF AB， 四边形 ADEF 是平行四边形， 四边形 ADEF 的周长 =2(DE+EF)=14cm. 答案： 14. 12.若关于 x 的一元二次方程 x2-2x+k=0 无实数根，则实数 k 的取值范围是 . 解析：关于 x 的一元二次方程 x2-2x+k=0 无实数根， =b2-4ac=(-2)2-4 1 k 0， k 1， 答案： k 1. 13.如图，点 P 是反比例函数 kyx(x 0)图象的一点， PA 垂直于 y 轴，垂足为点 A， PB 垂直于 x 轴，垂足为点 B.若矩形 PBOA 的面积为 6，则 k 的值为 . 解析：矩形 PBOA 的面积为 6， |k
8、|=6， 反比例函数 kyx(x 0)的图象过第二象限， k 0， k=-6； 答案： -6. 14.如图，将矩形 ABCD 沿 GH 对折，点 C 落在 Q 处，点 D 落在 E 处， EQ 与 BC 相交于 F.若AD=8cm， AB=6cm， AE=4cm.则 EBF 的周长是 cm. 解析：设 AH=a，则 DH=AD-AH=8-a， 在 Rt AEH 中， EAH=90， AE=4， AH=a， EH=DH=8-a， EH2=AE2+AH2，即 (8-a)2=42+a2， 解得： a=3. BFE+ BEF=90， BEF+ AEH=90， BFE= AEH. 又 EAH= FBE=
9、90， EBF HAE， 23EBFH A EC B E A B A EC A H A H . C HAE=AE+EH+AH=AE+AD=12， C EBF=23C HAE=8. 答案 ： 8. 三、解答题 (本大题共 10 个小题，满分 58 分 .请考生用黑色碳素笔在答题卡相应的题号后答题区域内作答，必须写出运算步骤、推理过程或文字说明，超出答题区域的作答无效 .) 15.计算： 10 12 3 1 2 4 52 c o s . 解析： 首先计算绝对值、零次幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值，然后再计算乘法，最后计算加减即可 . 答案：原式 = 22 1 2 22 ， = 2 3 2 ，
10、 =3. 16.已知： ABC 在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为 A(-1， 2)、 B(-2， 1)、 C(1， 1)(正方形网格中每个小正方形的边长是 1 个单位长度 ). (1) A1B1C1 是 ABC 绕点 逆时针旋转 度得到的， B1 的坐标是 ； (2)求出线段 AC 旋转过程中所扫过的面积 (结果保留 ). 解析： (1)利用旋转的性质得出 ) A1B1C1 与 ABC 的关系，进而得出答案； (2)利用扇形面积求法得出答案 . 答案： (1) A1B1C1 是 ABC 绕点 C 逆时针旋转 90 度得到的， B1 的坐标是： (1， -2)， 故答案为： C， 90，
11、(1， -2)； (2)线段 AC 旋转过程中所扫过的面积为以点 C 为圆心， AC 为半径的扇形的面积 . AC= 222 1 5 ， 面积为： 29 0 5 53 6 0 4 ， 即线段 AC 旋转过程中所扫过的面积为 54. 17.先化简，后求值：224222xxx x x x x ，其中 x 满足 x2-x-2=0. 解析： 先把括号内通分，再把分子分母因式分解和除法运算化为乘法运算，接着约分得到原式 =x+1，然后利用因式分解法解 x2-x-2=0，再利用分式有意义的条件把满足题意的 x 的值代入计算即可 . 答案：原式 = 2 14 22xxxx x x= 2 2 122x x x
12、 xx x x =x-1， 解方程 x2-x-2=0，得 x1=-1， x2=2， 当 x=2 时，原分式无意义， 所以当 x=-1 时，原式 =-1-1=-2. 18.在读书月活动中，某校号召全体师生积极捐书，为了解所捐书籍的种类，图书管理员对部分书籍进行了抽样调查，根据调查数据绘制了如下不完整的统计图表 .请你根据统计图表所提供的信息回答下面问题： 某校师生捐书种类情况统计表 种类 频数 百分比 A.科普类 12 n B.文学类 14 35% C.艺术类 m 20% D.其它类 6 15% (1)统计表中的 m= ， n= ； (2)补全条形统计图； (3)本次活动师生共捐书 2000 本
13、，请估计有多少本科普类图书？ 解析： (1)根据频率之和为 1 可得 n 的值，再根据科普类书籍的数量和百分比求得总数，由频数之和等于总数可得 m 的值； (2)由 (1)中 m 的值即可补全条形图； (3)用样本中科普类书籍的百分比乘以总数可得答案 . 答案： (1)n=1-35%-20%-15%=30%， 此次抽样的书本总数为 12 30%=40(本 )， m=40-12-14-6=8， 故答案为： 8， 30%. (2)补全条形图如图： (3)2000 30%=600(本 ) 答：估计有 600 本科普类图书 . 19.已知：如图，在四边形 ABCD 中， AB CD， E 是 BC 的
14、中点，直线 AE 交 DC 的延长线于点F.试判断四边形 ABFC 的形状，并证明你的结论 . 解析： 利用平行线的性质得出 BAE= CFE，由 AAS 得出 ABE FCE，得出对应边相等AE=EF，再利用平行四边形的判定得出即可 . 答案：四边形 ABFC 是平行四边形；理由如下： AB CD， BAE= CFE， E 是 BC 的中点， BE=CE， 在 ABE 和 FCE 中， B A E C F EA E B F E CB E C E， ABE FCE(AAS)； AE=EF， 又 BE=CE 四边形 ABFC 是平行四边形 . 20.求不等式组 5 3 44 1 2xx 的解集，
15、并把它们的解集在数轴上表示出来 . 解析： 首先分别解不等式进而得出不等式组的解集，再数轴上表示出解集即可 . 答案： 5 3 44 1 2xx ， 解不等式得： x 3， 解不等式得： x -2， 则不等式组的解集是： -2 x 3. 解集在数轴上表示如下： . 21.如图，某建筑物 AC 顶部有一旗杆 AB，且点 A， B， C 在同一条直线上，小明在地面 D 处观测旗杆顶端 B 的仰角为 30，然后他正对建筑物的方向前进了 20 米到达地面的 E 处，又测得旗杆顶端 B 的仰角为 60，已知建筑物的高度 AC=12m，求旗杆 AB 的高度 (结果精确到0.1 米 ).参考数据： 3 1.
16、73， 2 1.41. 解析： 首先根据三角形外角的性质可得 DBE=60 -30 =30，根据等角对等边可得 BE=DE，然后在 Rt BEC 中，根据三角形函数可得 BC=BE?sin60，进而可得 BC 长，然后可得 AB 的长 . 答案： BEC=60， BDE=30， DBE=60 -30 =30， BE=DE=20， 在 Rt BEC 中， 36 0 2 0 1 0 3 1 7 . 32B C B E s i n (米 )， AB=BC-AC=17.3-12=5.3(米 )， 答：旗杆 AB 的高度为 5.3 米 . 22.张家界到长沙的距离约为 320km，小明开着大货车，小华开
17、着小轿车，都从张家界同时去长沙，已知小轿车的速度是大货车的 1.25 倍，小华比小明 提前 1 小时到达长沙 .试问：大货车和小轿车的速度各是多少？ 解析： 设大货车的速度是 x 千米 /时，则小轿车的速度是 1.25x/时，根据时间关系列出方程，解方程即可 . 答案：设大货车的速度是 x 千米 /时，则小轿车的速度是 1.25x/时， 由题意，得 3 2 0 3 2 0 11 .2 5xx ， 解得： x=64； 经检验， x=64 是原方程的解，且符合题意， 则 1.25 x=1.25 64=80； 答：大货车的速度是 64 千米 /时，小轿车的速度是 80 千米 /时 . 23.如图，
18、AB 是 O 的直径， C 是 O 上的一点，直线 MN 经过点 C，过点 A 作直线 MN 的垂线，垂足为点 D，且 BAC= CAD. (1)求证：直线 MN 是 O 的切线； (2)若 CD=3， CAD=30，求 O 的半径 . 解析： (1)连接 OC，推出 AD OC，推出 OC MN，根据切线的判定推出即可； (2)求出 AD、 AC 长，证 ADC ACB，得出比例式，代入求出 AB 长即可 . 答案： (1)证明：连接 OC， 因为 OA=OC， 所以 BAC= ACO. 因为 AC 平分 BAD， 所以 BAC= CAD， 故 ACO= CAD. 所以 OC AD， 又已知
19、 AD 丄 MN， 所以 OC 丄 MN， 所以，直线 MN 是 O 的切线； (2)解：已知 AB 是 O 的直径，则 ACB=90， 又 AD 丄 MN， 则 ADC=90 . 因为 CD=3， CAD=30， 所以 AD=33， AC=6 在 Rt ABC 和 Rt ACD 中， BAC= CAD， 所以 Rt ABC Rt ACD， 则 AB ACAC AD， 则 AB=43， 所以 O 的半径为 23. 24.已知抛物线 y=a(x-1)2-3(a 0)的图象与 y 轴交于点 A(0， -2)，顶点为 B. (1)试确定 a 的值，并写出 B 点的坐标； (2)若一次函数的图象经过
20、A、 B 两点，试写出一次函数的解析式； (3)试在 x 轴上求一点 P，使得 PAB 的周长取最小值； (4)若将抛物线平移 m(m 0)个单位，所得新抛物线的顶点记作 C，与原抛物线的交点记作 D，问：点 O、 C、 D 能否在同一条直线上？若能，请求出 m 的值；若不能，请说明理由 . 解析： (1)把 A(0， -2)代入 y=a(x-1)2-3 即可得到结论； (2)设一次函数的解析式为 y=kx+b 将 A、 B 两点的坐标代入解析式解方程组即可得到结论； (3)连接 EB 交 x 轴于点 P，则 P 点即为所求，求出过 E、 B 点的一次函数解析式为 y=-5x+2，即可得到结论
21、； (4)如图 2，设抛物线向右平移 m(若 m 0 表示向右平移，若 m 0 表示向左平移 )个单位，得到新的抛物线的顶点 C(1+m， -3)，解方程组得到两抛物线的交点 D( 21324mm，)，解一元二次方程得到 m=2 或 m=-3，即可得到结论 . 答案： (1)把 A(0， -2)代入 y=a(x-1)2-3 得 -2=a(0-1)2-3，解得： a=1， 顶点为 B， B(1， -3)； (2)设一次函数的解析式为 y=kx+b 将 A、 B 两点的坐标代入解析式求得： 23bkk， k=-1， b=-2， 写出一次函数的解析式为 y=-x-2，； (3)A 点关于 x 轴的对
22、称点记作 E，则 E(0， 2)， 如图 1，连接 EB 交 x 轴于点 P，则 P 点即为所求， 理由：在 PAB 中， AB 为定值， 只需 PA+PB 取最小值即可， 而 PA=PE，从而只需 PE+PB 取最小值即可， 两点之间线段最短， PE+PB EB， E、 P、 B 三点在同一条直线上时，取得最小值 . 由于过 E、 B 点的一次函数解析式为 y=-5x+2， 当 y=0 时， x=25， P(25， 0)； (4)如图 2，设抛物线向右平移 m(若 m 0 表示向右平移，若 m 0 表示向左平移 )个单位， 则所得新的抛物线的顶点 C(1+m， -3)， 新抛物线解析式为 y=(x-1-m)2-3 解 221313y x myx 得21234mxmy ， 两抛物线的交点 D( 21324mm，)， 经过 O、 C 的一次函数解析式是 31yxm ，若 O、 C、 D 在同一直线上， 则 有 2 3314 1 2mmm ， 化简整理得 m3+m2-6m=0， m 0， m2+m-6=0，解得： m=2 或 m=-3， O、 C、 D 三点能够在同一直线上， 此时 m=2 或 m=-3. 即抛物线向右平移 2 个单位，或者向左平移 3 个单位，均满足题目要求 .
