1、四川省专升本（高等数学）-试卷 4 及答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：11，分数：22.00)1.选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。（分数：2.00）_2.函数 y= （分数：2.00）A.(一 1，+)B.一 1，+)C.(一 1，0)(0，+)D.一 1，0)(0，+)3.当 x时，函数 f(x)与 是等价无穷小量，则 （分数：2.00）A.1B.2C.3D.44.定积分 （分数：2.00）A.B.C.D.5.设 z=x y +y，则 （分数：2.00）A.e+1B.+1C.2D.16.设函数 f(x)=sinx，则不定积分f(x)
2、dx= ( )（分数：2.00）A.sinx+CB.cosx+CC.一 sinx+CD.一 cosx+C7.已知数域 F 上的向量 1 ， 2 ， 3 线性无关，下列不正确的是 ( )（分数：2.00）A. 1 ， 2 线性无关B. 2 ， 3 线性无关C. 1 ， 3 线性无关D. 1 ， 3 线性相关8.设有直线 l 1 ： （分数：2.00）A.1B.0C.D.一 19.幂级数 （分数：2.00）A.B.C.D.10.微分方程 y+2y+y=0 的通解为 ( )（分数：2.00）A.y=(C 1 +C 2 x)e xB.y=(C 1 +C 2 x)e xC.y=(C 1 +C 2 )e
3、xD.y=(C 1 +C 2 )e x11.设 A，B 均为 n 阶可逆矩阵，则下列各式中不正确的是 ( )（分数：2.00）A.(A+B) T =A T +B TB.(A+B) 1 =A 1 +B 1C.(AB) 1 =B 1 A 1D.(AB) T =B T A T二、填空题(总题数：5，分数：10.00)12.设 y=x+e x ，则 y= 1（分数：2.00）填空项 1:_13. （分数：2.00）填空项 1:_14.曲线 y=2x 3 一 1 的拐点是 1（分数：2.00）填空项 1:_15.设二元函数 z=3x 2 2xy+2y 2 ，则 （分数：2.00）填空项 1:_16.行列
4、式 D 1 = （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：18.00)17.解答题解答时应写出推理、演算步骤。（分数：2.00）_18.已知由方程 x 2 +y 2 =e 确定函数 y=y(x)，求 （分数：2.00）_19.计算 （分数：2.00）_20.计算sin3xdx（分数：2.00）_21.已知 z=cos ，y=e t ，x=t 3 +t，求 （分数：2.00）_22.求过点 M 0 (0，2，4)，且与两个平面 1 ， 2 都平行的直线方程，其中 1 ：x+y2z1=0， 2 ：x+2yz+1=0（分数：2.00）_23.求 y2y=2x 的通解（分数：2.0
5、0）_24.判断级数 （分数：2.00）_25.解线性方程组 （分数：2.00）_四、综合题(总题数：2，分数：4.00)26.某工厂要制造一个无盖的圆柱形发酵池，其容积是 （分数：2.00）_27.用二重积分计算由曲面 z=x 2 +y 2 和 z= （分数：2.00）_五、证明题(总题数：1，分数：2.00)28.设函数 f(x)在一 a，a(a0)上连续，证明 （分数：2.00）_四川省专升本（高等数学）-试卷 4 答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：11，分数：22.00)1.选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。（分数：2.00）_解
6、析：2.函数 y= （分数：2.00）A.(一 1，+)B.一 1，+)C.(一 1，0)(0，+)D.一 1，0)(0，+) 解析：解析：由已知，应有3.当 x时，函数 f(x)与 是等价无穷小量，则 （分数：2.00）A.1B.2 C.3D.4解析：解析：所给问题为无穷小量的比较问题由于 =1，因此 2xf(x)=4.定积分 （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：令 t=2x+1，则 dt=2dx，dx= dt当 x= 时，t=0；当 x=0 时，t=1，因此5.设 z=x y +y，则 （分数：2.00）A.e+1 B.+1C.2D.1解析：解析：因为6.设函数 f(x)=si
7、nx，则不定积分f(x)dx= ( )（分数：2.00）A.sinx+C B.cosx+CC.一 sinx+CD.一 cosx+C解析：解析：由不定积分的性质“先求导后积分，相差一个常数”可知选项 A 正确7.已知数域 F 上的向量 1 ， 2 ， 3 线性无关，下列不正确的是 ( )（分数：2.00）A. 1 ， 2 线性无关B. 2 ， 3 线性无关C. 1 ， 3 线性无关D. 1 ， 3 线性相关 解析：解析：因为 1 ， 2 ， 3 线性无关，则 1 与 2 ， 1 与 3 ， 2 与 3 均线性无关8.设有直线 l 1 ： （分数：2.00）A.1B.0C. D.一 1解析：解析：
8、直线 其方向向量 s 1 =(1，2，)，s 2 =(2，4，1) 若 l 1 l 2 ，则 9.幂级数 （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：本题考查了幂级数的收敛半径及收敛域的求解设 u n (x)= ，因为 =2x 2 ，所以收敛半径 R= 时，级数收敛，故收敛域为 10.微分方程 y+2y+y=0 的通解为 ( )（分数：2.00）A.y=(C 1 +C 2 x)e xB.y=(C 1 +C 2 x)e x C.y=(C 1 +C 2 )e xD.y=(C 1 +C 2 )e x解析：解析：微分方程的特征方程为 r 2 +2r+1=0，解得 r=1，为二重根，由通解公式可知其
9、通解为y=(C 1 +C 2 x)e x 故选 B11.设 A，B 均为 n 阶可逆矩阵，则下列各式中不正确的是 ( )（分数：2.00）A.(A+B) T =A T +B TB.(A+B) 1 =A 1 +B 1 C.(AB) 1 =B 1 A 1D.(AB) T =B T A T解析：解析：(A+B)(A 1 +B 1 )=E+AB 1 +BA 1 +E，不一定是单位矩阵，故 B 不正确二、填空题(总题数：5，分数：10.00)12.设 y=x+e x ，则 y= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1+e x）解析：解析：本题考查的知识点为导数的四则运算y=(x+e
10、 x )=x+(e x )=1+e x 13. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：本题考查定积分的对称性由于积分区间一 1，1关于原点对称，被积函数 xcosx 2 为奇函数，因此 14.曲线 y=2x 3 一 1 的拐点是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：(0，一 1)）解析：解析：本题考查二阶导数计算及拐点的定义y=6x 2 ，y=12x，当 x0 时，y0；当 x0时，y0，则拐点是(0，一 1)15.设二元函数 z=3x 2 2xy+2y 2 ，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：-2）解析：解析：
11、16.行列式 D 1 = （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1，1）解析：解析：本题考查行列式的计算经计算得 D 1 =(+1)( 一 1) 2 ，D 2 =0若 D 1 =D 2 ，则(+1)( 一 1) 2 =0，于是 =1，或 =1三、解答题(总题数：9，分数：18.00)17.解答题解答时应写出推理、演算步骤。（分数：2.00）_解析：18.已知由方程 x 2 +y 2 =e 确定函数 y=y(x)，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：在 x 2 +y 2 =e 两侧关于 x 求导数，得 2x+2yy=0，y= = )解析：解析：此题是隐函数求导数的题，
12、且同时检查了反函数的导数等于原函数导数的倒数19.计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 t= ，x=t 2 ，dx=2tdt 当 x=4 时，t=2；当 x=9 时，t=3 则有 )解析：解析：本题采用凑微分法即20.计算sin3xdx（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 t=3x，则 dt=3dx )解析：解析：可以利用换元法，也可以利用直接凑微分法求不定积分21.已知 z=cos ，y=e t ，x=t 3 +t，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于 而 因此 进而 )解析：解析：此题可将 x=t 3 +t，y=e t 直接代入 z=cos ，然后利用一
13、元复合函数求导法，即z=cos 22.求过点 M 0 (0，2，4)，且与两个平面 1 ， 2 都平行的直线方程，其中 1 ：x+y2z1=0， 2 ：x+2yz+1=0（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：如果直线 l 平行于 1 ，则平面 1 的法向量 n 1 必定垂直于直线 l 的方向向量 s同理，若直线 l 平行于 2 ，则平面 2 的法向量 n 2 必定满足 n 2 s由向量积的定义可知，取 s=n 1 n 2 = =3i 一 j+k 由于直线 l 过点 M 0 (0，2，4)，由直线的标准方程可知 )解析：解析：本题考查直线方程的求解据题意可求出直线的方向向量，进而求出直线的点
14、向式方程23.求 y2y=2x 的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：y一 2y=2x 为二阶常系数非齐次线性微分方程，与之相对应的齐次线性微分方程为 y一 2y=0， 特征方程为 r 2 一 2r=0 特征根为 r 1 =0，r 2 =2 相应齐次微分方程的通解为 =C 1 +C 2 e 2x 而 =0 为单一特征根，故可设 y * =x(Ax+B)为原方程特解，把(y * )=2Ax+B，(y * )=2A 代入原方程可得 A=B= x(x+1) 故 y=C 1 +C 2 e 2x )解析：解析：本题考查二阶常系数非齐次线性微分方程，求出 y一 2y=0 的通解和 y一 2y=2
15、x 的一个特解即可24.判断级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 u n = ，由于 故有当 1，即 ae 时，该级数收敛；当 )解析：解析：这是一个正项级数，用正项级数比值判别法判定即可25.解线性方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：方程组的系数矩阵与增广矩阵分别为 它们的秩分别为 r(A)=2，r(B)=2，所以方程有无穷多组解因为 )解析：解析：本题考查线性方程组的求解通过对增广矩阵进行初等行变换后，再进行求解即可四、综合题(总题数：2，分数：4.00)26.某工厂要制造一个无盖的圆柱形发酵池，其容积是 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设池底半径为
16、r，池高为 h(如图所示)，则 r 2 h= 又设制造成本为S，则 S=30.r 2 +20.2rh =30.r 2 +20.2r. =30(r 2 + )， S=30(2r 一 ) 令 S=0，得驻点 r=1 因为 S=30(2+ )0， 所以，r=1 为唯一的极小值点，即为最小值点 因此，池底半径为 1 米，高为 )解析：解析：本题考查的知识点是应用导数求实际问题的极值所谓“成本最低”，即求制造成本函数在已知条件下的最小值因此，本题的关键是正确写出制造成本函数的表达式，再利用已知条件将其化为一元函数，并求其极值27.用二重积分计算由曲面 z=x 2 +y 2 和 z= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：已知曲面的极坐标方程分别为 z=r 2 ，z=r， D：0r1，02 )解析：解析：本题考查的知识点是应用二重积分求几何体的体积五、证明题(总题数：1，分数：2.00)28.设函数 f(x)在一 a，a(a0)上连续，证明 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： f(x)dx 对于 f(x)dx，令 x=t，则 所以 )解析：解析：本题利用定积分的性质证明等式成立
