1、河南省专升本考试高等数学真题 2007年及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、单项选择题(总题数：25，分数：50.00)1.集合3，4，5的所有子集个数共为_（分数：2.00）A.5B.6C.7D.82.函数 （分数：2.00）A.0，3B.0，2C.2，3D.1，33.当 x0 时，与 x不等价的无穷小量是_ A.2x B.sinx C.ex-1 D.ln(1+x)（分数：2.00）A.B.C.D.4.x=0是函数 （分数：2.00）A.连续点B.可去间断点C.跳跃间断点D.第二类间断点5.设 f(x)在 x=1处可导，且 f“(1)=1，则 （分数：2.00）A.-1
2、B.-2C.-3D.-46.若函数 f(x)在区间(a，b)内有 f“(x)0，f“(x)0 可导，则在区间(a，b)内，f(x)图形_（分数：2.00）A.单调递减且凸的B.单调递增且凸的C.单调递减且凹的D.单调递增且凹的7.曲线 y=1+x 3 的拐点是_（分数：2.00）A.(0，1)B.(1，0)C.(0，0)D.(1，1)8.曲线 的水平渐近线为_ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.9. A0 B （分数：2.00）A.B.C.D.10.若函数 f(x)是 g(x)的原函数，则下列正确的是_（分数：2.00）A.f(x)dx=g(x)+CB.g(x)dx=f(x)+
3、CC.g“(x)dx=f(x)+CD.f“(x)dx=g(x)+C11.cos(1-3x)dx=_ A B （分数：2.00）A.B.C.D.12.设 （分数：2.00）A.-3B.-1C.1D.313.下列广义积分收敛的是_ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.14.对不定积分 下列结果计算错误的是_ Atanx-cotx+C B （分数：2.00）A.B.C.D.15.函数 y=x 2 在区间-1，3的平均值为_ A B （分数：2.00）A.B.C.D.16.过 Oz轴，且经过点(3，-2，4)的平面方程为_（分数：2.00）A.3x+2y=0B.2y+z=0C.2x+3y
4、=0D.2x+z=017.双曲线 绕 z轴旋转所成曲面方程为_ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.18. A B （分数：2.00）A.B.C.D.19.若 A （分数：2.00）A.B.C.D.20.方程 z 2 y-xz 3 =1确定隐函数 z=f(x，y)，则 A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.21.设 C为抛物线 y=x 2 上从(0，0)到(1，1)的一段弧，则 c 2xydx+x 2 dy=_（分数：2.00）A.-1B.0C.1D.222.下列正项级数收敛的是_ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.23.幂级数 （分数：2.00）A.
5、(-1，1)B.(-3，3)C.(-2，4)D.(-4，2)24.微分方程 y“+3y“+2y=e -x cosx的特解形式应设为 y*=_ A.cexcosx B.e-x(c1cosx+C2sinx) C.xe-x(c1cosx+c2sinx) D.x2e-x(c1cosx+c2sinx)（分数：2.00）A.B.C.D.25.设函数 y=f(x)是微分方程 y“+y“=e 2x 的解，且 f“(x 0 )=0，则 f(x)在 x 0 处_（分数：2.00）A.取极小值B.取极大值C.不取极值D.取最大值二、填空题(总题数：15，分数：30.00)26.设 f(x)=2x+5，则 ff(x)
6、-1= 1. （分数：2.00）27. （分数：2.00）28.若函数 （分数：2.00）29.已知曲线 y=x 2 +x-2上点 M处的切线平行于直线 y=5x-1，则点 M的坐标为 1. （分数：2.00）30.设 f(x)=e 2x-1 ，则 f (2007) (0)= 1 （分数：2.00）31. （分数：2.00）32.若函数 f(x)=ax 2 +bx在 x=1处取得极值 2，则 a= 1，b= 2 （分数：2.00）33. （分数：2.00）34. （分数：2.00）35.向量 a=3i+4j-k的模|a|= 1 （分数：2.00）36.已知平面 1 ：x+2y-5z+7=0 与
7、平面 2 ：4x+3y+mz+13=0 垂直，则 m= 1. （分数：2.00）37.设 f(x+y，xy)=x 2 +y 2 ，则 f(x，y)= 1 （分数：2.00）38.已知 （分数：2.00）39.若级数 收敛，则级数 （分数：2.00）40.微分方程 y“-2y“+y=0的通解为 1 （分数：2.00）三、判断是非题(总题数：5，分数：10.00)41.数列x n 是单调的，则x n 必收敛 （分数：2.00）A.正确B.错误42.若函数 f(x)在区间a，b上连续，在(a，b)内可导，且 f(a)f(b)，则一定不存在 (a，b)，使得 f“()=0 （分数：2.00）A.正确B
8、.错误43. （分数：2.00）A.正确B.错误44. （分数：2.00）A.正确B.错误45.函数 f(x，y)在点 P(x，y)处可微，是函数 f(x，y)在点 P(x，y)处连续的充分条件 （分数：2.00）A.正确B.错误四、计算题(总题数：8，分数：40.00)46. （分数：5.00）_47.求函数 （分数：5.00）_48.求不定积分e 2x +ln(1+x)dx （分数：5.00）_49.计算定积分 （分数：5.00）_50.设 z=f(e x siny，3x 2 y)，且 f(u，v)为可微函数，求 dz （分数：5.00）_51.计算 （分数：5.00）_52.将 （分数：
9、5.00）_53.求微分方程 x 2 dy+(y-2xy-x 2 )dx=0的通解 （分数：5.00）_五、应用题(总题数：2，分数：14.00)54.某工厂欲建造一个无盖的长方体污水处理池，设计该池容积为 V立方米，底面造价每平方米 a元，侧面造价每平方米 b元，问长、宽、高各为多少米时，才能使污水处理池的造价最低? （分数：7.00）_55.设平面图形 D由曲线 y=e x ，直线 y=e及 y轴所围成的，求： （分数：7.00）_六、证明题(总题数：1，分数：6.00)56.若 f“(x)在a，b上连续，则存在两个常数 m，M，对于满足 ax 1 x 2 b 的任意两，点 x 1 ，x
10、2 ，证明恒有 m(x 2 -x 1 )f(x 2 )-f(x 1 )M(x 2 -x 1 ) （分数：6.00）_河南省专升本考试高等数学真题 2007年答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、单项选择题(总题数：25，分数：50.00)1.集合3，4，5的所有子集个数共为_（分数：2.00）A.5B.6C.7D.8 解析：解析 因 n元集合的子集个数为 2 n 个，所以已知集合的子集个数为：2 3 =8(个)2.函数 （分数：2.00）A.0，3B.0，2 C.2，3D.1，3解析：解析 要使 arcsin(x-1)有意义，须使|x-1|1，求解得：0x2；要使3.当 x0
11、 时，与 x不等价的无穷小量是_ A.2x B.sinx C.ex-1 D.ln(1+x)（分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析 根据常用的等价关系知：x0 时，xsinx，xe x -1，xln(x+1)，故 2x与 x在 x0时不等价4.x=0是函数 （分数：2.00）A.连续点B.可去间断点C.跳跃间断点 D.第二类间断点解析：解析 首先，因 x=0时，函数 无定义，所以 x=0为 f(x)的一个间断点，不是连续点 又 5.设 f(x)在 x=1处可导，且 f“(1)=1，则 （分数：2.00）A.-1B.-2C.-3 D.-4解析：解析 6.若函数 f(x)在区间(a，b)内有
12、 f“(x)0，f“(x)0 可导，则在区间(a，b)内，f(x)图形_（分数：2.00）A.单调递减且凸的B.单调递增且凸的 C.单调递减且凹的D.单调递增且凹的解析：解析 单调增加，7.曲线 y=1+x 3 的拐点是_（分数：2.00）A.(0，1) B.(1，0)C.(0，0)D.(1，1)解析：解析 8.曲线 的水平渐近线为_ A B C D （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 9. A0 B （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 10.若函数 f(x)是 g(x)的原函数，则下列正确的是_（分数：2.00）A.f(x)dx=g(x)+CB.g(x)dx=f(x)
13、+C C.g“(x)dx=f(x)+CD.f“(x)dx=g(x)+C解析：解析 根据不定积分与原函数的关系知g(x)dx=f(x)+C11.cos(1-3x)dx=_ A B （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析 12.设 （分数：2.00）A.-3B.-1C.1D.3 解析：解析 y“=(x-1)(x-3)13.下列广义积分收敛的是_ A B C D （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 由 p积分的敛散性知14.对不定积分 下列结果计算错误的是_ Atanx-cotx+C B （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 对各项求导，分析结果，就能知道选择 C15.
14、函数 y=x 2 在区间-1，3的平均值为_ A B （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 16.过 Oz轴，且经过点(3，-2，4)的平面方程为_（分数：2.00）A.3x+2y=0B.2y+z=0C.2x+3y=0 D.2x+z=0解析：解析 经过 Oz轴的平面可设为 Ax+By=0，把点(3，-2，4)代入得 2x+3y=017.双曲线 绕 z轴旋转所成曲面方程为_ A B C D （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析 把18. A B （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 19.若 A （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 20.方程 z 2 y
15、-xz 3 =1确定隐函数 z=f(x，y)，则 A B C D （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析 21.设 C为抛物线 y=x 2 上从(0，0)到(1，1)的一段弧，则 c 2xydx+x 2 dy=_（分数：2.00）A.-1B.0C.1 D.2解析：解析 22.下列正项级数收敛的是_ A B C D （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 发散， 收敛，由积分判别法知 B发散，C 收敛；其余几个级数均与级数23.幂级数 （分数：2.00）A.(-1，1)B.(-3，3)C.(-2，4)D.(-4，2) 解析：解析 令 x+1=t，级数化为 收敛区间为(-3，3)，
16、即 x+1(-3，3)24.微分方程 y“+3y“+2y=e -x cosx的特解形式应设为 y*=_ A.cexcosx B.e-x(c1cosx+C2sinx) C.xe-x(c1cosx+c2sinx) D.x2e-x(c1cosx+c2sinx)（分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 -1+i 不是特征方程的特征根，特解应设为 y*=e -x (c 1 coax+c 2 sinx)25.设函数 y=f(x)是微分方程 y“+y“=e 2x 的解，且 f“(x 0 )=0，则 f(x)在 x 0 处_（分数：2.00）A.取极小值 B.取极大值C.不取极值D.取最大值解析：解析
17、f“(x 0 )+f“(x 0 )=e 2x0 二、填空题(总题数：15，分数：30.00)26.设 f(x)=2x+5，则 ff(x)-1= 1. （分数：2.00）解析：4x+13解析 ff(x)-1=2f(x)-1+5=2f(x)+3=2(2x+5)+3=4x+1327. （分数：2.00）解析：0解析 构造级数 利用比值判别法知它是收敛的，根据收敛级数的必要条件可得28.若函数 （分数：2.00）解析：6解析 29.已知曲线 y=x 2 +x-2上点 M处的切线平行于直线 y=5x-1，则点 M的坐标为 1. （分数：2.00）解析：(2，4)解析 30.设 f(x)=e 2x-1 ，
18、则 f (2007) (0)= 1 （分数：2.00）解析：2 2007 e -1 解析 31. （分数：2.00）解析：1解析 32.若函数 f(x)=ax 2 +bx在 x=1处取得极值 2，则 a= 1，b= 2 （分数：2.00）解析：-2；4解析 33. （分数：2.00）解析：ln|f(x)|+C解析 34. （分数：2.00）解析：解析 35.向量 a=3i+4j-k的模|a|= 1 （分数：2.00）解析：解析 36.已知平面 1 ：x+2y-5z+7=0 与平面 2 ：4x+3y+mz+13=0 垂直，则 m= 1. （分数：2.00）解析：2解析 37.设 f(x+y，xy
19、)=x 2 +y 2 ，则 f(x，y)= 1 （分数：2.00）解析：x 2 -2y 解析 38.已知 （分数：2.00）解析： 解析 所以次序交换后为 39.若级数 收敛，则级数 （分数：2.00）解析： 解析 40.微分方程 y“-2y“+y=0的通解为 1 （分数：2.00）解析：y=C 1 e x +C 2 xe x (C 1 ，C 2 为任意常数) 解析 有二重特征根 1，故通解为 y=C 1 e x +C 2 xe 2 (C 1 ，C 2 为任意常数)三、判断是非题(总题数：5，分数：10.00)41.数列x n 是单调的，则x n 必收敛 （分数：2.00）A.正确B.错误 解
20、析：解析 如数列n单调，但发散，应为错误命题42.若函数 f(x)在区间a，b上连续，在(a，b)内可导，且 f(a)f(b)，则一定不存在 (a，b)，使得 f“()=0 （分数：2.00）A.正确B.错误 解析：解析 如 f(x)=x 2 在-1，3满足上述条件，但存在 -1，3，使得 f“()=043. （分数：2.00）A.正确B.错误 解析：解析 第二步不满足 ，是错误的，事实上44. （分数：2.00）A.正确 B.错误解析：解析 令 x(0，ln2)；所以，x0，ln2时，f(0)f(x)f(ln2)，即 于是，由定积分保序性知：45.函数 f(x，y)在点 P(x，y)处可微，
21、是函数 f(x，y)在点 P(x，y)处连续的充分条件 （分数：2.00）A.正确 B.错误解析：解析 f(x，y)在点 P(x，y)处可微可得 f(x，y)在点 P(x，y)处连续，反之不成立四、计算题(总题数：8，分数：40.00)46. （分数：5.00）_正确答案：()解析：解析 47.求函数 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解析 两边取自然对数得 两边对 x求导得： 48.求不定积分e 2x +ln(1+x)dx （分数：5.00）_正确答案：()解析：解析 49.计算定积分 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解析 因 2+2cos2x=2(1+cox2x)=4cos
22、2 x，所以 50.设 z=f(e x siny，3x 2 y)，且 f(u，v)为可微函数，求 dz （分数：5.00）_正确答案：()解析：解析 令 e x siny=u，3x 2 y=v，有 z=f(u，v)，利用微分的不变性得 dz=f u (n，v)du+f v (u，v)dv=f u d(e x siny)+f v d(3x 2 y) =f u (e x sinydx+e x cosydy)+f v (6xydx+3x 2 dy) =(e x sinyf u +6xyf v )dx+(e x cosyf u +3x 2 f u )dy51.计算 （分数：5.00）_正确答案：()解
23、析：解析 积分区域 D如图所示， D的边界 x 2 +y 2 =1，x 2 +y 2 =4用极坐标表示分别为 r=1，r=2；故积分区域 D在极坐标系下为： (r，)|02，1r2， 52.将 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解析 53.求微分方程 x 2 dy+(y-2xy-x 2 )dx=0的通解 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解析 方程可化为 ，这是一阶线性非齐次微分方程，它对应的齐次方程 的通解为设原方程有通解 ，代入方程得 故所求方程的通解为五、应用题(总题数：2，分数：14.00)54.某工厂欲建造一个无盖的长方体污水处理池，设计该池容积为 V立方米，底面造价每平
24、方米 a元，侧面造价每平方米 b元，问长、宽、高各为多少米时，才能使污水处理池的造价最低? （分数：7.00）_正确答案：()解析：解析 设长方体的长、宽分别为 x，y，则高为 ，又设造价为 z，由题意可得 而 令 得唯一驻点 由题可知造价一定在内部存在最小值，故 就是使造价最小的取值，此时高为 所以，排污无盖的长方体的长、宽、高分别为 55.设平面图形 D由曲线 y=e x ，直线 y=e及 y轴所围成的，求： （分数：7.00）_正确答案：()解析：解析 平面图形 D如图所示： 取 x为积分变量，且 x0，1， (1)平面图形 D的面积为 (2)平面图形 D绕 y轴旋转一周所生成旋转体的体
25、积为 六、证明题(总题数：1，分数：6.00)56.若 f“(x)在a，b上连续，则存在两个常数 m，M，对于满足 ax 1 x 2 b 的任意两，点 x 1 ，x 2 ，证明恒有 m(x 2 -x 1 )f(x 2 )-f(x 1 )M(x 2 -x 1 ) （分数：6.00）_正确答案：()解析：证明 因 f“(x)在a，b上连续，根据连续函数在闭区间上最值定理知，f“(x)在a，b上既有最大值又有最小值，取 m，M 分别是最小值和最大值，则 x(a，b)时有 mf“(x)M 又因 f“(x)在x 1 ，x 2 有意义，从而 f(x)在x 1 ，x 2 上连续且可导，即 f(x)在x 1 ，x 2 上，满足拉格朗日中值定理的条件，故存在 (x 1 ，x 2 )使得
