1、贵州省专升本考试高等数学模拟 3 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、单项选择题(总题数：30，分数：60.00)1.下列各对函数中相同的是_ A By=lnx 2 与 y=2lnx Cy=(|x|-x)(|-x|+x)与 y=0 D （分数：2.00）A.B.C.D.2.若 f(x)(xR)为奇函数，则下列函数一定为偶函数的是_ Af(x)-f(-x) Bff(x) Cf(x)+f(-x)=1 D （分数：2.00）A.B.C.D.3.下列各式成立的是_ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.4.x=0 是函数 （分数：2.00）A.连续点B.可去间断点C.
2、跳跃间断点D.第二类间断点5.当 x0 时与 e -tanx -1 比较是同阶而非等价无穷小为_ A-sinx Bx 2 C （分数：2.00）A.B.C.D.6.下列方程在区间(0，1)内至少有一个实根的为_ A.x3+5x2-2=0 B.ex-1=0 C.x-lnx=0 D.x2+1-arctanx=0（分数：2.00）A.B.C.D.7.已知函数 f(x)可导，且 ，则曲线 y=f(x)在点(1，f(1)处的切线斜率为_ A B （分数：2.00）A.B.C.D.8.函数 f(x)具有 2015 阶导数，且 ，则 f (2015) (x)=_ A B C D （分数：2.00）A.B.C
3、.D.9.若 f(x)是可导的偶函数，则 f“(x)一定是_（分数：2.00）A.奇函数B.偶函数C.非奇非偶函数D.不能确定10.曲线 （分数：2.00）A.0 条B.1 条C.2 条D.3 条11.设函数 f(x)在a，b上连续，且 f(a)=f(b)，但 f(x)不恒为常数，则在(a，b)内_（分数：2.00）A.必有最大值或最小值B.既有最大值又有最小值C.既有极大值又有极小值D.至少存在一点 ，使 f“()=012.设参数方程 _ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.13.设 （分数：2.00）A.B.C.D.14.函数 （分数：2.00）A.一个极值点B.二个极值点C
4、.三个极值点D.0 个极值点15.若 f(x)=e -x ，则 _ A B （分数：2.00）A.B.C.D.16.设 f(x)在(0，+)上连续，且 ，则 f“(1)=_ A-2ln2 B2ln2 C-ln(3x 2 +1) D （分数：2.00）A.B.C.D.17.设 f(x)在0，2上连续，令 t=2x，则 _ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.18.下列广义积分中收敛的是_ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.19.已知|a|=1，|b|=5，ab=5，则|a+b|=_（分数：2.00）A.36B.25C.6D.2620.平面 x+ky-2z=9 与平面
5、-2x+4y+4z=1 平行，则 k=_ A1 B2 C-2 D （分数：2.00）A.B.C.D.21.直线 （分数：2.00）A.平行B.垂直C.既不平行又不垂直D.直线在平面内22.设 f(x，y)在点(a，b)处偏导数存在，则有 （分数：2.00）A.0B.fx(2a，b)C.fx(a，b)D.2fx(a，b)23.函数 （分数：2.00）A.(0，0)B.0C.(0，0，1)D.(1，0)24.设 D=(x，y)|-1x1，-2y2，则 （分数：2.00）A.-1B.0C.2D.125.若曲线 L 是上半圆 x 2 +y 2 =a 2 (y0)，取顺时针方向，则 _ A0 B Ca
6、2 D （分数：2.00）A.B.C.D.26.设 ，更换积分次序后，I=_ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.27.设级数 收敛，则下列级数一定收敛的是_ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.28.下列级数绝对收敛的是_ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.29.微分方程 （分数：2.00）A.B.C.D.30.微分方程 y“+y=cosx 的特解可设为_ A.y*=acosx+bsinx B.y*=axcosx C.y*=x2(acosx+bsinx) D.y*=x(acosx+bsinx)（分数：2.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：1
7、0，分数：20.00)31.设 f(x)=1-2x， （分数：2.00）32. （分数：2.00）33. （分数：2.00）34.函数 y=x 3 -27x+2 在0，1上的最大值为 1. （分数：2.00）35.若 （分数：2.00）36.点 M(3，2，-1)到平面 x+y+z-1=0 的距离为 1. （分数：2.00）37.设方程 e z =xyz 确定隐函数 z=x(y，z)， （分数：2.00）38. （分数：2.00）39.设 s n 是级数 的前 n 项和，则 （分数：2.00）40.微分方程 （分数：2.00）三、计算题(总题数：10，分数：50.00)41.求极限 （分数：5
8、.00）_42.设函数 y=(x 2 -3x) cos2x ，求 （分数：5.00）_43.计算不定积分 （分数：5.00）_44.设 （分数：5.00）_45.设 z=z(x，y)是由方程 x 2 z+2y 2 z 2 +y=0 确定，求 dz. （分数：5.00）_46.计算二次积分 （分数：5.00）_47.求曲面 （分数：5.00）_48.求过直线 （分数：5.00）_49.把函数 f(x)=ln(2-x)展开成 x 的幂级数，并写出收敛域. （分数：5.00）_50.求微分方程 （分数：5.00）_四、应用题(总题数：2，分数：14.00)51.某公司的甲、乙两厂生产同一种产品，月产
9、量分别为 x，y，(千件)，甲厂的月生产成本是 C 1 =x 2 -2x+5(千元)，乙厂的生产成本是 C 2 =y 2 +2y+3(千元)，若要求该产品每月总产量为 8 千件，并使总成本最小，求甲、乙两厂的最优产量和相应的最小成本. （分数：7.00）_52.求几何体 x 2 +y 2 +4z 2 4 的体积. （分数：7.00）_五、证明题(总题数：1，分数：6.00)53.设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，且 f“(x)0， （分数：6.00）_贵州省专升本考试高等数学模拟 3 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、单项选择题(总题数：30，分数：60.0
10、0)1.下列各对函数中相同的是_ A By=lnx 2 与 y=2lnx Cy=(|x|-x)(|-x|+x)与 y=0 D （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 从定义域与对应法则两个方面验证，只有 C 是完全相同的，故应选 C.2.若 f(x)(xR)为奇函数，则下列函数一定为偶函数的是_ Af(x)-f(-x) Bff(x) Cf(x)+f(-x)=1 D （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 设 F(x)=f(x)+f(-x)， 则 F(-x)f(-x)+f(x)=-f(x)+f(x)0， 所以 F(x)=f(x)+f(-x)为偶函数，故应选 C.3.下列各式成立的
11、是_ A B C D （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 因为 故应选 B. 而 4.x=0 是函数 （分数：2.00）A.连续点B.可去间断点 C.跳跃间断点D.第二类间断点解析：解析 因为 ，所以 x=0 是5.当 x0 时与 e -tanx -1 比较是同阶而非等价无穷小为_ A-sinx Bx 2 C （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 e -tanx -1-tanx-x，故应选 C.6.下列方程在区间(0，1)内至少有一个实根的为_ A.x3+5x2-2=0 B.ex-1=0 C.x-lnx=0 D.x2+1-arctanx=0（分数：2.00）A. B.C.
12、D.解析：解析 利用零点定理进行验证. 对于 A，令 f(x)=x 3 +5x 2 -2，f(0)=-2，f(1)=4， 所以方程 x 3 +5x 2 -2=0 在(0，1)内至少一个根，故应选 A.7.已知函数 f(x)可导，且 ，则曲线 y=f(x)在点(1，f(1)处的切线斜率为_ A B （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 因为 所以 8.函数 f(x)具有 2015 阶导数，且 ，则 f (2015) (x)=_ A B C D （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 因为 ，所以 ，故应选 C.9.若 f(x)是可导的偶函数，则 f“(x)一定是_（分数：2.0
13、0）A.奇函数 B.偶函数C.非奇非偶函数D.不能确定解析：解析 因为 f(-x)=f(x)，两边对 x 求导得-f“(-x)=f“(x)即 f(-x)=f“(x)， 所以 f“(x)为奇函数，故应选 A.10.曲线 （分数：2.00）A.0 条B.1 条 C.2 条D.3 条解析：解析 因为 11.设函数 f(x)在a，b上连续，且 f(a)=f(b)，但 f(x)不恒为常数，则在(a，b)内_（分数：2.00）A.必有最大值或最小值 B.既有最大值又有最小值C.既有极大值又有极小值D.至少存在一点 ，使 f“()=0解析：解析 由连续函数在闭区间的最值定理知：在a，b上一定有最大值和最小值
14、，但 f(a)=f(b)，所以至少有一个最值在(a，b)内部取得，故应选 A.12.设参数方程 _ A B C D （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 ，故应选 C.13.设 （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 14.函数 （分数：2.00）A.一个极值点 B.二个极值点C.三个极值点D.0 个极值点解析：解析 15.若 f(x)=e -x ，则 _ A B （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 f“(x)=-e -x ， 16.设 f(x)在(0，+)上连续，且 ，则 f“(1)=_ A-2ln2 B2ln2 C-ln(3x 2 +1) D （分数：2.00
15、）A. B.C.D.解析：解析 由于 17.设 f(x)在0，2上连续，令 t=2x，则 _ A B C D （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 18.下列广义积分中收敛的是_ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 根据 p 广义积分 敛散性结论：p1 发散，p1 时收敛，知前三个广义积分都发散，只有第四个积分收敛，事实上，19.已知|a|=1，|b|=5，ab=5，则|a+b|=_（分数：2.00）A.36B.25C.6 D.26解析：解析 |a+b|= 2 =(a+b)(a+b)=|a| 2 +2ab+|b| 2 =1 2 +25+5 2 =36，所以
16、|a+b|=6，故应选 C.20.平面 x+ky-2z=9 与平面-2x+4y+4z=1 平行，则 k=_ A1 B2 C-2 D （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 因为 n 1 =1，k，-2，n 2 =-2，4，4，n 1 /n 2 ，即有 21.直线 （分数：2.00）A.平行B.垂直C.既不平行又不垂直D.直线在平面内 解析：解析 n=1，2，-1，s=3，-1，1，ns=0 又因为点(1，-1，2)代入方程 x+2y-z+3=0 成立，故应选 D.22.设 f(x，y)在点(a，b)处偏导数存在，则有 （分数：2.00）A.0B.fx(2a，b)C.fx(a，b)D.2
17、fx(a，b) 解析：解析 23.函数 （分数：2.00）A.(0，0) B.0C.(0，0，1)D.(1，0)解析：解析 由函数的特点知 f(x，y)的极大值点为(0，0)，故应选 A.24.设 D=(x，y)|-1x1，-2y2，则 （分数：2.00）A.-1B.0 C.2D.1解析：解析 因为 ，而积分区域 D 既关于 x 轴，又关于 y 轴对称，所以 ，因此25.若曲线 L 是上半圆 x 2 +y 2 =a 2 (y0)，取顺时针方向，则 _ A0 B Ca 2 D （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 曲线 L 的参数方程为 t:0，所以26.设 ，更换积分次序后，I=_
18、A B C D （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 积分区域 D=(x，y)|0y2，y 2 x2y， 又可表示为 所以交换积分次序 27.设级数 收敛，则下列级数一定收敛的是_ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 级数 不一定收敛，可以举例说明，级数 (u n +1)一定发散， 就是收敛级数 相邻两项加括号后的级数，由收敛级数的性质知 28.下列级数绝对收敛的是_ A B C D （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析 因为 是 的收敛级数，所以级数29.微分方程 （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析 对本题可采用验证排除法，首先 B
19、 与 C 选项中含任意常数 C，不正确，其次对 D 项两边求微分与方程不符合，也错误，故应选 A.30.微分方程 y“+y=cosx 的特解可设为_ A.y*=acosx+bsinx B.y*=axcosx C.y*=x2(acosx+bsinx) D.y*=x(acosx+bsinx)（分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 因为 f(x)=e 0x cosx 中 +iw=i 是对应齐次方程 y“+y=0 的特征根，因此特解可设为 y * =xe 0x (acosx+bsinx)即 y * =x(acosx+bsinx)，故应选 D.二、填空题(总题数：10，分数：20.00)31.设
20、 f(x)=1-2x， （分数：2.00）解析：3解析 设 1-2x=t 则 所以32. （分数：2.00）解析：解析 33. （分数：2.00）解析：2xg(x 2 ) 解析 34.函数 y=x 3 -27x+2 在0，1上的最大值为 1. （分数：2.00）解析：2 解析 因为 f“(x)=3x 2 -27，当 0x1 时 f“(x)0 所以 f(x)在0，1上单调减少，最大值为 f(0)=2.35.若 （分数：2.00）解析： 解析 由 得 所以 36.点 M(3，2，-1)到平面 x+y+z-1=0 的距离为 1. （分数：2.00）解析：解析 37.设方程 e z =xyz 确定隐函
21、数 z=x(y，z)， （分数：2.00）解析： 解析 设 F(x，y，z)=e z -xyz， 则 F x =-yz，F z =e z -xy， 38. （分数：2.00）解析： 解析 积分区域 D 表示为 ， 所以 39.设 s n 是级数 的前 n 项和，则 （分数：2.00）解析：解析 40.微分方程 （分数：2.00）解析： 解析 由 ，得 两边积分，得 即 三、计算题(总题数：10，分数：50.00)41.求极限 （分数：5.00）_正确答案：()解析：42.设函数 y=(x 2 -3x) cos2x ，求 （分数：5.00）_正确答案：()解析：两边同取自然对数，得 lny=co
22、s2xln(x 2 -3x)， 两边同对 x 求导，得 所以 43.计算不定积分 （分数：5.00）_正确答案：()解析：44.设 （分数：5.00）_正确答案：()解析：被积函数为分段函数，运用分段积分法45.设 z=z(x，y)是由方程 x 2 z+2y 2 z 2 +y=0 确定，求 dz. （分数：5.00）_正确答案：()解析：方程两边微分得 d(x 2 z)+2d(y 2 z 2 )+dy=0， 即 2xzdx+x 2 dz+4yz 2 dy+4zy 2 dz+dy=0， 所以(x 2 +4zy 2 )dz=-2xzdx-(4yz 2 +1)dy， 即 46.计算二次积分 （分数：
23、5.00）_正确答案：()解析：由 可知，积分区域 D=(x，y)|0y1，yx1， =(x，y)|0x1，0yx， 所以 47.求曲面 （分数：5.00）_正确答案：()解析：设 F x =x，F y =y，F z =-2z，n=1，1，0， 所以切平面方程为 1(x-1)+1(y-1)+0(x-0)=0， 即 x+y-2=0， 法线方程为 48.求过直线 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解方程组 得直线与平面的交点为(3，-3，5)， 又 s=n=1，1，-3， 所以所求直线的方程为 49.把函数 f(x)=ln(2-x)展开成 x 的幂级数，并写出收敛域. （分数：5.00）_正
24、确答案：()解析：因为 又 (-1x1)， 所以 f(x)展开成 x 的幂级数为 50.求微分方程 （分数：5.00）_正确答案：()解析：原方程化为 y“+2xy=xe -x2 ， 所求方程的通解为 四、应用题(总题数：2，分数：14.00)51.某公司的甲、乙两厂生产同一种产品，月产量分别为 x，y，(千件)，甲厂的月生产成本是 C 1 =x 2 -2x+5(千元)，乙厂的生产成本是 C 2 =y 2 +2y+3(千元)，若要求该产品每月总产量为 8 千件，并使总成本最小，求甲、乙两厂的最优产量和相应的最小成本. （分数：7.00）_正确答案：()解析：总成本为 z=f(x，y)=x 2 +y 2 -2x+2y+8， 满足条件 x+y=8， 作拉格朗日函数 L=x 2 +y 2 -2x+2y+8+(x+y-8)， 52.求几何体 x 2 +y 2 +4z 2 4 的体积. （分数：7.00）_正确答案：()解析：设 D=(x，y)|x 2 +y 2 4，则几何体可看作以 D 为底， 以 为曲顶的曲顶柱体积的两倍. 所以所求几何体的体积为 五、证明题(总题数：1，分数：6.00)53.设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，且 f“(x)0， （分数：6.00）_正确答案：()解析：【证明】 因为 f(x)在a，b上连续，所以 在(a，b)内可导.
