1、2016年湖南省常德市中考真题数学 一、选择题 (本大题 8 个小题，每小题 3分，满分 24分 ) 1. 4的平方根是 ( ) A.2 B.-2 C. 2 D. 2 解析： 4的平方根是： 42 . 答案： D. 2.下面实数比较大小正确的是 ( ) A.3 7 B. 32 C.0 -2 D.22 3 解析：根据实数比较大小的法则对各选项进行逐一分析即可 . A、 3 7，故本选项错误； B、 3 1.7， 2 1.4， 32 ，故本选项正确； C、 0 -2，故本选项错误； D、 22 3，故本选项错误 . 答案： B. 3.如图，已知直线 a b， 1=100，则 2等于 ( ) A.8
2、0 B.60 C.100 D.70 解析：如图， 1与 3是对顶角， 3= 1=100， a b， 2=180 - 3=180 -100 =80 . 答案： A. 4.如图是由 6个相同的小正方体搭成的几何体，那么这个几何体的俯视图是 ( ) A. B. C. D. 解析：从上面看易得上面第一层中间有 1个正方形，第二层有 3 个正方形 .下面一层左边有1个正方形，即 . 答案： A. 5.下列说法正确的是 ( ) A.袋中有形状、大小、质地完全一样的 5个红球和 1个白球，从中随机抽出一个球，一定是红球 B.天气预报“明天降水概率 10%”，是指明天有 10%的时间会下雨 C.某地发行一种福
3、利彩票，中奖率是千分之一，那么，买这种彩票 1000张，一定会中奖 D.连续掷一枚均匀硬币，若 5次都是正面朝上，则第六次仍然可能正面朝上 解析：根据概率的意义对各选项进行逐一分析即可 . A、袋中有形状、大小、质地完全一样的 5个红球和 1 个白球，从中随机抽出一个球，一定是红球的概率是 56，故本选项错误 ； B、天气预报“明天降水概率 10%”，是指明天有 10%的概率会下雨，故本选项错误； C、某地发行一种福利彩票，中奖率是千分之一，那么，买这种彩票 1000 张，可能会中奖，故本选项错误； D、连续掷一枚均匀硬币，若 5 次都是正面朝上，则第六次仍然可能正面朝上，故本选项正确 . 答
4、案： D. 6.若 -x3ya与 xby是同类项，则 a+b的值为 ( ) A.2 B.3 C.4 D.5 解析： -x3ya与 xby是同类项， a=1， b=3， 则 a+b=1+3=4. 答案： C. 7.二次函数 y=ax2+bx+c(a 0)的图象如图所示，下列结论： b 0； c 0； a+c b；b2-4ac 0，其中正确的个数是 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析：二次函数的开口向下，与 y轴的交点在 y轴的正半轴， a 0， c 0，故正确； 02ba 1， b 0，故错误； 当 x=-1时， y=a-b+c 0， a+c b，故正确； 二次函数与 x轴有两个交点，
5、 =b2-4ac 0，故正确 正确的有 3个 . 答案： C. 8.某气象台发现：在某段时间里，如果早晨下雨，那么晚上是晴天；如果晚上下雨，那么早晨是晴天，已知这段时间有 9天下了雨，并且有 6天晚上是晴天， 7天早晨是晴天，则这一段时间有 ( ) A.9天 B.11天 C.13天 D.22天 解析：设有 x天早晨下雨，这一段时间有 y天， 根据题意得： 796yx +得： 2y=22 y=11 所以一共有 11天 . 答案： B. 二、填空题 (本大题 8 个小题，每小题 3分，满分 24分 ) 9.使代数式 26x 有意义的 x的取值范围是 . 解析：代数式 26x 有意义， 2x-6 0
6、， 解得： x 3. 答案 ： x 3. 10.计算： a2 a3= . 解析：根据同底数的幂的乘法，底数不变，指数相加，计算即可 . a2 a3=a2+3=a5. 答案： a5. 11.如图， OP 为 AOB 的平分线， PC OB于点 C，且 PC=3，点 P到 OA 的距离为 . 解析：如图，过 P作 PD OA于 D， OP为 AOB的平分线， PC OB， PD=PC， PC=3， PD=3. 答案： 3. 12.已知反比例函数 kyx的图象在每一个象限内 y 随 x 的增大而增大，请写一个符合条件的反比例函数解析式 . 解析：反比例函数 kyx的图象在每一个象限内 y随 x的增大
7、而增大， k 0. 答案：反比例函数解析式可以是 1yx(符合题意即可 ). 13.张朋将连续 10 天引体向上的测试成绩 (单位：个 )记录如下： 16， 18， 18， 16， 19， 19，18， 21， 18， 21.则这组数据的中位数是 . 解析：先对这组数据按从小到大的顺序重新排序： 16， 16， 18， 18， 18， 18， 19， 19， 21，21. 位于最中间的两个数都是 18， 所以这组数据的中位数是 18. 答案： 18. 14.如图， ABC是 O 的内接正三角形， O的半径为 3，则图中阴影部分的面积是 . 解析： ABC是等边三角形， C=60， 根据圆周角定
8、理可得 AOB=2 C=120， 阴影部分的面积是 2120 3 3360 . 答案： 3 . 15.如图，把平行四边形 ABCD 折叠，使点 C 与点 A 重合，这时点 D 落在 D1，折痕为 EF，若 BAE=55，则 D1AD= . 解析：四边形 ABCD 是平行四边形， BAD= C， 由折叠的性质得： D1AE= C， D1AE= BAD， D1AD= BAE=55 . 答案： 55 . 16.平面直角坐标系中有两点 M(a， b)， N(c， d)，规定 (a， b) (c， d)=(a+c， b+d)，则称点 Q(a+c， b+d)为 M， N的“和点” .若以坐标原点 O与任意
9、两点及它们的“和点”为顶点能构成四边形，则称这个四边形为“和点四边形”，现有点 A(2， 5)， B(-1， 3)，若以 O， A， B，C四点为顶点的四边形是“和点四边形”，则点 C的坐标是 . 解析：以 O， A， B， C四点为顶点的四边形是“和点四边形” 点 C的坐标为 (2-1， 5+3)，即 C(1， 8) 答案： (1， 8) 三、 (本大题 2个小题，每小题 5分，满分 10分 ) 17.计算： 24016 11 2 ( 5 )02s i n . 解析：根据实数的运算顺序，首先计算乘方、开方和乘法，然后从左向右依次计算，求出算式 24016 11 2 ( 5 )02s i n
10、的值是多少即可 . 答案 ： 216 11 2 ( 5 )02s i n 331 2 4 12 =-1+3+3 =5. 18.解不等式组，并把解集在是数轴上表示出来 . 2 1 05 132xxx 解析：分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分确定出不等式组的解集，表示在数轴上即可 . 答案： 2 1 05132xxx ， 由得： 12x， 由得： x 4， 不等式组的解集为 412 x. 四、 (本大题 2个小题，每小题 6分，满分 12分 ) 19.先化简，再求值： 22213 11 1 1x x x xx x x ，其中 x=2. 解析：先算括号里面的，再算除法，最后把 x的
11、值代入进行计算即可 . 答案： 原式 21 1 3 11 1 1 1 1xx x x xx x x x x 2221 3 1111 2 111111 111x x x xxxx x xxxxxx xx . 当 x=2时，原式 112 1 3. 20.如图，直线 AB与坐标轴分别交于 A(-2， 0)， B(0， 1)两点，与反比例函数的图象在第一象限交于点 C(4， n)，求一次函数和反比例函数的解析式 . 解析：设一次函数的解析式为 y=kx+b，把 A(-2， 0)， B(0， 1)代入得出方程组，解方程组即可；求出点 C 的坐标，设反比例函数的解析式为 myx，把 C(4， 3)代入 m
12、yx求出 m 即可 . 答案：设一次函数的解析式为 y=kx+b， 把 A(-2， 0)， B(0， 1)代入得： 201kbb， 解得：112kb， 一次函数的解析式为2 11yx； 设反比例函数的解析式为 myx， 把 C(4， n)代入得： n=3， C(4， 3)， 把 C(4， 3)代入 myx得： m=3 4=12， 反比例函数的解析式为 12yx. 五、 (本大题 2个小题，每小题 7分，满分 14分 ) 21.某服装店用 4500元购进一批衬衫，很快售完，服装店老板又用 2100元购进第二批该款式的衬衫，进货量是第一次的一半，但进价每件比第一批降低了 10 元 . (1)这两次
13、各购进这种衬衫多少件？ 解析： (1)设第一批 T 恤衫每件进价是 x 元，则第二批每件进价是 (x-10)元，再根据等量关系：第二批进的件数 =12第一批进的件数可得方程 . 答案： (1)设第一批 T恤衫每件进价是 x元，则第二批每件进价是 (x-10)元，根据题意可得：4 5 0 0 2 1 0 012 10xx ， 解得： x=150， 经检验 x=150是原方程的解， 答：第一批 T恤衫每件进价是 150元，第二批每件进价是 140元， 4500 30150 (件 )， 210015140(件 )， 答：第一批 T恤衫进了 30件，第二批进了 15件 . (2)若第一批衬衫的售价是
14、200元 /件，老板想让这两批衬衫售完后的总利润不低于 1950元，则第二批衬衫每件至少要售多少元？ 解析： (2)设第二批衬衫每件售价 y 元，由利润 =售价 -进价，根据这两批衬衫售完后的总利润不低于 1950元，可列不等式求解 . 答案： (2)设第二批衬衫每件售价 y元，根据题意可得： 30 (200-150)+15(y-140) 1950， 解得： y 170， 答：第二批衬衫每件至少要售 170元 . 22.南海是我国的南大门，如图所示，某天我国一艘海监执法船在南海海域正在进行常态化巡航，在 A处测得北偏东 30方向上，距离为 20 海里的 B处有一艘不明身份的船只正在向正东方向航
15、行，便迅速沿北偏东 75的方向前往监视巡查，经过一段时间后，在 C 处成功拦截不明船只，问我海监执法船在前往监视巡查的过程中行驶了多少海里 (最后结果保留整数 )？ (参考数据： cos75 =0.2588， sin75 =0.9659， tan75 =3.732， 3 =1.732， 2 =1.414) 解析：过 B作 BD AC，在直角三角形 ABD中，利用勾股定理求出 BD 与 AD的长，在直角三角形 BCD中，求出 CD 的长，由 AD+DC求出 AC的长即可 . 答案：过 B作 BD AC， BAC=75 -30 =45， 在 Rt ABD中， BAD= ABD=45， ADB=90
16、， 由勾股定理得： 2 22 2 0 1 0B D A D (海里 )， 在 Rt BCD中， C=25， CBD=75， CDtan C B DBD，即 1 0 3 . 7 3 2 5 2 . 72 7 0 4 8CD ， 则 1 0 1 0 3 . 7 3 222 6 6 . 9 1 0 4 8 6 7A C A D D C (海里 )，即我海监执法船在前往监视巡查的过程中行驶了 67海里 . 六、 (本大题 2个小题，每小题 8分，满分 16分 ) 23.今年元月，国内一家网络诈骗举报平台发布了 2015 年网络诈骗趋势研究报告，根据报告提供的数据绘制了如下的两幅统计图： (1)该平台
17、2015年共收到网络诈骗举报多少例？ 解析： (1)利用条形统计图求解 . 答案： (1)该平台 2015 年共收到网络诈骗举报 24886 例 . (2)2015年通过该平台举报的诈骗总金额大约是多少亿元？ (保留三个有效数字 ) 解析： (2)利用 2015年每例诈骗的损失乘以 2015年收到网络诈骗举报的数量即可 . 答案： (2)2015年通过该平台举报的诈骗总金额大约是 24886 5.106 1.27亿元 . (3)2015年每例诈骗的损失年增长率是多少？ 解析： (3)用 2015 年每例诈骗的损失减去 2014 年每例诈骗的损失，然后用其差除以 2014年每例诈骗的损失即可 .
18、 答案： (3)2015年每例诈骗的损失年增长率 =(5106-2070) 2070=147%. (4)为提高学生的防患意识，现准备从甲、乙、丙、丁四人中随机抽取两人作为受骗演练对象，请用树状图或列表法求恰好选中甲、乙两人的概率是多少？ 解析： (4)画树状图 (用 A、 B、 C、 D分别表示甲乙丙丁 )展示所有 12 种等可能的结果数，再找出选中甲、乙两人的结果数，然后根据概率公式求解 . 答案： (4)画树状图为： (用 A、 B、 C、 D分别表示甲乙丙丁 ) 共有 12 种等可能的结果数，其中选中甲、乙两人的结果数为 2， 所以恰好选中甲、乙两人的概率 1212 6. 24.如图，已
19、知 O是 ABC的外接圆， AD 是 O的直径，且 BD=BC，延长 AD 到 E，且有 EBD= CAB. (1)求证： BE 是 O的切线 . 解析： (1)先根据等弦所对的劣弧相等，再结合 EBD= CAB从而得到 BAD= EBD，最后用直径所对的圆周角为直角即可 . 答案： (1)如图，连接 OB， BD=BC， CAB= BAD， EBD= CAB， BAD= EBD， AD是 O的直径， ABD=90， OA=BO， BAD= ABO， EBD= ABO， OBE= EBD+ OBD= ABD+ OBD= ABD=90， 点 B在 O上， BE是 O的切线 . (2)若 BC=
20、3 ， AC=5，求圆的直径 AD 及切线 BE的长 . 解析： (2)利用三角形的中位线先求出 OF，再用平行线分线段成比例定理求出半径 R，最后用切割线定理即可 . 答案： (2)如图 2， 设圆的半径为 R，连接 CD， AD为 O的直径， ACCD=90， BC=BD， OB CD， OB AC， OA=OD， 52 21O F A C， 四边形 ACBD是圆内接四边形， BDE= ACB， DBE= ACB， DBE CAB， DB DEAC BC， 35 3DE ， 35DE， OBE= OFD=90， DF BE， OF ODOB OE， 5235RR R， R 0， R=3，
21、BE是 O的切线， (3 3 3 1 1235 )55B E D E A E . 七、 (本大题 2个小题，每小题 10 分，满分 20分 ) 25.已知四边形 ABCD中， AB=AD， AB AD，连接 AC，过点 A作 AE AC，且使 AE=AC，连接 BE，过 A作 AH CD于 H交 BE于 F. (1)如图 1，当 E在 CD 的延长线上时，求证： ABC ADE. BF=EF. 解析： (1)利用 SAS 证全等 . 易证得： BC FH 和 CH=HE，根据平行线分线段成比例定理得 BF=EF，也可由三角形中位线定理的推论得出结论 . 答案： (1)如图 1， AB AD，
22、AE AC， BAD=90， CAE=90， 1= 2， 在 ABC和 ADE中， 12AB ADAC AE ABC ADE(SAS). 如图 1， ABC ADE， AEC= 3， 在 Rt ACE中， ACE+ AEC=90， BCE=90， AH CD， AE=AC， CH=HE， AHE= BCE=90， BC FH， 1BF CHFE HE， BF=EF. (2)如图 2，当 E不在 CD的延长线上时， BF=EF还成立吗？请证明你的结论 . 解析： (2)作辅助线构建平行线和全等三角形，首先证明 MAE DAC，得 AD=AM，根据等量代换得 AB=AM，根据同理得出结论 . 答案
23、： (2)结论仍然成立，理由是： 如图 2所示，过 E作 MN AH，交 BA、 CD延长线于 M、 N， CAE=90， BAD=90， 1+ 2=90， 1+ CAD=90， 2= CAD， MN AH， 3= HAE， ACH+ CAH=90， CAH+ HAE=90， ACH= HAE， 3= ACH， 在 MAE和 DAC中， 23CADAE ACACH MAE DAC(ASA)， AM=AD， AB=AD， AB=AM， AF ME， 1BF ABEF AM， BF=EF. 26.如图，已知抛物线与 x轴交于 A(-1， 0)， B(4， 0)，与 y轴交于 C(0， -2). (
24、1)求抛物线的解析式 . 解析： (1)设抛物线的解析式为 y=a(x+1)(x-4)，然后将 (0， -2)代入解析式即可求出 a的值 . 答案： (1)抛物线与 x轴交于 A(-1， 0)， B(4， 0)， 设抛物线的解析式为： y=a(x+1)(x-4)， 把 (0， -2)代入 y=a(x+1)(x-4)， 12a， 抛物线的解析式为： 2 21322y x x . (2)H是 C关于 x轴的对称点， P是抛物线上的一点，当 PBH与 AOC相似时，求符合条件的 P点的坐标 (求出两点即可 ). 解析： (2)当 PBH与 AOC相似时， PBH是直角三角形，由 OH OBOA OH
25、可知 AHB=90，所以求出直线 AH 的解析式后，联立一次函数与二次函数的解析式后即可求出 P的坐标 . 答案： (2)当 PBH与 AOC 相似时， AOC是直角三角形， PBH也是直角三角形， 由题意知： H(0， 2)， OH=2， A(-1， 0)， B(4， 0)， OA=1， OB=4， OH OBOA OH AOH= BOH， AOH BOH， AHO= HBO， AHO+ BHO= HBO+ BHO=90， AHB=90， 设直线 AH的解析式为： y=kx+b， 把 A(-1， 0)和 H(0， 2)代入 y=kx+b， 20bkb， 解得 22kb， 直线 AH的解析式为
26、： y=2x+2， 联立2222 2132yxy x x ， 解得： x=1或 x=-8， 当 x=-1时， y=0， 当 x=8时， y=18 P的坐标为 (-1， 0)或 (8， 18). (3)过点 C作 CD AB， CD交抛物线于点 D，点 M是线段 CD上的一动点，作直线 MN与线段 AC交于点 N，与 x轴交于点 E，且 BME= BDC，当 CN的值最大时，求点 E的坐标 . 解析： (3)设 M的坐标为 (m， 0)，由 BME= BDC可知 EMC= MBD，所以 NCM MDB，利用对应边的比相等即可得出 CN与 m的函数关系式，利用二次函数的性质即可求出 32m时，CN
27、有最大值，然后再证明 EMB BDM，即可求出 E的坐标 . 答案： (3)过点 M作 MF x轴于点 F， 设点 E的坐标为 (n， 0)， M的坐标为 (m， 0)， BME= BDC， EMC+ BME= BDC+ MBD， EMC= MBD， CD x轴， D的纵坐标为 -2， 令 y=-2代入 2 21322y x x ， x=0或 x=3， D(3， -2)， B(4， 0)， 由勾股定理可求得： BD= 5 ， M(m， 0)， MD=3-m， CM=m(0 m 3) 由抛物线的对称性可知： NCM= BDC， NCM MDB， CN CMMD BD， 3 5CN mm ， 225 5 3 5935 5 2 02C N m m m ， 当 32m时， CN 可取得最大值， 此时 M的坐标为 (32， -2)， MF=2， BF=52， MD=32. 由勾股定理可求得： 412MB， E(n， 0)， EB=4-n， CD x轴， NMC= BEM， EBM= BMD， EMB BDM， MB MDEB MB， 2M B M D EB ， 3241 44 n ， 176n， E的坐标为 ( 176， 0).
