1、2014 年考研（数学二）真题试卷及答案解析(总分：50.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.当 x0 + 时，若 ln 2 (1+2x)，(1-cosx) 1/a 均是比 x 高阶的无穷小，则 a 的取值范围是（分数：2.00）A.(2，+)B.(1，2)C.(1/2，1)D.(0，1/2)3.下列曲线中有渐近线的是（分数：2.00）A.y=x+sinxB.y=x 2 +sinxC.y=x+sin(1/x)D.y=x 2 +sin(1/x)4.设函数 f(x)具有 2 阶导
2、数，g(x)=f(0)(1-x)+f(1)x，则在区间0，1上（分数：2.00）A.当 f “ (x)0 时，f(x)g(x)B.当 f “ (x)0 时，f(x)g(x)C.当 f “ (x)0 时，f(x)g(x)D.当 f “ (x)0 时，f(x)g(x)5.曲线 上对应于 t=1 的点处的曲率半径是 （分数：2.00）A.B.C.D.6.设函数 f(x)=arctanx若 f(x)=xf “ ()，则 （分数：2.00）A.1B.2/3C.1/2D.1/37.设函数 u(x，y)在有界闭区域 D 上连续，在 D 的内部具有 2 阶连续偏导数，且满足 （分数：2.00）A.u(x，y)
3、的最大值和最小值都在 D 的边界上取得B.u(x，y)的最大值和最小值都在 D 的内部取得C.u(x，y)的最大值在 D 的内部取得，最小值在 D 的边界上取得D.u(x，y)的最小值在 D 的内部取得，最大值在 D 的边界上取得8.行列式 （分数：2.00）A.(ad-bc) 2 B.-(ad-bc) 2 C.a 2 d 2 -b 2 c 2 D.b 2 c 2 -a 2 d 2 9.设 a 1 ，a 2 ，a 3 均为 3 维向量，则对任意常数 k，向量组 a 1 +ka 3 ，a 2 +a 3 。线性无关是向量组 a 1 ，a 2 ，a 3 线性无关的（分数：2.00）A.必要非充分条件
4、B.充分非必要条件C.充分必要条件D.既非充分也非必要条件二、填空题(总题数：6，分数：12.00)10. （分数：2.00）填空项 1:_11.设 f(x)是周期为 4 的可导奇函数，且 f “ (x)=2(x-1)，z0，2，则 f(7)= 1（分数：2.00）填空项 1:_12.设 z=z(x，y)是由方程 e 2yz +x+y 2 +z=7/4 确定的函数，则出 dz (1/2，1/2) = 1（分数：2.00）填空项 1:_13.曲线 L 的极坐标方程是 r=，则 L 在点(r，)=(/2，/2)处的切线的直角坐标方程是 1（分数：2.00）填空项 1:_14.一根长度为 1 的细棒
5、位于 x 轴的区间0，1上，若其线密度 P(x)=-x 2 +2x+1，则该细棒的质心坐标 （分数：2.00）填空项 1:_15.设二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x 1 2 -x 2 2 +2ax 1 x 3 +4x 2 x 3 ，的负惯性指数为 1，则 a 的取值范围是（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：10，分数：20.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_17. （分数：2.00）_18.已知函数 y=y(x)满足微分方程 x 2 +y 2 y “ =1-y “ ，且 y(2)=0，求 y(x)的极大值与极小值（分数：
6、2.00）_19.设平面区域 D=(x，y)1x 2 +y 2 4，x0，y0，计算 （分数：2.00）_20.设函数 f(u)具有 2 阶连续导数，z=f(e x cosy) 满足 （分数：2.00）_21.设函数 f(x)，g(x)在区间0，b上连续，且 f(x)单调增加，0g(x)1证明： （分数：2.00）_22.设函数 f(x)=x/ 1+x，x0，1定义函数列： f 1 (x)=f(x)，f 2 (x)=f(f 1 (x)，f n (x)=f(f n-1 (x)， 记 S n 是由曲线 y=f n (x)，直线 x=1 及 x 轴所围平面图形的面积，求极限 （分数：2.00）_23
7、.已知函数 f(x，y)满足 （分数：2.00）_24.设 （分数：2.00）_25.证明 n 阶矩阵 （分数：2.00）_2014 年考研（数学二）真题试卷答案解析(总分：50.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.当 x0 + 时，若 ln 2 (1+2x)，(1-cosx) 1/a 均是比 x 高阶的无穷小，则 a 的取值范围是（分数：2.00）A.(2，+)B.(1，2) C.(1/2，1)D.(0，1/2)解析：解析：a0 时， ln a (1+2x)(2x)
8、a (x0+)， 它们均是比 x 高阶的无穷小，即 3.下列曲线中有渐近线的是（分数：2.00）A.y=x+sinxB.y=x 2 +sinxC.y=x+sin(1/x) D.y=x 2 +sin(1/x)解析：解析：显然这几条曲线均无垂直与水平渐近线，就看哪条曲线有斜渐近线 对于 C4.设函数 f(x)具有 2 阶导数，g(x)=f(0)(1-x)+f(1)x，则在区间0，1上（分数：2.00）A.当 f “ (x)0 时，f(x)g(x)B.当 f “ (x)0 时，f(x)g(x)C.当 f “ (x)0 时，f(x)g(x)D.当 f “ (x)0 时，f(x)g(x) 解析：解析：【
9、分析一】 y=f(x)在0，1上是凹函数(设 f(x)在0，1二阶可导，不妨 f “ (x)0)，y=g(x)是连接(0，f(0)与(1，f(1)的线段由几何意义知 f(x)g(x)(x0，1)选 D 【分析二】 令 (x)：f(x)-g(x)=(0)=f(0)-f(0)=0，(1)=f(1)-f(1)=0 在0，1上，当 f “ (x)0 时， “ (x)=f “ (x)-g “ (x)=f “ (x)0=(x)0，即 f(x)g(x)选 D 5.曲线 上对应于 t=1 的点处的曲率半径是 （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：用参数求导法先求出6.设函数 f(x)=arctanx
10、若 f(x)=xf “ ()，则 （分数：2.00）A.1B.2/3C.1/2D.1/3 解析：解析：7.设函数 u(x，y)在有界闭区域 D 上连续，在 D 的内部具有 2 阶连续偏导数，且满足 （分数：2.00）A.u(x，y)的最大值和最小值都在 D 的边界上取得 B.u(x，y)的最大值和最小值都在 D 的内部取得C.u(x，y)的最大值在 D 的内部取得，最小值在 D 的边界上取得D.u(x，y)的最小值在 D 的内部取得，最大值在 D 的边界上取得解析：解析：【分析一】 若 u(x，y)在 D 内部某点 M 0 (x 0 ，y 0 )取最小值，则 因此 u(x，y)不能在 D 内部
11、取到最小值同理 u(x，y)不能在 D 内部取最大值 因此 u(x，y)的最大值和最小值都在 D 的边界取得选 A 【分析二】 用特殊选取法 8.行列式 （分数：2.00）A.(ad-bc) 2 B.-(ad-bc) 2 C.a 2 d 2 -b 2 c 2 D.b 2 c 2 -a 2 d 2 解析：解析：计算出这个行列式比较好的方法为先交换第 2，3 两行，再把第 1 列和第 2，3 列邻换： 9.设 a 1 ，a 2 ，a 3 均为 3 维向量，则对任意常数 k，向量组 a 1 +ka 3 ，a 2 +a 3 。线性无关是向量组 a 1 ，a 2 ，a 3 线性无关的（分数：2.00）A
12、.必要非充分条件 B.充分非必要条件C.充分必要条件D.既非充分也非必要条件解析：解析：从 a 1 ，a 2 ，a 3 线性无关容易得到 a 1 +ka 3 ，a 2 +a 3 线性无关(可用定义或计算秩)，因此是必要条件当 a 1 ，a 2 线性无关，并且 a 3 3=0 时对于任意常数 k，a 1 +ka 3 ，a 2 +a 3 线性无关，而 a 1 ，a 2 ，a 3 线性相关，因此不是充分条件二、填空题(总题数：6，分数：12.00)10. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：(3/8)）解析：解析：11.设 f(x)是周期为 4 的可导奇函数，且 f “ (x)=
13、2(x-1)，z0，2，则 f(7)= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：由 f “ (x)=2(x-1)，x0，2，又 f(0)=0 f(x)=x 2 -2x(x0，2) 12.设 z=z(x，y)是由方程 e 2yz +x+y 2 +z=7/4 确定的函数，则出 dz (1/2，1/2) = 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：先求出 z(1/2，1/2) 由 e 2yz +x+y 2yz +z=7/4， 13.曲线 L 的极坐标方程是 r=，则 L 在点(r，)=(/2，/2)处的切线的直角坐标方程是 1（分数
14、：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：(2/)x）解析：解析：L 的参数方程是 ，点(r，)=(/2，/2)记为 M 0 ，直角坐标是(x 0 ，y 0 )=(0，/2)，L 在点 M 0 的斜率 14.一根长度为 1 的细棒位于 x 轴的区间0，1上，若其线密度 P(x)=-x 2 +2x+1，则该细棒的质心坐标 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：11/20）解析：解析：15.设二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x 1 2 -x 2 2 +2ax 1 x 3 +4x 2 x 3 ，的负惯性指数为 1，则 a 的取值范围是（分数：2.00）填空项 1
15、:_ （正确答案：正确答案：-2a2）解析：解析：用配方法： f(x 1 ，x 2 ，x 3 ) =x 1 2-x22+2ax1x3+4x2x3 =(x1+ax3)2-(x2-2x3)2+(4-a2)x32 由负惯性指数为1，得(4-a2)0，-2a2 【解法二】 此二次型的矩阵* 设 A 的 3 个特征值按照大小顺序为 1 2 3则 1+ 2+ 3=0负惯性指数为 1 即 10 2 3则A0反之，如果A0，则特征值一定是 2 正 1 负，如果A=0，则特征值一定 1 正 1 负 1 个 0于是负惯性指数为*A0计算出A=a2-4，得-2a2三、解答题(总题数：10，分数：20.00)16.解
16、答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：17. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：18.已知函数 y=y(x)满足微分方程 x 2 +y 2 y “ =1-y “ ，且 y(2)=0，求 y(x)的极大值与极小值（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：这是可分离变量的微分方程 y “ (1+y 2 ) =1-x 2 。 分离变量得 (1+y 2 )d)，=(1-x 2 )dx )解析：19.设平面区域 D=(x，y)1x 2 +y 2 4，x0，y0，计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：D 如右图，用极坐标变换 D：00/2，1r2
17、，于是 )解析：20.设函数 f(u)具有 2 阶连续导数，z=f(e x cosy) 满足 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：z=f(e x cosy)是 z=f(u)与 u=e x cosy 的复合函数先由复合函数求导法，将 z对 x，y 的偏导数满足的方程转化为 z 对 u 的导数满足的方程 z=f(u)=f(e x cosy) )解析：21.设函数 f(x)，g(x)在区间0，b上连续，且 f(x)单调增加，0g(x)1证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()因 g(x)在a，b连续，0g(t)1(ta，b) )解析：22.设函数 f(x)=x/ 1+x，x0，1
18、定义函数列： f 1 (x)=f(x)，f 2 (x)=f(f 1 (x)，f n (x)=f(f n-1 (x)， 记 S n 是由曲线 y=f n (x)，直线 x=1 及 x 轴所围平面图形的面积，求极限 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：23.已知函数 f(x，y)满足 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： c(y) =1-(2-y)lny 于是 f(x，y)=y 2 +2y+1-(2-x)lnx 曲线 f(x，y)=0 即(y+1) 2 =(2-x)lnx，x1，2，它是关于直线 y=-1 对称的闭曲线该闭曲线所围图形绕直线 y=-1 旋转成旋转体的体积为 V
19、 任取x，x+dx 1，2，对应的旋转体小薄片的体积微元 dV=(y+1) 2 dx 于是旋转体的体积 )解析：24.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()用初等行变换化 A 为简单阶梯形矩阵： 得 Ax=0 的同解方程组： 求得一个非零解 a=(-1，2，3，1) T ，它构成 Ax=0 的基础解系 ()所求矩阵 B 应该是 43 矩阵一种做法是把 B 的 3 个列向量分别作为 3 个线性方程组 AX=(1，0，0) T ，AX=(0，1，0) T 和AX=(0，0，1) T 的解来计算下面的方法比较简单 思路：满足 AB=E 的任何两个解的差都是 AB=0 的解先求出 AB=0
20、 的所有解，再求 AB=E 的一个特解，就可以得到满足 AB=E 的所有矩阵 AB=0 的解是一个 43 矩阵，他的每一列都是 Ax=0 的解，因此是 a 的倍数，通解为 (c 1 a，c 2 a，c 3 a)，c 1 ，c 2 ，c 3 为任意常数 求 AB=E 的一个特解 用初等行变换化(AE)为简单阶梯形矩阵： )解析：25.证明 n 阶矩阵 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：说明 A 和 B 都相似于对角矩阵，并且特征值一样，因此相似 (1)求出E-A= n-1 (-n)，A 的特征值为 0(n-1 重)和 n(1 重)B 是上三角矩阵，特征值为对角线元素，也是0(n-1 重)和 n(1 重) (2)A 是实对称矩阵，相似于对角矩阵 B 的 n-l 重特征值 0 满足等式 重数=n-r(B-0E)=(n-1)，因此它也相似于对角矩阵 )解析：
