1、2016年黑龙江省大庆市中考真题数学 一、选择题 (本大题共 10小题，每小题 3分，共 30分 ) 1. 地球上的海洋面积为 361 000 000平方千米，数字 361 000 000用科学记数法表示为 ( ) A.36.1 107 B.0.361 109 C.3.61 108 D.3.61 107 解析： 361 000 000用科学记数法表示为 3.61 108. 答案： C. 2. 已知实数 a、 b在数轴上对应的点如图所示，则下列式子正确的是 ( ) A.a b 0 B.a+b 0 C.|a| |b| D.a-b 0 解析：根据点 a、 b在数轴上的位置可知 1 a 2， -1 b
2、 0， ab 0， a+b 0， |a| |b|， a-b 0. 答案： D. 3. 下列说法正确的是 ( ) A.对角线互相垂直的四边形是菱形 B.矩形的对角线互相垂直 C.一组对边平行的四边形是平行四边形 D.四边相等的四边形是菱形 解析： A、对角线互相垂直且平分的四边形是菱形；故本选项错误； B、矩形的对角线相等，菱形的对角线互相垂直；故本选项错误； C、两组组对边分别平行的四边形是平行四边形；故本选项错误； D、四边相等的四边形是菱形；故本选项正确 . 答案： D. 4. 当 0 x 1时， x2、 x、 1x的大小顺序是 ( ) A.x2 x 1xB.1x x x2 C.1x x2
3、 x D.x x2 1x解析：当 0 x 1时， 在不等式 0 x 1的两边都乘上 x，可得 0 x2 x， 在不等式 0 x 1的两边都除以 x，可得 0 1 1x， 又 x 1， x2、 x、 1x的大小顺序是： x2 x 1x. 答案： A. 5. 一个盒子装有除颜色外其它均相同的 2 个红球和 3 个白球，现从中任取 2 个球，则取到的是一个红球、一个白球的概 率为 ( ) A.25B.23C.35D.310解析：画树状图得： 共有 20种等可能的结果，取到的是一个红球、一个白球的有 12种情况， 取到的是一个红球、一个白球的概率为： 12 320 5. 答案： C. 6. 由若干边长
4、相等的小正方体构成的几何体的主视图、左视图、俯视图如图所示，则构成这个几何体的小正方体有 ( )个 . A.5 B.6 C.7 D.8 解析：综合三视图可知，这个几何体的底层应该有 2+1+1+1=5个小正方体， 第二层应该有 2个小正方体， 因此搭成这个几何体所用小正方体的个数是 5+2=7个 . 答案： C. 7. 下列图形中是中心对称图形的有 ( )个 . A.1 B.2 C.3 D.4 解析：第 2个、第 4个图形是中心对称图形，共 2个 . 答案： B. 8. 如图，从 1= 2 C= D A= F 三个条件中选出两个作为已知条件，另一个作为结论所组成的命题中，正确命题的个数为 (
5、) A.0 B.1 C.2 D.3 解析：如图所示： 当 1= 2， 则 3= 2， 故 DB EC， 则 D= 4， 当 C= D， 故 4= C， 则 DF AC， 可得： A= F， 即 ； 当 1= 2， 则 3= 2， 故 DB EC， 则 D= 4， 当 A= F， 故 DF AC， 则 4= C， 故可得： C= D， 即 ； 当 A= F， 故 DF AC， 则 4= C， 当 C= D， 则 4= D， 故 DB EC， 则 2= 3， 可得： 1= 2， 即 ， 故正确的有 3个 . 答案： D. 9. 已知 A(x1， y1)、 B(x2， y2)、 C(x3， y3)是
6、反比例函数 y=2x上的三点，若 x1 x2 x3， y2y1 y3，则下列关系式不正确的是 ( ) A.x1 x2 0 B.x1 x3 0 C.x2 x3 0 D.x1+x2 0 解析：反比例函数 y=2x中， 2 0， 在每一象限内， y随 x的增大而减小， x1 x2 x3， y2 y1 y3， 点 A， B在第三象限，点 C在第一象限， x1 x2 0 x3， x1 x2 0. 答案： A. 10. 若 x0是方程 ax2+2x+c=0(a 0)的一个根，设 M=1-ac， N=(ax0+1)2，则 M与 N的大小关系正确的为 ( ) A.M N B.M=N C.M N D.不确定 解
7、析： x0是方程 ax2+2x+c=0(a 0)的一个根， ax02+2x0+c=0，即 ax02+2x0=-c， 则 N-M=(ax0+1)2-(1-ac) =a2x02+2ax0+1-1+ac =a(ax02+2x0)+ac =-ac+ac =0， M=N. 答案： B. 二、填空题 (本大题共 8小题，每小题 3分，共 24 分 ) 11. 函数 y= 21x 的自变量 x的取值范围是 _. 解析：由题意得， 2x-1 0， 解得 x 12. 答案： x 12. 12. 若 am=2， an=8，则 am+n=_. 解析： am=2， an=8， am+n=am an=16. 答案： 1
8、6. 13. 甲乙两人进行飞镖比赛，每人各投 5次，所得平均环数相等，其中甲所得环数的方差为15，乙所得环数如下： 0， 1， 5， 9， 10，那么成绩较稳定的是 _(填“甲”或“乙” ). 解析：计算出乙的平均数和方差后，与甲的方差比较后，可以得出判断 . 答案：甲 . 14. 如图，在 ABC中， A=40， D点是 ABC和 ACB角平分线的交点，则 BDC=_. 解析： D点是 ABC 和 ACB角平分线的交点， 有 CBD= ABD=12 ABC， BCD= ACD=12 ACB， ABC+ ACB=180-40=140， OBC+ OCB=70， BOC=180-70=110 .
9、 答案： 110 . 15. 如图，是一个三角形，分别连接这个三角形三边中点得到图，再连接图中间小三角形三边的中点得到图，按这样的方法进行下去，第 n 个图形中共有三角形的个数为_. 解析：第是 1个三角形， 1=4 1-3； 第是 5个三角形， 5=4 2-3； 第是 9个三角形， 9=4 3-3； 第 n个图形中共有三角形的个数是 4n-3. 答案： 4n-3. 16. 一艘轮船在小岛 A 的北偏东 60方向距小岛 80 海里的 B处，沿正西方向航行 3小时后到达小岛的北偏西 45的 C处，则该船行驶的速度为 _海里 /小时 . 解 析：如图所示： 设该船行驶的速度为 x 海里 /时， 3
10、小时后到达小岛的北偏西 45的 C处， 由题意得： AB=80海里， BC=3x海里， 在直角三角形 ABQ中， BAQ=60， B=90 -60 =30， AQ=12AB=40， BQ= 3 AQ=40 3 ， 在直角三角形 AQC中， CAQ=45， CQ=AQ=40， BC=40+40 3 =3x， 解得： x= 40 4 33. 即该船行驶的速度为 40 4 33海里 /时 . 答案： 40 4 33. 17. 如图，在矩形 ABCD中， AB=5， BC=10 3 ，一圆弧过点 B和点 C，且与 AD 相切，则图中阴影部分面积为 _. 解析：设圆弧的圆心为 O，与 AD 切于 E，
11、连接 OE 交 BC于 F，连接 OB、 OC， 设圆的半径为 x，则 OF=x-5， 由勾股定理得， OB2=OF2+BF2， 即 x2=(x-5)2+(5 3 )2， 解得， x=5， 则 BOF=60， BOC=120， 则阴影部分面积为：矩形 ABCD的面积 -(扇形 BOCE的面积 - BOC的面积 ) = 21 2 0 1 01 0 5 1 0 536 13320 =75 3 1003. 答案： 75 3 1003. 18. 直线 y=kx+b 与抛物线 y=14x2交于 A(x1， y1)、 B(x2， y2)两点，当 OA OB 时，直线 AB恒过一个定点，该定点坐标为 _.
12、解析：直线 y=kx+b 与抛物线 y=14x2交于 A(x1， y1)、 B(x2， y2)两点， kx+b=14x2， 化简，得 x2-4kx-4b=0， x1+x2=4k， x1x2=-4b， 又 OA OB， 22121 2 1 2 1 21 2 1 2 1 200 4 10 0 1 6 111446xxy y y y x x bx x x x x x ， 解得， b=4， 即直线 y=kx+4，故直线恒过顶点 (0， 4). 答案： (0， 4). 三、解答题 (本大题共 10小题，共 66分 ) 19. 计算 ( 2 +1)2- 0-|1- 2 | 解析：直接利用完全平方公式以及零
13、指数幂的性质、绝对值的性质分别化简求出答案 . 答案：原式 =2+2 2 +1-1-( 2 -1) =2+2 2 - 2 +1 =3+ 2 . 20. 已知 a+b=3， ab=2，求代数式 a3b+2a2b2+ab3的值 . 解析：先提取公因式 ab，再根据完全平方公式进行二次分解，然后代入数据进行计算即可得解 . 答案： a3b+2a2b2+ab3 =ab(a2+2ab+b2) =ab(a+b)2， 将 a+b=3， ab=2代入得， ab(a+b)2=2 32=18. 故代数式 a3b+2a2b2+ab3的值是 18. 21. 关于 x的两个不等式 32xa 1与 1-3x 0 (1)若
14、两个不等式的解集相同，求 a的值； (2)若不等式的解都是的解，求 a的取值范围 . 解析： (1)求出第二个不等式的解集，表示出第一个不等式的解集，由解集相同求出 a 的值即可； (2)根据不等式的解都是的解，求出 a的范围即可 . 答案： (1)由得： x 23a， 由得： x 13， 由两个不等式的解集相同，得到 2133a ， 解得： a=1； (2)由不等式的解都是的解，得到 23a 13， 解得： a 1. 22. 某车间计划加工 360个零件，由于技术上的改进，提高了工作效率，每天比原计划多加工 20%，结果提前 10 天完成任务，求原计划每天能加工多少个零件？ 解析：关键描述语
15、为：“提前 10天完成任务”；等量关系为：原计划天数 =实际生产天数 +10. 答案：设原计划每天能加工 x个零件， 可得： 3 6 0 3 6 0 101 .2xx， 解得： x=6， 经检验 x=6是原方程的解， 答：原计划每天能加工 6个零件 . 23. 为了了解某学校初四年纪学生每周平均课外阅读时间的情况，随机抽查了该学校初四年级 m名同学，对其每周平均课外阅读时间进行统计，绘制了如下条形统计图 (图一 )和扇形统计图 (图二 )： (1)根据以上信息回答下列问题： 求 m值 . 求扇形统计图中阅读时间为 5小时的扇形圆心角的度数 . 补全条形统计图 . (2)直接写出这组数据的众数、
16、中位数，求出这组数据的平均数 . 解析： (1)根据 2 小时所占扇形的圆心角的度数确定其所占的百分比，然后根据条形统计图中 2小时的人数求得 m的值； 求得总人数后减去其他小组的人数即可求得第三小组的人数； (2)利用众数、中位数的定义及平均数的计算公式确定即可 . 答案： (1)课外阅读时间为 2小时的所在扇形的圆心角的度数为 90， 其所占的百分比为 90 1360 4， 课外阅读时间为 2小时的有 15 人， m=15 14=60； 第三小组的频数为： 60-10-15-10-5=20， 补全条形统计图为： (2)课外阅读时间为 3小时的 20 人，最多， 众数为 3小时； 共 60
17、人，中位数应该是第 30和第 31人的平均数，且第 30和第 31人阅读时间均为 3小时， 中位数为 3小时； 平均数为： 1 0 1 1 5 2 2 0 3 1 0 4 5 560 2.92小时 . 24. 如图，在菱形 ABCD 中， G 是 BD 上一点，连接 CG 并延长交 BA 的延长线于点 F，交 AD于点 E. (1)求证： AG=CG. (2)求证： AG2=GE GF. 解析： (1)根据菱形的性质得到 AB CD， AD=CD， ADB= CDB，推出 ADG CDG，根据全等三角形的性质即可得到结论； (2)由全等三角形的性质得到 EAG= DCG，等量代换得到 EAG=
18、 F，求得 AEG FGA，即可得到结论 . 答案： (1)四边形 ABCD是菱形， AB CD， AD=CD， ADB= CDB， F FCD， 在 ADG与 CDG中， A D C DA D G C D GD G D G ， ADG CDG， EAG= DCG， AG=CG； (2) ADG CDG， EAG= F， AGE= AGE， AEG FGA， AG EGFG AG， AG2=GE GF. 25. 如图， P1、 P2是反比例函数 y=kx(k 0)在第一象限图象上的两点，点 A1的坐标为 (4，0).若 P1OA1与 P2A1A2均为等腰直角三角形，其中点 P1、 P2为直角顶
19、点 . (1)求反比例函数的解析式 . (2)求 P2的坐标 . 根据图象直接写出在第一象限内当 x满足什么条件时，经过点 P1、 P2的一次函数的函数值大于反比例函数 y=kx的函数值 . 解析： (1)先根据点 A1的坐标为 (4， 0)， P1OA1为等腰直角三角形，求得 P1的坐标，再代入反比例函数求解； (2)先根据 P2A1A2为等腰直角三角形，将 P2的坐标设为 (4+a， a)，并代入反比例函数求得 a的值，得到 P2的坐标；再根据 P1的横坐标和 P2的横坐标，判断 x的取值范围 . 答案： (1)过点 P1作 P1B x轴，垂足为 B 点 A1的坐标为 (4， 0)， P1
20、OA1为等腰直角三角形 OB=2， P1B=12OA1=2 P1的坐标为 (2， 2) 将 P1的坐标代入反比例函数 y=kx(k 0)，得 k=2 2=4 反比例函数的解析式为 y=4x(2)过点 P2作 P2C x轴，垂足为 C P2A1A2为等腰直角三角形 P2C=A1C 设 P2C=A1C=a，则 P2的坐标为 (4+a， a) 将 P2的坐标代入反比例函数的解析式为 y=4x，得 a= 44 a，解得 a1=2 2 -2， a2=-2 2 -2(舍去 ) P2的坐标为 (2+2 2 ， 2 2 -2) 在第一象限内，当 2 x 2+2 2 时，一次函数的函数值大于反比例函数的值 .
21、26. 由于持续高温和连日无雨，某水库的蓄水量随时间的增加而减少，已知原有蓄水量 y1(万m3)与干旱持续时间 x(天 )的关系如图中线段 l1所示，针对这种干旱情况，从第 20天开始向水库注水，注水量 y2(万 m3)与时间 x(天 )的关系如图中线段 l2所示 (不考虑其它因素 ). (1)求原有蓄水量 y1(万 m3)与时间 x(天 )的函数关系式，并求当 x=20时的水库总蓄水量 . (2)求当 0 x 60时，水库的总蓄水量 y(万 m3)与时间 x(天 )的函数关系式 (注明 x的范围 )，若总蓄水量不多于 900万 m3为严重干旱，直接写出发生严重干旱时 x的范围 . 解析： (
22、1)根据两点的坐标求 y1(万 m3)与时间 x(天 )的函数关系式，并把 x=20代入计算； (2)分两种情况：当 0 x 20时， y=y1，当 20 x 60时， y=y1+y2；并计算分段函数中y 900时对应的 x的取值 . 答案： (1)设 y1=kx+b， 把 (0， 1200)和 (60， 0)代入到 y1=kx+b得： 120060 0bkb解得 201200kb， y1=-20x+1200 当 x=20时， y1=-20 20+1200=800， (2)设 y2=kx+b， 把 (20， 0)和 (60， 1000)代入到 y2=kx+b中得： 2 0 06 0 1 0 0
23、 0kbkb解得 25500kb， y2=25x-500， 当 0 x 20 时， y=-20x+1200， 当 20 x 60时， y=y1+y2=-20x+1200+25x-500=5x+700， y 900，则 5x+700 900， x 40， 当 y1=900时， 900=-20x+1200， x=15， 发生严重干旱时 x的范围为： 15 x 40. 27. 如图，在 Rt ABC 中， C=90，以 BC 为直径的 O交斜边 AB 于点 M，若 H是 AC的中点，连接 MH. (1)求证： MH 为 O的切线 . (2)若 MH=32， tan ABC=34，求 O的半径 . (
24、3)在 (2)的条件下分别过点 A、 B作 O的切线，两切线交于点 D， AD 与 O相切于 N点，过N点作 NQ BC，垂足为 E，且交 O于 Q点，求线段 NQ的长度 . 解析： (1)连接 OH、 OM，易证 OH是 ABC的中位线，利用中位线的性质可证明 COH MOH，所以 HCO= HMO=90，从而可知 MH 是 O的切线； (2)由切线长定理可知： MH=HC，再由点 M是 AC的中点可知 AC=3，由 tan ABC=34，所以 BC=4，从而可知 O的半径为 2； (3)连接 CN， AO， CN与 AO相交于 I，由 AC、 AN是 O的切线可知 AO CN，利用等面积可
25、求出可求得 CI 的长度，设 CE 为 x，然后利用勾股定理可求得 CE 的长度，利用垂径定理即可求得 NQ. 答案： (1)连接 OH、 OM， H是 AC的中点， O是 BC的中点， OH是 ABC的中位线， OH AB， COH= ABC， MOH= OMB， 又 OB=OM， OMB= MBO， COH= MOH， 在 COH与 MOH中， O C O MC O H M O HO H O H ， COH MOH(SAS)， HCO= HMO=90， MH是 O的切线； (2) MH、 AC 是 O的切线， HC=MH=32， AC=2HC=3， tan ABC=34， 34ACBC，
26、BC=4， O的半径为 2； (3)连接 OA、 CN、 ON， OA与 CN相交于点 I， AC与 AN都是 O的切线， AC=AN， AO 平分 CAD， AO CN， AC=3， OC=2， 由勾股定理可求得： AO= 13 ， 12AC OC=12AO CI， CI=6 1313， 由垂径定理可求得： CN=12 1313， 设 OE=x， 由勾股定理可得： CN2-CE2=ON2-OE2， 14413-(2+x)2=4-x2， x=1013， CE=1013， 由勾股定理可求得： EN=2413， 由垂径定理可知： NQ=2EN=4813. 28. 若两条抛物线的顶点相同，则称它们为
27、“友好抛物线”，抛物线 C1： y1=-2x2+4x+2与 C2：u2=-x2+mx+n为“友好抛物线” . (1)求抛物线 C2的解析式 . (2)点 A是抛物线 C2上在第一象限的动点，过 A作 AQ x轴， Q为垂足，求 AQ+OQ 的最大值 . (3)设抛物线 C2的顶点为 C，点 B的坐标为 (-1， 4)，问在 C2的对称轴上是否存在点 M，使线段 MB绕点 M逆时针旋转 90得到线段 MB，且点 B恰好落在抛物线 C2上？若存在求出点M的坐标，不存在说明理由 . 解析 ： (1)先求得 y1顶点坐标，然后依据两个抛物线的顶点坐标相同可求得 m、 n的值； (2)设 A(a， -a
28、2+2a+3).则 OQ=x， AQ=-a2+2a+3，然后得到 OQ+AQ与 a的函数关系式，最后依据配方法可求得 OQ+AQ 的最值； (3)连接 BC，过点 B作 B D CM，垂足为 D.接下来证明 BCM MDB，由全等三角形的性质得到 BC=MD， CM=B D，设点 M的坐标为 (1， a).则用含 a的式子可表示出点 B的坐标，将点 B的坐标代入抛物线的解析式可求得 a的值，从而得到点 M的坐标 . 答案： (1) y1=-2x2+4x+2=-2(x-1)2+4， 抛物线 C1的顶点坐标为 (1， 4). 抛物线 C1：与 C2顶点相同， 12m=1， -1+m+n=4. 解得
29、： m=2， n=3. 抛物线 C2的解析式为 u2=-x2+2x+3. (2)如图 1所示： 设点 A的坐标为 (a， -a2+2a+3). AQ=-a2+2a+3， OQ=a， AQ+OQ=-a2+2a+3+a=-a2+3a+3=-(a-32)2+214. 当 a=32时， AQ+OQ有最大值，最大值为 214. (3)如图 2所示；连接 BC，过点 B作 B D CM，垂足为 D. B(-1， 4)， C(1， 4)，抛物线的对称轴为 x=1， BC CM， BC=2. BMB =90， BMC+ B MD=90 . B D MC， MB D+ B MD=90 . MB D= BMC. 在 BCM和 MDB中， M B D B M CB C M M D BB M M B ， BCM MDB . BC=MD， CM=B D. 设点 M的坐标为 (1， a).则 B D=CM=4-a， MD=CB=2. 点 B的坐标为 (a-3， a-2). -(a-3)2+2(a-3)+3=a-2. 整理得： a2-7a-10=0. 解得 a=2，或 a=5. 当 a=2时， M的坐标为 (1， 2)， 当 a=5时， M的坐标为 (1， 5). 综上所述当点 M的坐标为 (1， 2)或 (1， 5)时， B恰好落在抛物线 C2上 .
