1、2015 年内蒙古巴彦淖尔市中考真题数学 一、 选择题 (共 10 小题，每小题 3 分，满分 30 分 ) 1. -3 的绝对值是 ( ) A.-3 B.3 C.-3-1 D.3-1 解析：根据绝对值的定义， -3 的绝对值是 3， 答案： B. 2.下列运算正确的是 ( ) A.x3 x2=x5 B.(x3)2=x5 C.(x+1)2=x2+1 D.(2x)2=2x2 解析： 对各个选项进行分析判断： A、考查同底数幂乘法， x3 x2=x5，此选项正确； B、考查幂的乘方， (x3)2=x6，此选项错误； C、考查和的完全平方公式， (x+1)2=x2+1，此选项错误； D、考查积的乘方
2、， (2x)2=2x2，此选项错误 . 答案： A. 3. 如图， E、 F 分别是正方形 ABCD 的边 AB、 BC 上的点，且 BE=CF，连接 CE、 DF，将 DCF绕着正方形的中心 O 按顺时针方向旋转到 CBE 的位置，则旋转角为 ( ) A.30 B.45 C.60 D.90 解析：考查旋转的性质 .由题意得到 D 对应点为 C，连接 OC， OD，那么 DOC 即为旋转角，然后利用正方形性质即可求出： 正方形 ABCD， O 为正方形的中心， OD=OC， OD OC， DOC=90， 由题意得到 D 对应点为 C，连接 OC， OD， DOC 即为旋转角， 则将 DCF 绕
3、着正方形的中心 O 按顺时针方向旋转到 CBE 的位置，旋转角为 90 . 答案： D. 4. 不等式组 2 3 4 11 323xxx 的解集在数轴上表示正确的是 ( ) A. B. C. D. 解析：解不等式组中的每个不等式，确定两个不等式的解集的公共部分，进而确定不等式组的解集：解第一个不等式得： x -2，解第二个不等式得： x -3，则不等式组的解集是： -2 x 3，在数轴上表示为 . 答案： D. 5. 如图所示的几何体的左视图是 ( ) A. B. C. D. 解析：根据左视图的定义，结合已知几何体，左视图应该是 . 答案 ： A. 6. 某校学生小明每天骑自行车上学时都要经过
4、一个十字路口，设十字路口有红、黄、绿三色交通信号灯，他在路口遇到红灯的概率为 13，遇到黄灯的概率为 19，那么他遇到绿灯的概率为 ( ) A.19B.29C.49D.59解析： 十字路口有红、黄、绿三色交通信号灯，遇到每种信号灯的概率之和为 1. 十字路口有红、黄、绿三色交通信号灯，他在路口遇到红灯的概率为 13，遇到黄灯的概率为 19，他遇到绿灯的概率为： 1-13=59. 答案 ： D. 7. 如图， P 为平行四边形 ABCD 的边 AD 上的一点， E， F 分别为 PB， PC 的中点， PEF，PDC， PAB 的面积分别为 S， S1， S2.若 S=3，则 S1+S2的值为
5、( ) A.24 B.12 C.6 D.3 解析：过 P 作 PQ DC 交 BC 于点 Q，由 DC AB，得到 PQ AB， 四边形 PQCD 与四边形 APQB 都为平行四边形， PDC CQP， ABP QPB， S PDC=S CQP， S ABP=S QPB， EF 为 PCB 的中位线， EF BC， EF=12BC， PEF PBC，且相似比为 1： 2， S PEF： S PBC=1： 4， S PEF=3， S PBC=S CQP+S QPB=S PDC+S ABP=S1+S2=12. 答案： B. 8. 如图，一渔船由西往东航行，在 A 点测得海岛 C 位于北偏东 60的
6、方向，前进 40 海里到达 B点，此时，测得海岛 C位于北偏东 30的方向，则海里 C到航线 AB的距离 CD是 ( ) A.20 海里 B.40 海里 C.20 3 海里 D.40 3 海里 解析：考查解直角三角形的方法解决方向角问题 .根据方向角的定义及余角的性质 可得 CAD=30， CBD=60， 由三角形外角的性质得到 CAD=30 = ACB，根据等角对等边得出AB=BC=20，然后解 Rt BCD， 即可 求出 CD 的长 . 由题意可知 CAD=30， CBD=60， CBD= CAD+ ACB， CAD=30 = ACB， AB=BC=40 海里， 在 Rt CBD 中， B
7、DC=90， DBC=60， sin DBC=CDBC， sin60 =CDBC， CD=40 sin60 =40 32=20 3 (海里 ). 答案 ： C. 9. 如图，在半径为 2，圆心角为 90的扇形内，以 BC 为直径作半圆，交弦 AB 于点 D，连接 CD，则阴影部分的面积为 ( ) A. -1 B.2 -1 C.12 -1 D.12 -2 解析：因为 BC 为直径，根据圆周角定理得 CDB=90，在等腰直角三角形 ABC 中， CD 垂直平分 AB， CD=DB，即 D 为半圆的中点，所以阴影部分的面积可以看做是扇形 ACB 的面积与ADC 的面积之差 . 在 Rt ACB 中，
8、 AB= 22 =2 2 ， BC 是半圆的直径， CDB=90， 在等腰 Rt ACB 中， CD 垂直平分 AB， CD=BD= 2 ， D 为半圆的中点， S 阴影 部分 =S 扇形 ACB-S ADC=14 22-12 ( 2 )2= -1. 答案： A. 10. 如图 1， E为矩形 ABCD边 AD上的一点，点 P从点 B沿折线 BE-ED-DC运动到点 C时停止，点 Q 从点 B 沿 BC 运动到点 C 时停止，它们运动的速度都是 2cm/s.若 P、 Q 同时开始运动，设运动时间为 t(s)， BPQ 的面积为 y(cm2)，已知 y 与 t 的函数关系图象如图 2，则下列结论
9、错误的是 ( ) A.AE=12cm B.sin EBC= 74C.当 0 t 8 时， y=516t2 D.当 t=9s 时， PBQ 是等腰三角形 解析：由图 2 可知，在点 (8， 20)至点 (10， 20)区间， BPQ 的面积不变，因此可推论 BC=BE，由此分析动点 P 的运动过程如下： (1)在 BE 段， BP=BQ；持续时间 8s，则 BE=BC=16； y 是 t 的二次函数； (2)在 ED 段， y=20 是定值，持续时间 2s，则 ED=4； (3)在 DC 段， y 持续减小直至为 0， y 是 t 的一次函数 . A、分析函数图象可知， BC=16cm， ED=
10、4cm，故 AE=AD-ED=BC-ED=16-4=12cm，故正确； B、如答图 1 所示，连接 EC，过点 E 作 EF BC 于点 F， 由函数图象可知， BC=BE=16cm， ED=4cm，则 BF=12cm， 由勾股定理得， EF=4 7 ， sin EBC= 4 7 71 6 4EFBE ，故正确； C、如答图 2 所示，过点 P 作 PG BQ 于点 G， BQ=BP=2t， y=S BPQ= 21 1 1 5 5222 2 2 3 2 1 6B Q P G B Q B P s i n E B C t t t . 故正确； D、当 t=9s 时，点 Q 与点 C 重合，点 P
11、运动到 ED 的中点，设为 N，如答图 3 所示，连接 NB，NC. 此时 AN=14， ND=2，由勾股定理求得： NB= 8092， NC= 414， BC=16， BCN 不是等腰三角形，即此时 PBQ 不是等腰三角形 . 故错误； 答案 ： D. 二、 填空题 (共 6 小题，每小题 3 分，满分 18 分 ) 11. 分解因式： -2xy2+8x= . 解析：考查提公因式法与公式法的综合运用 .原式提取公因式，再利用平方差公式分解：原式 =-2x(y2-4)=-2x(y+2)(y-2). 答案： -2x(y+2)(y-2) 12. 如图，小明从 A 点出发，沿直线前进 12 米后向左
12、转 36，再沿直线前进 12 米，又向左转 36照这样走下去，他第一次回到出发地 A 点时，一共走了 米 . 解析：因为多边形的外角和为 360，又因为小明每次左转 36， 360 36 =10，所以第一次回到出发地 A 点时，小明行走路线正十边形，走的路程即该正十边形的周长： 1210=120(米 )，所以小明第一次回到出发地 A 点时，一共走了 120 米 . 答案： 120. 13. 函数 y=2xx的自变量 x 的取值范围是 . 解析：根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于 0，分母不等于 0，即 x 0且 x+2 0，解得： x 0. 答案： x 0. 14. 一组数据
13、3， 5， a， 4， 3 的平均数是 4，这组数据的方差为 . 解析：考查方差，算术平均数 .根据平均数的计算公式先求出 a 的值，再根据方差公式 S2= 2 2 2121 ( x ) ( x ) ( x ) nx x xn ，将各个数据代入求值即可： 3， 5， a， 4， 3 的平均数是 4， (3+5+a+4+3) 5=4，解得： a=5，则这组数据的方差 S2=15(3-4)2+(5-4)2+(5-4)2+(4-4)2+(3-4)2=0.8， 答案 0.8. 15. 某校要组织一次乒乓球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排 2 天，每天安排 5
14、场比赛 .设比赛组织者应邀请 x 个队参赛，则 x 满足的方程为 . 解析：由题意得，每支球队都需要与其他球队赛 (x-1)场，但 2 队之间只有 1 场比赛，所以可列方程为： 12x(x-1)=2 5. 答案 ： 12x(x-1)=2 5. 16. 如图， AB 为 O 的直径， AB=AC， BC 交 O 于点 D， AC 交 O 于点 E， BAC=45，给出以下五个结论： EBC=22.5； BD=DC； AE=2EC；劣弧 AE 是劣弧 BD 的 2 倍；AE=BC，其中正确的序号是 . 解析：根据圆周角定理，等边对等角，等腰三角形的性质，直径对的圆周角是直角等知识，对各个结论逐条分
15、析判断：连接 AD， AB 是直径，则 AD BC， 又 ABC 是等腰三角形，故点 D 是 BC 的中点，即 BD=CD，故正确； AD 是 BAC 的平分线， 由圆周角定理知， EBC= DAC=12 BAC=22.5，故正确； ABE=90 - EBC- BAD=45 =2 CAD，故正确； EBC=22.5， 2EC BE， AE=BE， AE 2CE，不正确； AE=BE， BE 是直角边， BC 是斜边，肯定不等，故错误 . 综上所述，正确的结论是： . 答案： . 三、 解答题 (共 8 小题，满分 72 分 ) 17. (1)计算： -4sin30 +(2015- )0-(-3
16、)2. 解析：原式第一项利用算术平方根定义计算，第二项利用特殊角的三角函数值计算，第三项利用零指数幂法则计算，最后一项利用乘方的意义化简 . 答案：原式 =3-4 12+1-9=-7. (2)先化简，再求值： 22221 2 4 4x y x yx y x x y y ，其中 x、 y 满足 |x-2|+(2x-y-3)2=0. 解析： 原式第二项利用除法法则变形，约分后两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分得到最简结果，利用非负数的性质求出 x 与 y 的值，代入计算 即可 . 答案： 原式 = 22 22112 xyx y x y x y x y yx y x y x y x y x
17、 y x y ， |x-2|+(2x-y-3)2=0， 2023xxy，解得： 21xy， 当 x=2， y=1 时，原式 = 13. 18. 我市某超市举行店庆活动，对甲、乙两种商品实行打折销售，打折前，购买 2 件甲商品和 3 件乙商品需要 180 元；购买 1 件甲商品和 4 件乙商品需要 200 元，而店庆期间，购买10 件甲商品和 10 件乙商品仅需 520 元，这比打折前少花多少钱？ 解析：考查二元一次方程组的应用 .设甲商品单价为 x 元，乙商品单价为 y 元，根据购买 3件甲商品和 1件乙商品需用 180元；购买 1件甲商品和 4件乙商品需用 200元，列出方程组，继而可计算购
18、买 10 件甲商品和 10 件乙商品需要的花费，也可得出比不打折前少花多少钱 . 答案：设打折前甲商品的单价为 x 元，乙商品 的单价为 y 元， 由题意得： 2 3 1804 200xyxy，解得： 2444xy. 打折后实际花费： 10 (24+44)=680(元 )，则购买 10 件甲商品和 10 件乙商品需要 520 元，这比不打折前少花 160 元 .答：这比不打折前少花 160 元 . 19. 为了提高学生书写汉字的能力 .增强保护汉字的意识，我区举办了“汉字听写大赛”，经选拔后有 50 名学生参加决赛，这 50 名学生同时听写 50 个汉字，若每正确听写出一个汉字得 1 分，根据
19、测试成绩绘制出部分频数分布表和部分频数分布直方图如图表： 组别成绩 x 分频数 (人数 ) 请结合图表完成下列各题： (1)求表中 a 的值； 解析：考查频数分布表 .根据各频数相加和为总人数得， a 的值可用总数 50 减去其他各组的频数求得 . 答案： a=50-4-6-14-10=16. (2)请把频数分布直方图补充完整； 解析：考查频数分布直方图 .根据频数分布表和 (1)的结果即可把频数分布直方图补充完整 . 答案：如图所示： (3)若测试成绩不低于 40 分为优秀，则本次测试的优秀率是多少？ 解析： 根据百分比的意义即可求解 . 答案 本次测试的优秀率是： 16 1050 100%
20、=52%. 20. 在一个不透明的盒子里，装有四个分别标有数字 1， 2， 3， 4 的小球，他们的形状、大小、质地等完全相同 .小兰先从盒子里随机取出一个小球，记下数字为 x，放回盒子，摇匀后，再由小田随机取出一个小球，记下数字为 y (1)用列表法或画树状图法表示出 (x， y)的所有可能出现的结果 . 解析：考查列表法与树状图法，列表得出所有等可能的情况数即可 . 答案：列表如下： 1 2 3 4 1 (1， 1) (2， 1) (3， 1) (4， 1) 2 (1， 2) (2， 2) (3， 2) (4， 2) 3 (1， 3) (2， 3) (3， 3) (4， 3) 4 (1，
21、4) (2， 4) (3， 4) (4， 4) 所有等可能的结果有 16 种，分别为 (1， 1)； (1， 2)； (1， 3)； (1， 4)； (2， 1)； (2， 2)；(2， 3)； (2， 4)； (3， 1)； (3， 2)； (3， 3)； (3， 4)； (4， 1)； (4， 2)； (4， 3)； (4， 4). (2)求小兰、小田各取一次小球所确定的点 (x， y)落在反比例函数 y=6x的图象上的频率 . 解析：考查反比例函数图象上点的坐标特征 .找出点 (x， y)落在反比例函数 y=6x的图象上的情况数，与总情况数的比例，即可求出所求的概率 . 答案：其中点 (
22、x， y)落在反比例函数 y=6x的图象上的情况有： (2， 3)； (3， 2)共 2 种， 则 P(点 (x， y)落在反比例函数 y=6x的图象上 )= 2116 8. (3)求小兰、小田各取一次小球所确定的数 x， y 满足 y 6x的概率 . 解析：考查反比例函数图象上点的坐标特征 .找出所确定的数 x， y 满足 y 6x的情况数， 与总情况数的比例，即可求出所求的概率 . 答案： 所确定的数 x， y 满足 y 6x的情况有： (1， 1)； (1， 2)； (1， 3)； (1， 4)； (2， 1)；(2， 2)； (3， 1)； (4， 1)共 8 种，则 P(所确定的数
23、x， y 满足 y 6x)= 8116 2. 21. 如图，在 ABC 中， CD 是 AB 边上的中线， F 是 CD 的中点，过点 C 作 AB 的平行线交 BF的延长线于点 E，连接 AE. (1)求证： EC=DA. 解析： (1)考查平行线的性质和全等三角形的判定与性质 .根据平行线的性质得出 FEC=DBF， ECF= BDF， F 是 CD 的中点，得出 FD=CF，再利用 AAS 证明 FEC 与 DBF 全等，根据全等三角形的性质进一步即可证得 . 答案： (1)证明： EC AB， FEC= DBF， ECF= BDF， F 是 CD 的中点， FD=CF， 在 FEC 与
24、 DBF 中， F E C D B FE C F B D FF D C F， FEC DBF， EC=BD， 又 CD 是 AB 边上的中线， BD=AD， EC=AD. (2)若 AC CB，试判断四边形 AECD 的形状，并证明你的结论 . 解析： (2)利用直角三角形的性质：斜边上的中线等于斜边的 12，得出 CD=DA，进一步得出结论即可 . 答案： (2)四边形 AECD 是菱形 . 证明： EC=AD， EC AD， 四边形 AECD 是平行四边形， AC CB， CD 是 AB 边上的中线， CD=AD=BD， 四边形 AECD 是菱形 . 22. 如图，四边形 ABCD 为正方
25、形，点 A 的坐标为 (0， 1)，点 B 的坐标为 (0， -2)，反比例函数 y=kx的图象经过点 C，一次函数 y=ax+b 的图象经过 A、 C 两点 . (1)求反比例函数与一次函数的解析式 . 解析：先根据 A 点和 B 点的坐标得到正方形的边长，则 BC=3，于是可得到 C(3， -2)，然后利用待定系数法求反比例函数与一次函数的解析式 . 答案：点 A 的坐标为 (0， 1)，点 B 的坐标为 (0， -2)， AB=1+2=3， 四边形 ABCD 为正方形， BC=3， C(3， -2)， 把 C(3， -2)代入 y=kx得 k=3 (-2)=-6， 反比例函数解析式为 y
26、= 6x， 把 C(3， -2)， A(0， 1)代入 y=ax+b 得 321abb ，解得 11ab， 一次函数解析式为 y=-x+1. (2)求反比例函数与一次函数的另一个交点 M 的坐标 . 解析：通过解关于反比例函数解析式与一次函数的解析式所组成的方程组即可得到 M 点的坐标 . 答案：解方程组 6 1y xyx=得 32xy=或 23xy=， M 点的坐标为 (-2， 3). (3)若点 P 是反比例函数图象上的一点， OAP 的面积恰好等于正方形 ABCD 的面积，求 P 点的坐标 . 解析： 设 P(t， 6t)，根据三角形面积公式和正方形面积公式得到 12 1 |t|=3 3
27、， 解绝对值方程 即可 求出 t 即可得到 P 点坐标 . 答案： 设 P(t， 6t)， OAP 的面积恰好等于正方形 ABCD 的面积， 12 1 |t|=3 3，解得 t=18 或 t=-18， P 点坐标为 (18， 13)或 (-18， 13). 23. 如图， AB 是 O 的直径，点 C 是 AB 的中点， O 的切线 BD 交 AC 的延长线于点 D， E是 OB 的中点， CE 的延长线交切线 BD 于点 F， AF 交 O于点 H，连接 BH. (1)求证： AC=CD. 解析：连接 OC，由 C 是 AB 的中点， AB 是 O 的直径，则 CO AB，再由 BD 是 O
28、 的切线，得 BD AB，从而得出 OC BD，即可证明 AC=CD. 答案： (1)证明：连接 OC， C 是 AB 的中点， AB 是 O 的直径， CO AB， BD 是 O 的切线， BD AB， OC BD， OA=OB， AC=CD. (2)若 OC= 5 ，求 BH 的长 . 解析： 根据点 E 是 OB 的中点，得 OE=BE，可证明 COE FBE(ASA)，则 BF=CO，即可得出BF=2，由勾股定理得出 AF= 22AB BF ，由 AB 是直径，得 BH AF，可证明 ABF BHF，即可得出 BH 的长 . 答案： E 是 OB 的中点， OE=BE， 在 COE 和
29、 FBE 中， C E O F E BO E B EC O E F B E， COE FBE(ASA)， BF=CO， OB= 5 ， BF= 5 ， AF= 22AB BF =5， AB 是直径， BH AF， ABF BHF， AB AFBH BF， AB BF=AF BH， 2 5 5 25A B B FBH AF . 24. 如图所示，抛物线 y=ax2+bx+4与 x 轴交于 A， B 两点，与 y 轴交于 C 点，且 A(-2， 0)、B(4， 0)，其原点为 D，连接 BD，点 P 是线段 BD 上的一个动点 (不与 B、 D 重合 )，过点 P 作y 轴的垂线，垂足为 E，连接
30、 BE. (1)求抛物线的解析式，并写出 顶 点 D 的坐标 . 解析： (1)本题需先根据抛物线 y=ax2+bx+4(a 0)经过 A(-2， 0)、 B(4， 0)两点，分别求出 a、b 的值，再代入抛物线 y=ax2+bx+4 即可求出它的解析式 . 答案： (1)抛物线 y=ax2+bx+4(a 0)经过 A(-2， 0)、 B(4， 0)两点 把 (-2， 0)、 B(4， 0)代入抛物线得： a= 12， b=1， 抛物线解析式为： y= 12x2+x+4. 顶点 D 的坐标为 (1， 92). (2)设 P 点的坐标为 (x， y)， PBE 的面积为 S，求 S 与 x 之间
31、的函数关系式，写出自变量 x的取值范围，并求出 S 的最大值 . 解析： (2)本题首先设出 BD 解析式 y=kx+b，再把 B、 D 两点坐标代入求出 k、 b 的值，得出BD 解析式，再根据面积公式即可求出最大值 . 答案： (2)设直线 BD 解析式为： y=kx+b(k 0)，把 B、 D 两点坐标代入， 得 4 920kbkb =，解得 326kb ， 直线 BD 解析式为 y= 32x+6， S=12PE OE， S=12PE OE=12xy=12x( 32x+6)= 34x2+3x， 顶点 D 的坐标为 (1， 92)， B(4， 0) 1 x 4， S= 34x2+3x(1
32、x 4)， S= 34(x2-4x+4)+3， = 34(x-2)2+3， 当 x=2 时， S 取得最大值，最大值为 3. (3)在 (2)的条件下，当 S 取值最大值时，过点 P作 x 轴的垂线，垂足为 F，连接 EF， PEF沿直线 EF 折叠，点 P 的对应点为点 P，请直接写出 P点的坐标，并判断点 P是否在该抛物线上 . 解析： (3)本题需先根据 (2)得出最大值来，求出点 P 的坐标，得出四边形 PEOF 是矩形，再作点 P 关于直线 EF 的对称点 P设出 MC=m，则 MF=m.从而得出 P M 与 P E 的值，根据勾股定理，得出 m 的值，再由 EHP EP M，得出
33、EH 和 OH 的值，最后求出 P的坐标，判断出不在抛物线上 . 答案： (3)如图： 当 S 取得最大值， x=2， y=3， P(2， 3)， 四边形 PEOF 是矩形 . 作点 P 关于直线 EF 的对称点 P，连接 P E， P F. 过 P作 P H y 轴于 H， P F 交 y 轴于点 M， 设 MC=m，则 MF=m， P M=3-m， P E=2， 在 Rt P MC 中，由勾股定理， 22+(3-m)2=m2， 解得 m=136， CM P H=P M P E， P H=1013， 由 EHP EP M， 可得 EH EPEP EM， 21326EH ， 解得： EH=2413. OH=3-2413=1513. P坐标 ( 1013， 1513). 不在抛物线上 .
