1、MPA 公共管理硕士综合知识数学微积分（多元函数微分学）-试卷 1及答案解析(总分：66.00，做题时间：90 分钟)一、数学部分(总题数：36，分数：66.00)1.选择题_2. （分数：2.00）A.dx+dy+dzB.dxdy+dzC.dx+dyD.dxdy3.设 z(x，y)是由方程 e z =xyz 所确定的隐函数，则 dz 等于( ) （分数：2.00）A.B.C.D.4.设 z= +y(x+y)，其中 f， 二阶可导，则 （分数：2.00）A.yf x “(xy)+ x “(x+y)+y“(x+y)B.(x+y)+y“(x+y)C.yf“(x+y)+(x+y)D.yf“(xy)+
2、(x+y)+y“(x+y)5.设 f(x，y)=x 3 一 4x 2 +2xyy 2 ，则下列结论正确的是( )（分数：2.00）A.(2，2)是极小值点B.(0，0)是极大值点C.(0，0)是极小值点D.(0，0)是 f(x，y)的驻点，但不是极值点6.设 f(x，y，z)=xy 2 z 3 ，而 z=z(x，y)是由 x 2 +y 2 +z 2 -3xyz=0 所确定的隐函数，则 为( ) （分数：2.00）A.B.C.D.7.已知微分式 （分数：2.00）A.2B.1C.-1D.-28.方程 xy=e x+y 一 e 确定 y 对 x 的隐函数，dy 为( ) （分数：2.00）A.B.
3、C.D.9.若f“(x 3 )dx=x 3 +C，则 f(x)等于( )（分数：2.00）A.x+CB.x 3 +CC.D.10.填空题_11.已知 f(xy，x+y)=x 2 +y 2 +xy，则 （分数：2.00）填空项 1:_12.若 f(t)可微，且满足 （分数：2.00）填空项 1:_13.设 y=y(x)由方程 y=f(x 2 +y 2 )+f(x+y)所确定，y(0)=2，其中 f(x)是可导函数，且 f“(2)= （分数：2.00）填空项 1:_14.由 确定可微函数 z=z(x，y)(f 也可微)，则 （分数：2.00）填空项 1:_15.设变换 可把方程 简化为 （分数：2
4、.00）填空项 1:_16.设 f(x，y，z)= （分数：2.00）填空项 1:_17.函数 z=xy(1 一 x-y)的极值点是 1（分数：2.00）填空项 1:_18.函数 z=2xy 在以 A(1，0)，B(0，1)，C(一 1，0)为顶点的三角形区域 D 上的最小值为 1（分数：2.00）填空项 1:_19.设 z(x，y)=(1 一 y 2 )f(y 一 2x)，且已知 f“(y)= （分数：2.00）填空项 1:_20.设 z=z(x，y)由方程 y+z=xf(y 2 一 z 2 )确定，f 可微，则 （分数：2.00）填空项 1:_21.已知函数 f(x+y，xy)=x 2 一
5、 y 2 ，则 （分数：2.00）填空项 1:_22.曲面 z 2 一 xy=1 到原点最短的距离 d 等于 1（分数：2.00）填空项 1:_23.设函数 z=z(x，y)由方程 x 一 az=(y 一 bz)确定，且 为可导函数，则 （分数：2.00）填空项 1:_24.计算题_25.求函数 f(x，y)=x 2 +y 3 一 3xy 的极值（分数：2.00）_26.求函数 u=f(x，y，z)=x+y+z 在约束条件 xyz=a 3 下的条件极值，其中 x，y，z，a 均大于零（分数：2.00）_27.设函数 （分数：2.00）_28.设函数 f(x，y)=(x 2 +y) ，求 f x
6、 “(x，2x)，f y “(x，2x)和 （分数：2.00）_29.设 f(x+y， （分数：2.00）_30.设函数 （分数：2.00）_31. （分数：2.00）_32.若 z=xf(x+y)+yg(x 一 y),f 和 g 有二阶连续导数，求 （分数：2.00）_33.求由方程 （分数：2.00）_34.已知 （分数：2.00）_35.求函数 f(x，y，z)=xyz 在条件 （分数：2.00）_36.求函数 （分数：2.00）_MPA 公共管理硕士综合知识数学微积分（多元函数微分学）-试卷 1答案解析(总分：66.00，做题时间：90 分钟)一、数学部分(总题数：36，分数：66.0
7、0)1.选择题_解析：2. （分数：2.00）A.dx+dy+dzB.dxdy+dzC.dx+dyD.dxdy 解析：解析：3.设 z(x，y)是由方程 e z =xyz 所确定的隐函数，则 dz 等于( ) （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：由 e z =xyz，两边同时对 x 求偏导得 4.设 z= +y(x+y)，其中 f， 二阶可导，则 （分数：2.00）A.yf x “(xy)+ x “(x+y)+y“(x+y)B.(x+y)+y“(x+y)C.yf“(x+y)+(x+y)D.yf“(xy)+(x+y)+y“(x+y) 解析：解析：5.设 f(x，y)=x 3 一 4x
8、 2 +2xyy 2 ，则下列结论正确的是( )（分数：2.00）A.(2，2)是极小值点B.(0，0)是极大值点 C.(0，0)是极小值点D.(0，0)是 f(x，y)的驻点，但不是极值点解析：解析：由于 6.设 f(x，y，z)=xy 2 z 3 ，而 z=z(x，y)是由 x 2 +y 2 +z 2 -3xyz=0 所确定的隐函数，则 为( ) （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：由方程 x 2 +y 2 +z 2 一 3xyz=0，对 x 求导 7.已知微分式 （分数：2.00）A.2 B.1C.-1D.-2解析：解析：由题意8.方程 xy=e x+y 一 e 确定 y 对
9、 x 的隐函数，dy 为( ) （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：对方程两端求微分，xdy+ydx=e x+y (dx+dy)，则 9.若f“(x 3 )dx=x 3 +C，则 f(x)等于( )（分数：2.00）A.x+CB.x 3 +CC. D.解析：解析：由f“(x 3 )dx=x 3 +C 知 f“(x 3 )=3x 2 令 x 3 =u，则 10.填空题_解析：11.已知 f(xy，x+y)=x 2 +y 2 +xy，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：一 1，2y）解析：解析：由已知 f(xy，x+y)=x 2 +y 2 +xy=(x+y) 2
10、 一 xy 令 xy=u，x+y=v，则 f(u，v)=v 2 一u，即 f(x，y)=y 2 一 x，所以 12.若 f(t)可微，且满足 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：xy）解析：解析： 13.设 y=y(x)由方程 y=f(x 2 +y 2 )+f(x+y)所确定，y(0)=2，其中 f(x)是可导函数，且 f“(2)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：利用隐函数求导公式设 F(x，y)=yf(x 2 +y 2 )一 f(x+y)， 令 x 2 +y 2 =u，x+y=v，则有 F x “=一 f“(u).2x 一 f“(
11、v).1，F x “| x=0 =一 f“(2)= F y “=1 一 f“(u).2y 一 f“(v).1,F y “| x=0 = 14.由 确定可微函数 z=z(x，y)(f 也可微)，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：z）解析：解析：对 =0 关于 x 求导，得15.设变换 可把方程 简化为 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：3）解析：解析： 将上述结果代入原方程，经整理后得 16.设 f(x，y，z)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2(zy)）解析：解析：把行列式按第一列展开得 f(x，y，z)=x 2 (z
12、 一 y)+g 1 (x)， 其中 g 1 (x)为 x 的一次多项式，则 17.函数 z=xy(1 一 x-y)的极值点是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：因为18.函数 z=2xy 在以 A(1，0)，B(0，1)，C(一 1，0)为顶点的三角形区域 D 上的最小值为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：一 2）解析：解析：由 =20 知最值只可能在 D 的边界上取得，如图 16219.设 z(x，y)=(1 一 y 2 )f(y 一 2x)，且已知 f“(y)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：一 2
13、）解析：解析：由 有 20.设 z=z(x，y)由方程 y+z=xf(y 2 一 z 2 )确定，f 可微，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y）解析：解析：令 F(x，y，z)=y+zxf(y 2 一 z 2 )，所以 21.已知函数 f(x+y，xy)=x 2 一 y 2 ，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：x+y）解析：解析：f(x+y，xy)=x 2 一 y 2 =(x+y)(xy) 令 u=x+y， v=xy， f(u,v)=uv， 22.曲面 z 2 一 xy=1 到原点最短的距离 d 等于 1（分数：2.00）填空项 1:_ （
14、正确答案：正确答案：1）解析：解析：设曲面上任意一点为(x，y，z)，则该点到原点距离的平方：d 2 =x 2 +y 2 +z 2 ，其中(x，y，z)满足 z 2 一 xy=1 设 F(x，y，z，)=x 2 +y 2 +z 2 +(z 2 一 xy 一 1)，则有 23.设函数 z=z(x，y)由方程 x 一 az=(y 一 bz)确定，且 为可导函数，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：令 F(x，y，z)=x 一 az 一 “(ybz)，则 F x =1，F y =一 ，F z =一 a+b，于是 24.计算题_解析：25.求函数 f(x，y)=
15、x 2 +y 3 一 3xy 的极值（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：函数 f(x，y)的定义域为 xOy 平面，由 )解析：26.求函数 u=f(x，y，z)=x+y+z 在约束条件 xyz=a 3 下的条件极值，其中 x，y，z，a 均大于零（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由约束条件解出 于是该条件极值问题便化为求函数 在 xOy 平面上的第一象限内的极值问题 由 求得稳定点为(a，a)，这时对应的 z 0 =a 再来判定(a，a)点是否为极值点： )解析：27.设函数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：这是要求初等函数 z 在点(0，1)处的偏导数，我们按偏导数
16、定义来计算更为简洁 )解析：28.设函数 f(x，y)=(x 2 +y) ，求 f x “(x，2x)，f y “(x，2x)和 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 也可用链式法则计算 =f x “(x，2x)+2f y “(x，2x)=2(1+x+6x 3 +3x 4 ) )解析：29.设 f(x+y， （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：先应求函数 f 的表达式 由此可知有 )解析：30.设函数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：先求函数 f 的一阶偏导数 f x “(x，y) 当(x，y)(0，0)时，有 当(x，y)=(0，0)时，按偏导数的定义有 由此按二阶偏
17、导数的定义，有 )解析：31. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：先应将带绝对值的函数写成分片函数 当(x，y)I 且不是(0，0)点时，有 当(x，y)=(0，0)时，则有 当(x,y)D 1 时，有 当(x，y)D 2 时，有 )解析：32.若 z=xf(x+y)+yg(x 一 y),f 和 g 有二阶连续导数，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对函数 z 求全微分，有 dz=f(x+y)dx+xf(x+y)(dx+dy)+g(xy)dy+yg(xy)(dxdy) 由此可知 再利用链式法则求函数 z 的二阶偏导数， 由此可得 )解析：33.求由方程 （分数：2.00）_
18、正确答案：(正确答案：等式两边求全微分，有 将 x=1，y=0，z=一 1 代入上式，可得 )解析：34.已知 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对 两边求全微分，有 当 x 增加一个单位为足够小时，即x=1 时，有函数 u 的改变量 x u=u(x+x，y，z)一 u(x，y，z) 同理有 y u=u(x，y+y，z)一u(x，y，z) z u=u(x，y，z+z)一 u(x，y，z) 由 xyz1，x=y=z=1 可知 )解析：35.求函数 f(x，y，z)=xyz 在条件 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：本题采用拉格朗日 乘数法更为简洁 构造辅助函数 则 由可得， ，即
19、 x=y=z，代入，有 x=y=z=3r，即条件极值有唯一的稳定点(3r，3r，3r) 再判定稳定点是否是极值点，是极小值点还是极大值点因为条件极值问题相当于函数 g(x，y)=f(x，y，z(x，y)的一般极值问题，由 )解析：36.求函数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：易知函数 z 的定义域为有界闭区域 D=(x，y)|x 2 +y 2 1)，由有界闭区域上连续函数的性质可知，函数 z 的值域由 z 的最小值与最大值确定故求函数 z 的值域化为求函数 z 在区域 D上的最小值与最大值问题 由 可知函数 z 的稳定点为 再比较函数在 P 0 ，P 1 ，P 2 ，P 3 ，P 4 点及区域 D 的边界点上的函数值： z(P)=0， PI=(x，y)|x 2 +y 2 =1， z(P 0 )=0， )解析：
