1、MPA 公共管理硕士综合知识数学微积分（多元函数微分学）-试卷 2及答案解析(总分：74.00，做题时间：90 分钟)一、数学部分(总题数：40，分数：74.00)1.选择题_2.设由方程 （分数：2.00）A.xz x “+yz y “=0B.z x “+z y “=zC.z x “+z y “=0D.xz x “+yz y “=z3.设函数 ln(1+x 2 +y 2 )，其中函数 f(u，v)有连续的一阶偏导数，则 （分数：2.00）A.不存在B.0C.f u “(0，0)D.2f u “(0，0)+2f v “(0，0)4.设函数 （分数：2.00）A.原点(0，0)为该函数的驻点，但
2、非极值点B.原点(0，0)为该函数的驻点，且为极小值点C.原点(0，0)为该函数的驻点，且为极大值点D.原点(0，0)是该函数的极小值点5.某产品的产量 Q 与原料 A，B，C 的数量 x，y，z(单位均为吨)满足 Q=005xyz，已知 A，B，C 的价格分别是 3，2，4(百元)，若用 5 400 元购买 A，B，C 三种原料，则使产量最大的 A，B，C 的采购量分别为( )（分数：2.00）A.6，9，45(吨)B.2，4，8(吨)C.2，3，6(吨)D.2，2，2(吨)6.已知函数 z=f(xy，x+y)，记 f 1 “为 f 对第一个变量 xy 的导数，f 2 “为 f 对第二个变量
3、 x+y 的导数，则 （分数：2.00）A.yf 1 “+f 2 “,xf 1 “+f 2 “B.f 1 “，f 2 “C.y(f 1 “+f 2 “)，x(f 1 “+f 2 “)D.yf 1 “，f 2 “7.某工厂生产 A，B 两种产品，每件售价分别为 10 元和 9 元，A，B 两种产品各生产 x 件和 y 件的总费用是 W=400+2x+3y+001(3x 2 +xy+3y 2 )(元)，则 x，y 各为多少时，取得利润最大( )（分数：2.00）A.100(件)，80(件)B.120(件)，80(件)C.80(件)，80(件)D.50(件)，60(件)8.某产品的产量 Q 与所用两
4、种原料 A，B 的数量 x，y(吨)有关系式 Q=005x 2 y，已知 A，B 原料每吨的价格分别为 1，2(百元)，欲用 4 500 元购买 A，B 两种原料，则使产量 Q 最多的 A，B 的进料量为( )（分数：2.00）A.20(吨)，10(吨)B.15(吨)，10(吨)C.30(吨)，75(吨)D.25(吨)，15(吨)9.设函数 z=f(x，y)在点(x 0 ，y 0 )处存在对 x，y 的偏导数，则 f x “(x 0 ，y 0 )等于( ) （分数：2.00）A.B.C.D.10.函数 f(x，y)在点 P 0 (x 0 ，y 0 )处偏导数存在，是 f(x，y)在该点处( )
5、（分数：2.00）A.连续的充分条件B.连续的必要条件C.可微的必要条件D.可微的充分条件11.利用变量替换 u=x，v= 一定可以把方程 化为新的方程( ) （分数：2.00）A.B.C.D.12.设函数 z=3axyx 3 一 y 3 (a0)，则( )（分数：2.00）A.在点(a，a)处取得极大值 a 3B.在点(a，a)处取得极小值 a 3C.在点(0，0)处取得极小值 0D.在点(0，0)处取得极大值 013.设函数 z=f(x，y)，有 （分数：2.00）A.1 一 xy+y 2B.1+xy+y 2C.1 一 x 2 y+y 2D.1+x 2 y+y 214.设 z= ，F(u)
6、二阶可导，则 等于( ) （分数：2.00）A.B.C.D.15.设 z=(lny) xy ，则 （分数：2.00）A.xy(lny) xy-1B.(lny) xy ln(lny)C.x(lny) xy ln(lny)D.y(lny) xy ln(lny)16.设 M(x，y，z)为平面 x+y+z=1 上的点，且该点到两定点(1，0，1)，(2，0，1)的距离平方之和为最小，则此点坐标为( ) （分数：2.00）A.B.C.D.17.填空题_18.若 f(x，y)=ln(x 2 +y 2 )，则函数 ()= （分数：2.00）填空项 1:_19.设 z=xf(x 2 +y 2 )，其中 f(
7、u)具有二阶连续导数，则 （分数：2.00）填空项 1:_20.设 g(x，y)=x y 一 y z ，则 （分数：2.00）填空项 1:_21.设函数 z=z(x，y)由方程 所确定，则 （分数：2.00）填空项 1:_22.函数 f(x，y)=e 2x (x+y 2 一 2y)的极小值为 1（分数：2.00）填空项 1:_23.二元函数 z=x 3 一 y 3 +3x 2 +3y 2 一 9x 的极小点是 1（分数：2.00）填空项 1:_24.设函数 （分数：2.00）填空项 1:_25.设函数 （分数：2.00）填空项 1:_26.设函数 u=u(x，y，z)由方程 F(u 2 一 x
8、 2 ，u 2 一 y 2 ，u 2 -z 2 )=0 所确定，则 （分数：2.00）填空项 1:_27.函数 f(x，y)=e 2x (x+y 2 +2y)的极大值为 1（分数：2.00）填空项 1:_28.设 （分数：2.00）填空项 1:_29. （分数：2.00）填空项 1:_30.计算题_31.设 f(x，y)= （分数：2.00）_32. （分数：2.00）_33.设 u=sinx 2 +f(y，yz)，求 （分数：2.00）_34.求函数 （分数：2.00）_35. （分数：2.00）_36.求函数 z=x y 的偏导数（分数：2.00）_37.求函数 （分数：2.00）_38.
9、设函数 z=f(t，x，y)可微，x=x(t)，y=y(t)可导，试求 （分数：2.00）_39.设函数 u=f(x，xy，xyz)，求 （分数：2.00）_40.设函数 z=z(x，y)是由方程 z 3 -3xyz=a 3 所确定的隐函数，试求 z x “和 z y “（分数：2.00）_MPA 公共管理硕士综合知识数学微积分（多元函数微分学）-试卷 2答案解析(总分：74.00，做题时间：90 分钟)一、数学部分(总题数：40，分数：74.00)1.选择题_解析：2.设由方程 （分数：2.00）A.xz x “+yz y “=0B.z x “+z y “=zC.z x “+z y “=0D
10、.xz x “+yz y “=z 解析：解析：利用隐函数定理求偏导数，即令 G(x，y，z)= ,则有3.设函数 ln(1+x 2 +y 2 )，其中函数 f(u，v)有连续的一阶偏导数，则 （分数：2.00）A.不存在B.0C.f u “(0，0)D.2f u “(0，0)+2f v “(0，0) 解析：解析：因为 由于 f(u，v)没有二阶偏导数存在，我们必须由二阶偏导数 的定义来解， 即 可见 4.设函数 （分数：2.00）A.原点(0，0)为该函数的驻点，但非极值点B.原点(0，0)为该函数的驻点，且为极小值点C.原点(0，0)为该函数的驻点，且为极大值点D.原点(0，0)是该函数的极
11、小值点 解析：解析：因为函数 5.某产品的产量 Q 与原料 A，B，C 的数量 x，y，z(单位均为吨)满足 Q=005xyz，已知 A，B，C 的价格分别是 3，2，4(百元)，若用 5 400 元购买 A，B，C 三种原料，则使产量最大的 A，B，C 的采购量分别为( )（分数：2.00）A.6，9，45(吨) B.2，4，8(吨)C.2，3，6(吨)D.2，2，2(吨)解析：解析：首先应将应用问题化为一个求函数的最大值或最小值问题，即本题可归结为求条件极值问题Q=005xyz 在约束条件 3x+2y+4z=54 下的最大值点由约束条件解出 代入函数 Q，使问题化为求函数 的最大值点6.已
12、知函数 z=f(xy，x+y)，记 f 1 “为 f 对第一个变量 xy 的导数，f 2 “为 f 对第二个变量 x+y 的导数，则 （分数：2.00）A.yf 1 “+f 2 “,xf 1 “+f 2 “ B.f 1 “，f 2 “C.y(f 1 “+f 2 “)，x(f 1 “+f 2 “)D.yf 1 “，f 2 “解析：解析： =f 1 “.(xy) x “+f 2 “(x+y) x “=yf 1 “+f 2 “， 7.某工厂生产 A，B 两种产品，每件售价分别为 10 元和 9 元，A，B 两种产品各生产 x 件和 y 件的总费用是 W=400+2x+3y+001(3x 2 +xy+
13、3y 2 )(元)，则 x，y 各为多少时，取得利润最大( )（分数：2.00）A.100(件)，80(件)B.120(件)，80(件) C.80(件)，80(件)D.50(件)，60(件)解析：解析：设总利润函数为 L(x，y)=(10x+9y)一400+2x+3y+001(3x 2 +xy+3y 2 ) =8x+6y 一001(3x 2 +xy+3y 2 )一 400， 8.某产品的产量 Q 与所用两种原料 A，B 的数量 x，y(吨)有关系式 Q=005x 2 y，已知 A，B 原料每吨的价格分别为 1，2(百元)，欲用 4 500 元购买 A，B 两种原料，则使产量 Q 最多的 A，B
14、 的进料量为( )（分数：2.00）A.20(吨)，10(吨)B.15(吨)，10(吨)C.30(吨)，75(吨) D.25(吨)，15(吨)解析：解析：这是求产量函数 Q=005x 2 y 在约束条件 1x+2y=45 下的最大值问题 构造拉格朗日函数 F(x，y)=005x 2 y+(x+2y 一 45)， 9.设函数 z=f(x，y)在点(x 0 ，y 0 )处存在对 x，y 的偏导数，则 f x “(x 0 ，y 0 )等于( ) （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：根据偏导数的定义，对于选项(A)有 所以选项(A)错误，对于选项(B)有10.函数 f(x，y)在点 P 0
15、 (x 0 ，y 0 )处偏导数存在，是 f(x，y)在该点处( )（分数：2.00）A.连续的充分条件B.连续的必要条件C.可微的必要条件 D.可微的充分条件解析：解析：(A)不正确，例如函数 显然有 f x “(0，0)=f y “(0，0)，但 f(x，y)在点(0，0)处不连续 (B)不正确例如函数 f(x，y)=|xy|在点(0，1)处连续，但偏导数 f x “(0，1)不存在 (D)不正确例如函数 在点(0，0)处有 f x “(0，0)=0 及 f y “(0，0)=0，但 f(x，y)在点(0，0)处不可微 若函数 z=f(x，y)在点 P(x，y)处可微，则函数 z=f(x，
16、y)在点 P(x，y)的偏导数 必存在，且 11.利用变量替换 u=x，v= 一定可以把方程 化为新的方程( ) （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：由多元复合函数求导法则知12.设函数 z=3axyx 3 一 y 3 (a0)，则( )（分数：2.00）A.在点(a，a)处取得极大值 a 3 B.在点(a，a)处取得极小值 a 3C.在点(0，0)处取得极小值 0D.在点(0，0)处取得极大值 0解析：解析：由 得(0，0)，(a，a)为驻点 故在(a，a)点， B 2 一 AC=(9a 2 36xy)| (a,a) =一 27a 2 0， 13.设函数 z=f(x，y)，有 （
17、分数：2.00）A.1 一 xy+y 2B.1+xy+y 2 C.1 一 x 2 y+y 2D.1+x 2 y+y 2解析：解析： 14.设 z= ，F(u)二阶可导，则 等于( ) （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：15.设 z=(lny) xy ，则 （分数：2.00）A.xy(lny) xy-1B.(lny) xy ln(lny)C.x(lny) xy ln(lny)D.y(lny) xy ln(lny) 解析：解析：对 x 求偏导时，把 y 看成是常数，所以16.设 M(x，y，z)为平面 x+y+z=1 上的点，且该点到两定点(1，0，1)，(2，0，1)的距离平方之和
18、为最小，则此点坐标为( ) （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：此题可用排除法：(A)，(B)选项中的点不满足平面方程，即不是平面上的点，所以排除(A)，(B) (C)选项中，点 到两定点(1，0，1)及(2，0，1)的距离平方之和为： (D)选项中，点到两定点(1，0，1)及(2，0，1)的距离平方之和为：17.填空题_解析：18.若 f(x，y)=ln(x 2 +y 2 )，则函数 ()= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由于 f(x，y)=ln(x 2 +y 2 )，有 令 ()=一 sin+cos=0，得 tan=1，所以 又 “()
19、=一 cossin， 所以 = ()有极大值，也是最大值，且 19.设 z=xf(x 2 +y 2 )，其中 f(u)具有二阶连续导数，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2(2x+y)f“(x 2 +y 2 )+4x 2 yf“(x 2 +y 2 )）解析：解析：由 z=xf(x 2 +y 2 )，有 =f(x 2 +y 2 )+x.f“(x 2 +y 2 ).2x =f(x 2 +y 2 )+2x 2 f“(x 2 +y 2 )， 20.设 g(x，y)=x y 一 y z ，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1+ez）解析：解析：由 g(
20、x，y)=x y 一 y z ，得 21.设函数 z=z(x，y)由方程 所确定，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：对定积分换元：令 z+y 一 t=u，x+z 一 t=v，则方程成为 上式对 x 求偏导数，有用 x=1，y=1，z=1，代入上式，可得22.函数 f(x，y)=e 2x (x+y 2 一 2y)的极小值为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由 可得函数 f(x，y)的稳定点为 再判别稳定点是否是极值点，是极大值点还是极小值点由 f xx “(x，y)=4e 2x (x+y 2 +2y)+4e 2x
21、 ， f xy “(x，y)=4e 2x (y+1)， f yy “(x，y)=2e 2x ， =B 2 一 AC=一 4e 2 0， 由此可知点 是函数 f(x，y)的唯一极小值点，故 f(x，y)的极小值为 23.二元函数 z=x 3 一 y 3 +3x 2 +3y 2 一 9x 的极小点是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：(1，0)）解析：解析：由 解得四个驻点：(1，0)，(1，2)，(-3，0)，(-3，2) 再由充分条件判断 得P(1，0)0，P(1，2)0，P(-3，0)0，P(-3，2)0，24.设函数 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正
22、确答案：200e 24 ）解析：解析：因为 所以有 由此可得25.设函数 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：因为(0，0)点是函数 f(x，y)分界处的点，所以只有用偏导数的定义来计算 f x “(0，0) 26.设函数 u=u(x，y，z)由方程 F(u 2 一 x 2 ，u 2 一 y 2 ，u 2 -z 2 )=0 所确定，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：因为对等式求全微分，有 F 1 “d(u 2 一 x 2 )+F 2 “d(u 2 一 y 2 )+F 3 “d(u 2 一 z 2 )=0， 由此可得
23、u(F 1 “+F 2 “+F 3 “)du=xF 1 “dx+yF 2 “dy+zF 3 “dz， 其中 F i “=F i “(u 2 一 x 2 ，u 2 一 y 2 ，u 2 -z 2 )，i=1，2，3 于是有 27.函数 f(x，y)=e 2x (x+y 2 +2y)的极大值为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：不存在）解析：解析：先求函数的稳定点由 可得函数 f(x，y)的稳定点为 再判别稳定点 是否是极值点，是极大值点还是极小值点由 f xx “(x，y)=4e 2x (x+y 2 +2y)+4e 2x ， f xy “(x，y)=4e 2x (y+1)
24、， f yy “(x，y)=2e 2x ， 由此可知点 28.设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y(y+2)）解析：解析：由 y=1 时，z=x，有 x=1+ 即 29. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：由偏导数定义30.计算题_解析：31.设 f(x，y)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：32. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：33.设 u=sinx 2 +f(y，yz)，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 u=sinx 2 +f(y，yz)，得 记 v=yz，则 )解析
25、：34.求函数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为该函数的定义域正好是不等式 的解集，所以函数的定义域为 其图形如图 1-6-1 的阴影部分 )解析：35. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为初等函数 在点(1，2)处有定义，函数在(1，2)点连续，所以 )解析：36.求函数 z=x y 的偏导数（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：z x “=yx y-1 ，z y “=x y lnx)解析：37.求函数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当(x，y)(0，0)时， 当(x，y)=(0，0)时， )解析：38.设函数 z=f(t，x，y)可微，x=x(t)
26、，y=y(t)可导，试求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：按链式法则，有 )解析：39.设函数 u=f(x，xy，xyz)，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：为了避免引进更多的中间变量，常来用记号 f 1 “，f 2 “，f 3 “分别表示 f 对第一个中间变量、第二个中间变量及第三个中间变量的偏导数，因此有 =f 1 “(x，xy，xyz)+yf 2 “(x，xy，xyz)+yzf 3 “(x，xy，xyz)， )解析：40.设函数 z=z(x，y)是由方程 z 3 -3xyz=a 3 所确定的隐函数，试求 z x “和 z y “（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：利用公式 F(x，y，z)=z 3 一 3xyz 一 a 3 ， F x “(x，y，z)=一 3yz， F y “(x，y，z)=一 3xz， F z “(x，y，z)=3z 2 3xy， 因此有 )解析：
