1、MPA公共管理硕士综合知识数学微积分（定积分）-试卷 1及答案解析(总分：76.00，做题时间：90 分钟)一、数学部分(总题数：41，分数：76.00)1.选择题_2.设 f(x)是0，+)上的连续函数，且满足 f(x)=xe -x +e x 0 1 f(x)dx，则 f(x)等于( )（分数：2.00）A.xe -x + B.xe -x 一 C.xe -x 一 e x-1D.xe x +e x-13. （分数：2.00）A.B.C.D.4.曲线 与圆 x 2 +(y1) 2 =1及直线 y=2在第一象限所围图形的面积为( ) （分数：2.00）A.B.C.D.5.已知 xe x 0 1 f
2、(x)dx+ +f(x)=1，则 0 1 f(x)dx等于( ) （分数：2.00）A.B.C.D.6.设 f(x)的一个原函数是 （分数：2.00）A.eB.1C.e+1D.e-17. （分数：2.00）A.e a AB.一 e -a AC.e -a AD.一 A8.曲线 y=x 3 在 P(a，a 3 )点的切线(其中 a0)与曲线所围图形的面积为( ) （分数：2.00）A.B.C.D.9.在曲线 y 2 =2px(p0)上点 处作曲线的法线，则法线与该曲线围成的区域 D的面积为( ) （分数：2.00）A.B.C.D.10.由曲线 （分数：2.00）A.1B.C.D.211. （分数：
3、2.00）A.B.C.0D.(A)，(B)，(C)都不正确12. （分数：2.00）A.B.C.D.13.曲线 y= （分数：2.00）A.1B.C.1一 ln2D.14.I= - + (x+|x|) 2 e -|x| dx等于( )（分数：2.00）A.0B.2C.4D.815.过点(1，0)作曲线 y=x 2 的两条切线，它们与曲线 y=x 2 所围图形的面积是( ) （分数：2.00）A.B.C.D.16.填空题_17.设 f(x)在0，1上连续，且 f(x)1，则方程 2x 0 x f(t)dt=1在(0，1)内实根的个数是 1（分数：2.00）填空项 1:_18.设 0 x-1 f(
4、t)dt=x 3 一 x 2 +x，则 f(x)在 1 处取得最小值（分数：2.00）填空项 1:_19. （分数：2.00）填空项 1:_20. （分数：2.00）填空项 1:_21.由直线 x=0，x=2，y=0 与抛物线 y=一 x 2 +1所围成的平面图形的面积 S= 1（分数：2.00）填空项 1:_22. （分数：2.00）填空项 1:_23.设 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_24.由曲线 y=xe x 与直线 y=ex所围成图形的面积 S= 1（分数：2.00）填空项 1:_25.已知 xe x 为 f(x)的一个原函数，则 0 1 xf“(x)dx= 1（分数：2
5、.00）填空项 1:_26.定积分 0 3 |x一 1|dx= 1（分数：2.00）填空项 1:_27.设 f“(x)在0，2上连续，且 f(0)=1，f(2)=3，f(2)=5，则 0 1 xf“(2x)dx= 1（分数：2.00）填空项 1:_28.计算题_29.设函数 f(x)在0，11上有连续的导数，f(x)无零点，且 f(0)=1，f(1)=2，0 求 （分数：2.00）_30.设 F(x)= （分数：2.00）_31.设函数 f(x)在(-，+)上连续，且满足 0 1 f(x t)dt=f(x)+ （分数：2.00）_32.设函数 f(x)满足：f(0)=2，f(一 2)=0，f(
6、x)在 x=一 1，x=5 有极值，f“(x)是二次多项式，求f(x)（分数：2.00）_33.求由方程 （分数：2.00）_34.求由抛物线 y 2 =x与直线 y=x一 2所围图形的面积 S（分数：2.00）_35.当 a(0a4)为何值时，两曲线 （分数：2.00）_36.讨论无穷积分 （分数：2.00）_37.设常数 一 1，0，试求无穷积分 其中 （分数：2.00）_38.讨论函数 f(x)的单调性，其中 f(x)在1，+)上可积，且满足 （分数：2.00）_39.设 f(x)= （分数：2.00）_40.计算下列定积分： （分数：2.00）_41.讨论广义积分 1 + （分数：2.
7、00）_MPA公共管理硕士综合知识数学微积分（定积分）-试卷 1答案解析(总分：76.00，做题时间：90 分钟)一、数学部分(总题数：41，分数：76.00)1.选择题_解析：2.设 f(x)是0，+)上的连续函数，且满足 f(x)=xe -x +e x 0 1 f(x)dx，则 f(x)等于( )（分数：2.00）A.xe -x + B.xe -x 一 C.xe -x 一 e x-1 D.xe x +e x-1解析：解析：令 0 1 f(x)dx=A 原方程两边在区间0，1上积分，得 0 1 d(x)dx= 0 1 xe -x dx+A 0 1 e x dx 因为 0 1 xe -x dx
8、=一 xe -x | 0 1 + 0 1 e -x dx=一 2e -x +1， 0 1 e x dx=e一 1， 所以 A=一 2e -1 +1+AeA， 3. （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析： 为奇函数，在对称区间上积分为零，而 为偶函数，所以4.曲线 与圆 x 2 +(y1) 2 =1及直线 y=2在第一象限所围图形的面积为( ) （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：三曲线所围图形如图 154所示，面积5.已知 xe x 0 1 f(x)dx+ +f(x)=1，则 0 1 f(x)dx等于( ) （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：设 0 1 f(
9、x)dx=A，将表达式两边从 0到 1积分 6.设 f(x)的一个原函数是 （分数：2.00）A.eB.1C.e+1 D.e-1解析：解析：7. （分数：2.00）A.e a AB.一 e -a A C.e -a AD.一 A解析：解析：8.曲线 y=x 3 在 P(a，a 3 )点的切线(其中 a0)与曲线所围图形的面积为( ) （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：过点 P(a，a 3 )的切线方程为 y=3a 2 (x一 a)+a 3 =3a 2 x一 2a 3 ， 再求切线与曲线交点： x 3 3a 2 x+2a 3 =(x一 a)(x 2 +ax一 2a 2 ) =(x一
10、a)(x一 a)(a+2a) =0 因此，另一交点为(一 2a，一 8a 3 )，切点为(a，a 3 )，所求面积如图 155所示为 A= -2a a x 3 一(3a 2 x一 2a 3 )dx 9.在曲线 y 2 =2px(p0)上点 处作曲线的法线，则法线与该曲线围成的区域 D的面积为( ) （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：因为点 在曲线 y 2 =2px上， 再求法线与抛物线的交点： 要求的区域 D的面积 S如图 1-5-8所示 10.由曲线 （分数：2.00）A.1B. C.D.2解析：解析：设切点 P(x 0 ，y 0 )， 切线方程为 解得 x 0 =2，y 0
11、=2，切线方程为y=x所求图形面积(见图 159)为 11. （分数：2.00）A.B.C.0D.(A)，(B)，(C)都不正确 解析：解析： 由于(A)，(B)，(C)中没有一个是12. （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：13.曲线 y= （分数：2.00）A.1B.C.1一 ln2D. 解析：解析：先作草图(见图 1510)，并求出曲线、直线间的交点的坐标 A ，B(2，2)，C(1，1) 选取积分变量为 y，则有 (y)=y， y1，2， 于是有14.I= - + (x+|x|) 2 e -|x| dx等于( )（分数：2.00）A.0B.2C.4D.8 解析：解析：因为
12、I= - + 2x 2 e -|x| dx+ - + 2x|x|e -|x| dx， 由于 x|x|e -|x| 是奇函数且 - + x|x|e -|x| dx收敛，所以 - + x|x|e -|x| dx=0， 而 - + 2x 2 e -|x| dx=4 0 + x 2 e -x dx=4(一 e -x x 2 | 0 + + 0 + 2xe -x dx) =4(-2xe -x | 0 + +2 0 + e -x dx)=4(一 2e -x )| 0 + =815.过点(1，0)作曲线 y=x 2 的两条切线，它们与曲线 y=x 2 所围图形的面积是( ) （分数：2.00）A.B. C.
13、D.解析：解析：先作草图(见图 1511)，再求切点及切线方程：设切点为(x 0 ，x 0 2 )，则切线斜率为 ，切线方程为 Y 一 x 0 2 =2x 0 (Xx 0 ) 因为切线通过点(1，0)，即有一 x 0 2 =2x 0 (1一 x 0 ) 由此可得 x 0 =0或 x 0 =一 2，所以切点为 O(0，0)与 A(2，4)，两切线方程为 Y=0与 Y一4=4(X一 2) 这时，两切线与曲线 y=x 2 所围图形的面积为 16.填空题_解析：17.设 f(x)在0，1上连续，且 f(x)1，则方程 2x 0 x f(t)dt=1在(0，1)内实根的个数是 1（分数：2.00）填空项
14、 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：设 F(x)=2x 0 x f(t)dt一 1，则 F(0)=一 10，F(1)=1 0 1 f(t)dt1- 0 1 dt=0 由闭区间上连续函数的性质介值定理可知，F(x)在(0，1)内至少有一个零点 又因 F(x)=2一 f(x)0， 故 F(x)在(0，1)内为严格单调增函数，从而 F(x)=0，即 2x 0 x f(t)dt=1在(0，1)内有且仅有一个实根18.设 0 x-1 f(t)dt=x 3 一 x 2 +x，则 f(x)在 1 处取得最小值（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：上式两端关于 x
15、求导，得 f(x 一 1)=3x 2 一 2x+1， 从而 f(x)=3x 2 +4x+2 令 f“(x)=6x+4=0，得唯一驻点： 而当 f“(x)0；当 时，f“(x)0 所以 f(x)在 19. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：20. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：21.由直线 x=0，x=2，y=0 与抛物线 y=一 x 2 +1所围成的平面图形的面积 S= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析： S= 0 2 |一 x 2 +1|dx = 0 1 (一 x 2 +1
16、)dx+ 1 2 (x 2 1)dx = 22. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：f(x)=2x 3 ，所以 23.设 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：令 x一 2=t，则 1 3 f(x-2)dx= -1 1 f(t)dt= 1 0 (1+t 2 )dt+ 0 1 e -t dt= 24.由曲线 y=xe x 与直线 y=ex所围成图形的面积 S= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由 xe x =ex可知，x(e x e)=0，则 x=0或 x=1故 S= 0
17、 1 (ex一 xe x )dx= 25.已知 xe x 为 f(x)的一个原函数，则 0 1 xf“(x)dx= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：e）解析：解析：f(x)=(xe x )=e x +xe x ，所以 0 1 xf(x)dx=xf(x)| 0 1 0 1 f(x)dx =xf(x)一 xe x | 0 1 =(x 2 e x )| 0 1 =e26.定积分 0 3 |x一 1|dx= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由于 所以有 0 3 |x一 1|dx= 0 1 (1一 x)dx+ 1 3 (x一 1)dx
18、27.设 f“(x)在0，2上连续，且 f(0)=1，f(2)=3，f(2)=5，则 0 1 xf“(2x)dx= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：28.计算题_解析：29.设函数 f(x)在0，11上有连续的导数，f(x)无零点，且 f(0)=1，f(1)=2，0 求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：按定积分的换元积分法，作换元 u=f(x)，则有 )解析：30.设 F(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为变限定积分中的被积函数中还含有变量 x，必须通过换元，来去掉被积函数中的变量 x，即作换元 u=x+t 2 ，则 )解
19、析：31.设函数 f(x)在(-，+)上连续，且满足 0 1 f(x t)dt=f(x)+ （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 x 0 1 f(x t)dt 0 x f(u)du可得 对上式两边求导，有 )解析：32.设函数 f(x)满足：f(0)=2，f(一 2)=0，f(x)在 x=一 1，x=5 有极值，f“(x)是二次多项式，求f(x)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 f“(x)是二次多项式及 f(x)有极值点 x=一 1，x=5，可知有 f(x)=K(x+1)(x一 5)， 其中 K为非零常数对上式两边积分，可得 f(x)一 f(0)=K 0 x (t+1)(t
20、-5)dt =K 0 x (t 2 4t一 5)dt )解析：33.求由方程 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 又在等式两边求导，可得 )解析：34.求由抛物线 y 2 =x与直线 y=x一 2所围图形的面积 S（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：先作草图(见图 156)，再求抛物线与直线的交点 A与 B的坐标：A(1，一 1)，B(4，2) 选取 y为积分变量，则有 x=(y)=y 2 ，x=(y)=y+2， )解析：35.当 a(0a4)为何值时，两曲线 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：先作草图(图 157)，选取 x为积分变量则所围图形的面积为 由可知，在(0，
21、4)内有唯一的极值点 ，易知它是极大值点，因此即为最大值点 所以当 )解析：36.讨论无穷积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由定义有 所以无穷积分 收敛，且其值为 )解析：37.设常数 一 1，0，试求无穷积分 其中 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：38.讨论函数 f(x)的单调性，其中 f(x)在1，+)上可积，且满足 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：先求 f(x)的表达式，即要求 1 + f(x)dx=A之值 )解析：39.设 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 x一 1=t，则 0 2 f(x一 1)dx= -1 1 f(
22、t)dt，由于在一 1，1上 f(x)表达式不同，根据定积分的区间性质应分一 1，0和0，1上的两个积分计算，所以 0 2 f(x-1)dx= -1 1 f(t)dt= -1 0 e t dt+ )解析：40.计算下列定积分： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1) = 0 2 |1一 x|dx(开方取绝对值) = 0 1 (1-x)dx+ 1 2 (x-1)dx=1 这是因为第一个积分为偶函数在对称区间上积分，第二个为奇函数在对称区间上积分为零，第三个积分利用定积分的几何意义， 是圆心在原点，半径为 2的上半圆，它在-2，2上积分应是上半圆面积 ，故第一个积分为 (3)当 a0 时， 0 1 x|a-x|dx= 0 1 x(xa)dx= 当 a1 时， 0 1 x|a一 x|dx=一 0 1 x(xa)dx= 当 0a1 时， 0 1 x|a一x|dx= 0 a x(a一 x)dx+ a 1 x(x一 a)dx= 所以 (4)由题意知， 可得 )解析：41.讨论广义积分 1 + （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：依题意，得 )解析：
