1、MPA公共管理硕士综合知识数学微积分（定积分）-试卷 2及答案解析(总分：78.00，做题时间：90 分钟)一、数学部分(总题数：42，分数：78.00)1.选择题_2.设 f“(x)在1，2上可积，且 f(1)=1，f(2)=1， 1 2 f(x)dx=一 1，则 1 2 xf(x)dx=( )（分数：2.00）A.2B.1C.0D.一 13.设 I 1 = 0 1 sinx 2 dx，I 2 = 0 1 sin(1一 x) 2 dx，则( )（分数：2.00）A.I 1 I 2B.I 1 =I 2C.I 1 I 2D.不可积，无法比较4.设 f(x)是连续函数，F(x)是 f(x)的原函数
2、，则( )（分数：2.00）A.当 f(x)是奇函数时，F(x)必是偶函数B.当 f(x)是偶函数时，F(x)必是奇函数C.当 f(x)是周期函数时，F(x)必是周期函数D.当 f(x)是单调增函数时，F(x)必是单调增函数5.设 f(x)在0，+)可导，且 f(0)=0，并有反函数 g(x)，若 0 f(x) g(t)dt=x 2 e x ，则 f(x)等于( )（分数：2.00）A.(2+x)e x 一 3B.(2+x)e x +CC.(1+x)e x 一 1D.(3+x)e x +C6.已知某产品产量的变化率是时问 t的函数，f(t)=at+b(a，b 为常数)，设此产品 t时的产量函数
3、为 Q(t)，已知 Q(0)=0，则 Q(t)等于( )（分数：2.00）A.at 2 +btB.C.D.at 2 +bt+C7.广义积分 ,下列结论正确的是( ) （分数：2.00）A.B.C.D.8.设 f(x)为已知连续函数， （分数：2.00）A.依赖于 s，t 和 xB.依赖于 s和 tC.依赖于 s，不依赖于 tD.依赖于 t和 x，不依赖于 s9.设广义积分 （分数：2.00）A.广义积分收敛且等于B.广义积分收敛且等于C.广义积分收敛且等于 0D.广义积分收敛且等于 110.曲线 y= +x，y=2 及 x=2所围成图形面积的定积分表达式为( ) （分数：2.00）A.B.C.
4、D.11.设 f(x)=x 2 一 0 1 f(x)dx，则 f(x)等于( )（分数：2.00）A.B.x 2C.D.12.曲线 y=x(x一 1)(2一 x)与 x轴围成平面图形的面积 S等于( )（分数：2.00）A. 0 1 x(x一 1)(2一 x)dx一 0 2 x(x一 1)(2一 x)dxB.- 0 2 x(x一 1)(2一 x)dxC. 0 2 x(x一 1)(2一 x)dxD.一 0 1 x(x一 1)(2一 x)dx+ 1 2 x(x一 1)(2一 x)dx13.设 f(x)连续，且 F(x)= 则 F(x)等于( ) （分数：2.00）A.B.C.D.14.设 n1，广
5、义积分 （分数：2.00）A.发散B.收敛于C.收敛于D.收敛于15.若 f(x)在a，b上具有连续的导数，且 f(a)=f(b)=0，又 a b f 2 (x)dx=1，则 a b xf(x)f“(x)dx等于( )（分数：2.00）A.B.1C.0D.16.设 x一 1，则 -1 x (1一|t|)dt 等于( ) （分数：2.00）A.B.C.D.17.填空题_18.若 1 x lntdt=1+xln(ax)，则 a= 1（分数：2.00）填空项 1:_19.f(x)是连续可导函数，且 f(2)=-1， 0 2 f(t)dt=4，则 0 2 tf(t)dt= 1.（分数：2.00）填空项
6、 1:_20.设 0 x-1 f(t)dt=x 3 +3x 2 ，则函数 f(x)的极小值点为 1（分数：2.00）填空项 1:_21. （分数：2.00）填空项 1:_22. （分数：2.00）填空项 1:_23.从原点向曲线 y=1一 lnx作切线，由切线、曲线和 x轴所围成的图形的面积为 1（分数：2.00）填空项 1:_24.在抛物线 y=x 2 一 1上取一点 P(a，a 2 一 1)，过 P引抛物线 y=x 2 的两条切线，则两切线与抛物线y=x 2 所围成的图形的面积为 1（分数：2.00）填空项 1:_25. （分数：2.00）填空项 1:_26. （分数：2.00）填空项 1
7、:_27.已知 f(2)= （分数：2.00）填空项 1:_28.计算题_29.求夹在 y=x 2 与 y= （分数：2.00）_30. （分数：2.00）_31.设 f(x)为连续函数，且满足 0 x f(t-x)dt= （分数：2.00）_32.已知 f(x)= （分数：2.00）_33.已知 f(x)的一个原函数为 x 2 lnx，求 （分数：2.00）_34.设 f(x)是连续函数，且 f(x)=e x + 0 1 e -x f(x)dx，求函数 f(x)（分数：2.00）_35.讨论无穷积分 （分数：2.00）_36.已知 （分数：2.00）_37.求函数 （分数：2.00）_38.
8、求函数 （分数：2.00）_39.求函数 （分数：2.00）_40.求 0 2 |1一 x|dx（分数：2.00）_41.证明：设函数 f(x)在一 a，a上连续，那么： (1)当 f(x)为奇函数时，则 -a a f(x)dx=0； (2)当f(x)为偶函数时，则 -a a f(x)dx=2 0 a f(x)dx（分数：2.00）_42.证明：设函数 f(x)是以 T为周期的连续函数，则对任一实数 a，有 0 a+T f(x)dx= 0 T f(x)dx（分数：2.00）_MPA公共管理硕士综合知识数学微积分（定积分）-试卷 2答案解析(总分：78.00，做题时间：90 分钟)一、数学部分(
9、总题数：42，分数：78.00)1.选择题_解析：2.设 f“(x)在1，2上可积，且 f(1)=1，f(2)=1， 1 2 f(x)dx=一 1，则 1 2 xf(x)dx=( )（分数：2.00）A.2 B.1C.0D.一 1解析：解析：由分部积分法，有 1 2 xf“(k)dx= 1 2 xdf(x) =xf(x)| 1 2 - 1 2 f(x)dx =2f(2)一f(1)一(一 1) =2 故本题选(A)3.设 I 1 = 0 1 sinx 2 dx，I 2 = 0 1 sin(1一 x) 2 dx，则( )（分数：2.00）A.I 1 I 2B.I 1 =I 2 C.I 1 I 2D
10、.不可积，无法比较解析：解析：对于积分 I 1 ，设 t=x 2 ，则 x=0时，t=0；x=1 时，t=1，且有 对于积分 I 2 ，设t=(1一 x) 2 ，则 x=0时，t=1；x=1 时，t=0，且有 4.设 f(x)是连续函数，F(x)是 f(x)的原函数，则( )（分数：2.00）A.当 f(x)是奇函数时，F(x)必是偶函数 B.当 f(x)是偶函数时，F(x)必是奇函数C.当 f(x)是周期函数时，F(x)必是周期函数D.当 f(x)是单调增函数时，F(x)必是单调增函数解析：解析：记 G(x)= 0 x f(t)dt，则 G(x)为 f(x)的一个原函数，从而 F(x)=G(
11、x)+C 若 f(x)为奇函数，即 f(一 x)=一 f(x)，则 F(一 x)=G(一 x)+C= 0 -x f(t)dt+C 5.设 f(x)在0，+)可导，且 f(0)=0，并有反函数 g(x)，若 0 f(x) g(t)dt=x 2 e x ，则 f(x)等于( )（分数：2.00）A.(2+x)e x 一 3B.(2+x)e x +CC.(1+x)e x 一 1 D.(3+x)e x +C解析：解析：两边求导，有 f“(x)g(f(x)=(2x+x 2 )e x ， 即 f“(x)=(2+x)e x ， 则 f(x)=(2+x)e x dx=(1+x)e x +C 又 f(0)=0得
12、 C=一 1，于是 f(x)=(1+x)e x 一 16.已知某产品产量的变化率是时问 t的函数，f(t)=at+b(a，b 为常数)，设此产品 t时的产量函数为 Q(t)，已知 Q(0)=0，则 Q(t)等于( )（分数：2.00）A.at 2 +btB. C.D.at 2 +bt+C解析：解析：即已知 Q(t)=f(t)=at+b，由 Q(0)=0，知积分以 0为下限，所以 Q(t)= 0 t Q(t)dt= 0 t (at+b)dt= 7.广义积分 ,下列结论正确的是( ) （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：此题主要是考查广义积分收敛的定义 广义积分只有在收敛时，才具有奇偶
13、函数在对称区间上的积分性质，所以(A)错误选项(B)中认为收敛，即看极限 是错误的，用定义应为 ，其中 A，B 应为独立变量选项(C)，(D)中均作变换8.设 f(x)为已知连续函数， （分数：2.00）A.依赖于 s，t 和 xB.依赖于 s和 tC.依赖于 s，不依赖于 t D.依赖于 t和 x，不依赖于 s解析：解析：9.设广义积分 （分数：2.00）A.广义积分收敛且等于 B.广义积分收敛且等于C.广义积分收敛且等于 0D.广义积分收敛且等于 1解析：解析：10.曲线 y= +x，y=2 及 x=2所围成图形面积的定积分表达式为( ) （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：曲
14、线 与 y=2交于 x=1点，所围面积 S=11.设 f(x)=x 2 一 0 1 f(x)dx，则 f(x)等于( )（分数：2.00）A.B.x 2C. D.解析：解析： 0 1 f(x)dx是个数设 0 1 f(x)dx=A，所以 A= 0 1 f(x)dx= 0 1 x 2 dx一 0 1 = 故 12.曲线 y=x(x一 1)(2一 x)与 x轴围成平面图形的面积 S等于( )（分数：2.00）A. 0 1 x(x一 1)(2一 x)dx一 0 2 x(x一 1)(2一 x)dxB.- 0 2 x(x一 1)(2一 x)dxC. 0 2 x(x一 1)(2一 x)dxD.一 0 1
15、x(x一 1)(2一 x)dx+ 1 2 x(x一 1)(2一 x)dx 解析：解析：曲线 y=x(x一 1)(2一 x)与 x轴的交点是：x=0，1，2当 0x1 时， y0；当 1x2时，y0所以 S= 0 2 |x(x一 1)(2一 x)|dx =一 0 1 x(x一 1)(2一 x)dx+ 1 2 x(x一 1)(2一 x)dx13.设 f(x)连续，且 F(x)= 则 F(x)等于( ) （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：由公式14.设 n1，广义积分 （分数：2.00）A.发散B.收敛于C.收敛于 D.收敛于解析：解析：15.若 f(x)在a，b上具有连续的导数，且
16、f(a)=f(b)=0，又 a b f 2 (x)dx=1，则 a b xf(x)f“(x)dx等于( )（分数：2.00）A.B.1C.0D. 解析：解析：16.设 x一 1，则 -1 x (1一|t|)dt 等于( ) （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：当一 1x0 时， -1 x (1一|t|)dt= -1 x (1+t)dt= (1+x) 2 当 x0 时， -1 x (1一|t|)dt= -1 0 (1+t)dt+ 0 x (1一 t)dt=1一 17.填空题_解析：18.若 1 x lntdt=1+xln(ax)，则 a= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答
17、案：正确答案：e -1 ）解析：解析：利用分部积分法，有 1 x lntdt=tlnt| 1 x - 1 x dt=1-x+xlnx， 所以 1 一x+xlnx=1+xln(ax)=1+xlna+xlnx 化简得 x(1+lna)=0，可知 1+lna=0，解得 a=e -1 19.f(x)是连续可导函数，且 f(2)=-1， 0 2 f(t)dt=4，则 0 2 tf(t)dt= 1.（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：一 6）解析：解析：由分部积分法，有 0 2 tf(t)dt=tf(t)| 0 2 0 2 f(t)dt =2f(2)一 0 2 f(t)dt =-24=
18、一 620.设 0 x-1 f(t)dt=x 3 +3x 2 ，则函数 f(x)的极小值点为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：一 2）解析：解析：等式两边求导，有 f(x 一 1)=3x 2 +6x， 即有 f(x 一 1)=6(x+1) 令 x一 1=t，可得f(t)=6(t+2)由此可知，函数 f(x)有唯一极小值点 x=一 221. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：因为 由此可知22. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：因为23.从原点向曲线 y=1一 lnx作切线，由切线、曲线和 x
19、轴所围成的图形的面积为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析： ，设切点为 P(x 0 ，y 0 ) 切线方程为 ，与 y=1-1nx联立求切点，得切点(e 2 ，一 1) 于是切线方程为 设所求图形面积为 A(如图 152所示)， 24.在抛物线 y=x 2 一 1上取一点 P(a，a 2 一 1)，过 P引抛物线 y=x 2 的两条切线，则两切线与抛物线y=x 2 所围成的图形的面积为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：设切点坐标为(x，y)，它们满足切线方程和曲线 y=x 2 ，即 由此解得切点的 x坐标：x A
20、 =a一 1，x B =a+1 于是所求图形面积如图 153所示： A= a-1 a x 2 一2(a 一 1)x一(a一 1) 2 dx + a a+1 x 2 一2(a+1)x 一(a+1) 2 dx 25. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：26. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析： 27.已知 f(2)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：两次运用分部积分公式设 t=2x，则28.计算题_解析：29.求夹在 y=x 2 与 y= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：如
21、图 151所示，所求面积为 )解析：30. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：31.设 f(x)为连续函数，且满足 0 x f(t-x)dt= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：在积分 0 x f(t-x)dt中，令 t一 x=u，得 0 x f(t一 x)dt= -x 0 f(u)du )解析：32.已知 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题设条件，f(x)的定义域为0，+) 当 0x2 时，(x)= 令 u= 则 t=0时，u=1；当 t=x时， 且 t=u 2 一 1，dt=2udu， 当 x2 时， )解析：33.已知 f(x)的一个原函
22、数为 x 2 lnx，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由已知条件，有 f(x)=(x 2 lnx)=x+2xlnx， 所以 )解析：34.设 f(x)是连续函数，且 f(x)=e x + 0 1 e -x f(x)dx，求函数 f(x)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 0 1 e -x f(x)dx=A，则 f(x)=e x +A， 两边同乘以 e -x ，即 e -x f(x)=1+Ae -x ， 两边积分，得 0 1 e -x f(x)dx= 0 1 (1+Ae -x )dx， 则 A=1 一 Ae -x | 0 1 =1一 Ae -1 +A， 解得 A=e， 所
23、以 f(x)=e x +e)解析：35.讨论无穷积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 所以，当 p=1时， 可知这时，无穷积分 发散 当 p1 时，当 p1 时， 可知这时，无穷积分 收敛 总之，无穷积分 )解析：36.已知 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：正态分布 N(， 2 )的数学期望为 其中上式第二步等式右端的第二项是奇函数的无穷积分，为零 又其方差为 )解析：37.求函数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：按定理，有 )解析：38.求函数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 按复合函数的求导公式有 )解析：39.求函数 （分数：2.00）_正
24、确答案：(正确答案： )解析：40.求 0 2 |1一 x|dx（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 0 2 |1-x|dx= 0 1 |1一 x|dx+ 1 2 |1一 x|dx = 0 1 (1一 x)dx+ 1 2 (x一 1)dx = )解析：41.证明：设函数 f(x)在一 a，a上连续，那么： (1)当 f(x)为奇函数时，则 -a a f(x)dx=0； (2)当f(x)为偶函数时，则 -a a f(x)dx=2 0 a f(x)dx（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 -a 0 f(x)dx )解析：42.证明：设函数 f(x)是以 T为周期的连续函数，则对任一实数 a，有 0 a+T f(x)dx= 0 T f(x)dx（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为由定积分性质可得 a a+T f(x)dx= a 0 f(x)dx+ 0 T f(x)dx+ T a+T f(x)dx， 而 T a+T f(x)dx )解析：
