1、MPA公共管理硕士综合知识数学微积分（导数与微分）-试卷 1及答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、数学部分(总题数：30，分数：54.00)1.选择题_2.已知 g(x)= 且复合函数 f(g(x)对 x的导数为 ，那么 （分数：2.00）A.1B.C.D.23.f(x)在(一，+)内可导，若 g(x)= （分数：2.00）A.g(x)B.g(一 x)C.g(x)D.1+ 0 x g(t)dt4.设函数 f(x)可导，则 的导数 y等于( ) （分数：2.00）A.B.C.D.5.设函数 f(x)在区间(一 ，)内有定义，若当 x(一 ，)时，恒有|f(x)|x 2 ，则 x
2、=0必是 f(x)的( )（分数：2.00）A.间断点B.连续但不可导的点C.可导的点，且 f“(0)=0D.可导的点，且 f(0)06.设 f“(x)=(x一 1)(2x+1)，x(一，+)，则在区间( （分数：2.00）A.函数 f(x)单调减少，且曲线 y=f(x)为凹的B.函数 f(x)单调增加，且曲线 y=f(x)为凹的C.函数 f(x)单调减少，且曲线 y=f(x)为凸的D.函数 f(x)单调增加，且曲线 y=f(x)为凸的7.设函数 f(x)对任意的 x均满足 f(1+x)=af(x)，且有 f“(0)=b，其中 a，b 为非零常数，则 f(x)在 x=1处( )（分数：2.00
3、）A.不可导B.可导且 f“(1)=aC.可导且 f“(1)=bD.可导且 f“(1)=ab8.设对任意的 x，总有 (x)f(x)g(x)，且 则 （分数：2.00）A.存在且等于零B.存在但不一定为零C.一定不存在D.不一定存在9.设 f(x)，g(x)在a，b上可导，且 f“(x)g(x)+f(x)g(x)0，则当 x(a，b)时，有( )（分数：2.00）A.f(x)g(x)f(b)g(a)B.f(x)g(x)f(b)g(a)C.f(a)g(b)f(b)g(a)D.f(x)g(x)f(b)g(b)10.下述极限中，等于 e的是( ) （分数：2.00）A.B.C.D.11.设函数 f(
4、x)在(a，b)内可微，则( )（分数：2.00）A.在a，b上连续B.若 f(x)在(a，b)上严格单调递增，则 f“(x)0C.若 f(x)严格单调递增，且 f(x)0，则D.在(a，b)内 f(x)必存在极限12.填空题_13.若函数 f(x)在 x 0 点可导，则 （分数：2.00）填空项 1:_14.设函数 f(x)在 x 0 点可导， （分数：2.00）填空项 1:_15.设函数 f(x)在(一，+)上满足 2f(1+x)+f(1一 x)=e x ，则 f“(1)= 1.（分数：2.00）填空项 1:_16.函数 f(x)=(x 2 +2x-3)|x 4 -x|的不可导的点的个数是
5、 1（分数：2.00）填空项 1:_17.函数 y=y(x)是由方程 e xy +x一 y一 2=0所确定，则 y(0)= 1.（分数：2.00）填空项 1:_18.设函数 y=y(x)由方程 x y =y x 所确定，则 y(1)= 1（分数：2.00）填空项 1:_19.当 x0 时，函数 f(x)满足 f(x 3 )+2f( （分数：2.00）填空项 1:_20.已知 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_21.计算题_22.设 f(x)= （分数：2.00）_23.求函数 y=f(x)=|x|= （分数：2.00）_24.已知 f“(a)=a 2 ， （分数：2.00）_25.求
6、函数 （分数：2.00）_26.求函数 y=ln|x|的导数。（分数：2.00）_27.求函数 f(x)= （分数：2.00）_28.设函数 y=y(x)由方程 yxe y =1所确定，求 y“(一 1)（分数：2.00）_29.由方程 e x e -y +xy=0确定 y是 x的函数，即 y=y(x)，求 y x （分数：2.00）_30.y=xln(1+x)，求 y“（分数：2.00）_MPA公共管理硕士综合知识数学微积分（导数与微分）-试卷 1答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、数学部分(总题数：30，分数：54.00)1.选择题_解析：2.已知 g(x)= 且复合函数
7、 f(g(x)对 x的导数为 ，那么 （分数：2.00）A.1B.C. D.2解析：解析：由已知条件f(g(x)=f“(g(x).g(x)=f“(g(x). 即3.f(x)在(一，+)内可导，若 g(x)= （分数：2.00）A.g(x)B.g(一 x)C.g(x) D.1+ 0 x g(t)dt解析：解析：由已知得 g(一 x)=g(x)，故 g(x)为偶函数4.设函数 f(x)可导，则 的导数 y等于( ) （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：按照微分的运算法则，有5.设函数 f(x)在区间(一 ，)内有定义，若当 x(一 ，)时，恒有|f(x)|x 2 ，则 x=0必是 f(
8、x)的( )（分数：2.00）A.间断点B.连续但不可导的点C.可导的点，且 f“(0)=0 D.可导的点，且 f(0)0解析：解析：令 x=0，由|f(0)|0 知 f(0)=0而 0|f(x)一 f(0)|=|f(x)|x 2 ， 由夹逼定理可知 所以 f(x)在 x=0处连续 再讨论 f(x)在 x=0处的左、右导数， 由|f(x)|x 2 ，得一 x 2 f(x)x 2 6.设 f“(x)=(x一 1)(2x+1)，x(一，+)，则在区间( （分数：2.00）A.函数 f(x)单调减少，且曲线 y=f(x)为凹的 B.函数 f(x)单调增加，且曲线 y=f(x)为凹的C.函数 f(x)
9、单调减少，且曲线 y=f(x)为凸的D.函数 f(x)单调增加，且曲线 y=f(x)为凸的解析：解析：因为 时， f“(x)=(x 一 1)(2x+1)0， f“(x)=4x 一 10 所以在7.设函数 f(x)对任意的 x均满足 f(1+x)=af(x)，且有 f“(0)=b，其中 a，b 为非零常数，则 f(x)在 x=1处( )（分数：2.00）A.不可导B.可导且 f“(1)=aC.可导且 f“(1)=bD.可导且 f“(1)=ab 解析：解析：在 f(1+x)=af(x)中，令 x=0，得 f(1)=af(0)8.设对任意的 x，总有 (x)f(x)g(x)，且 则 （分数：2.00
10、）A.存在且等于零B.存在但不一定为零C.一定不存在D.不一定存在 解析：解析：举反例说明比如 (x)=e -|x| ，f(x)=2e -|x| ，g(x)=3e -|x| ，则有 (x)f(x)g(x)，且 存在 但若取 (x)=e -|x| +x，f(x)=2e -|x| +x，g(x)=3e -|x| +x，则有 9.设 f(x)，g(x)在a，b上可导，且 f“(x)g(x)+f(x)g(x)0，则当 x(a，b)时，有( )（分数：2.00）A.f(x)g(x)f(b)g(a)B.f(x)g(x)f(b)g(a)C.f(a)g(b)f(b)g(a)D.f(x)g(x)f(b)g(b)
11、 解析：解析：令 F(x)=f(x)g(x)，则由题设可知 F(x)=f“(x)g(x)+f(x)g(x)0 (axb) 于是，F(x)在a，b上单调减少，故当 x(a，b)时，F(x)F(b)，即 f(x)g(x)f(b)g(b)10.下述极限中，等于 e的是( ) （分数：2.00）A.B. C.D.解析：11.设函数 f(x)在(a，b)内可微，则( )（分数：2.00）A.在a，b上连续B.若 f(x)在(a，b)上严格单调递增，则 f“(x)0C.若 f(x)严格单调递增，且 f(x)0，则 D.在(a，b)内 f(x)必存在极限解析：解析： 因为 f(x)严格递增，所以 f“(x)
12、0，从而有12.填空题_解析：13.若函数 f(x)在 x 0 点可导，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：3f“(x 0 )）解析：解析： 14.设函数 f(x)在 x 0 点可导， （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：不能确定）解析：解析：因为 由 f“(x 0 )存在，可知 因此，若 f(x 0 )=0，则有 若 f(x 0 )0，则有 15.设函数 f(x)在(一，+)上满足 2f(1+x)+f(1一 x)=e x ，则 f“(1)= 1.（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：先求 f(x)的表达式 令 x=
13、一 t，则等式变为 由此可解得 3f(1+t)=2e t e -t ， 再令 1+t=x，可得 于是有 16.函数 f(x)=(x 2 +2x-3)|x 4 -x|的不可导的点的个数是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：由|x 4 一 x|=|x|x一 1|(x 2 +x+1)，可知 f(x)的不可导点至多有两个点：x 1 =0，x 2 =1下面我们来分析这两点是否不可导 在 x 1 =0点处， 在 x 2 =1点处 17.函数 y=y(x)是由方程 e xy +x一 y一 2=0所确定，则 y(0)= 1.（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：
14、正确答案：0）解析：解析：在等式 e xy +xy一 2=0两边求导，有 e xy (y+xy)+1一 y=0， 由此可得 又由方程知 y(0)=一 1，于是有 18.设函数 y=y(x)由方程 x y =y x 所确定，则 y(1)= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：利用对数求导法，有 ylnx=xlny， 上式两边对 x求导，有19.当 x0 时，函数 f(x)满足 f(x 3 )+2f( （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：一 1）解析：解析：先求函数 f(x)的表达式：令 等式化为20.已知 f(x)= （分数：2.00）填
15、空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：因 f“(x)= 而21.计算题_解析：22.设 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 f(x)在 x=0处连续，所以 )解析：23.求函数 y=f(x)=|x|= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：按左、右导数的定义，有 )解析：24.已知 f“(a)=a 2 ， （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：25.求函数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：先将函数化为简单函数的和差，再用导数的四则运算计算更为简单，即 所以可得 )解析：26.求函数 y=ln|x|的导数。（分数：2.00）_正确
16、答案：(正确答案：因为函数 )解析：27.求函数 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对于这种复杂的初等函数的求导，利用对数求导法是一个很好的选择，即由求导，可得 )解析：28.设函数 y=y(x)由方程 yxe y =1所确定，求 y“(一 1)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由方程易知，x=一 1时，有 y(一 1)=0对等式两边求导，可得 y一 xe y y一 e y =0 由 x=一 1，得 y(一 1)=0，代入上式，有 y(一 1)= 再对上式求导，可得 y“一 xe y y“一 xe y (y) 2 -e y y一 e y y=0 将 x=一 1，y(一 1)=0，y(一 1)= 代入上式，可得 )解析：29.由方程 e x e -y +xy=0确定 y是 x的函数，即 y=y(x)，求 y x （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：将 y=y(x)代入方程后即变为恒等式， e x e -y(x) +xy(x)0， 将恒等式两边对 x求导，得 e x e -y (一 y x “)+y+xy x “=0， )解析：30.y=xln(1+x)，求 y“（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：
