1、工程硕士(GCT)数学-1 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、B单项选择题/B(总题数：25，分数：100.00)1.如图 58 所示，在长方形内有四条线段，把长方形分成若干块已知有三块图形的面积分别是13，35，49那么图中阴影部分的面积是( ) （分数：4.00）A.(A) 97B.(B) 84C.(C) 62D.(D) 1002.若 AB-A-B=E， （分数：4.00）A.(A) 6B.(B) 9C.(C) -9D.(D) 183.设复数 z 满足|z+i|+|z-i|=2，则|z+i+1|的最小值为( )（分数：4.00）A.(A) 1B.(B) C.(C)
2、2D.(D) 4.线性方程组 （分数：4.00）A.(A) a-4 时，方程组有唯一解B.(B) a-4 时，方程组无解C.(C) a-4 时，方程组有无穷多解D.(D) a-1 时，方程组有无穷多解5.设 ，当 x0 时，与 f(x)等价的无穷小量是( ) （分数：4.00）A.B.C.D.6.计算 的值为( ) （分数：4.00）A.B.C.D.7.若 f(sinx)=3cos2x，则 f(cosx)=( )（分数：4.00）A.(A) 3-cos2xB.(B) 3-sin2xC.(C) 3+cos2xD.(D) 3+sin2x8.用 10 以内的质数组成一个三位数，使它能同时被 3、5
3、整除，这个数最小是 m，最大是 n 则 n-m 等于( )（分数：4.00）A.(A) 360B.(B) 345C.(C) 330D.(D) 3759.路旁一条平行小路上，有一个行人与一个骑自行车的人同时向南行进，行人速度为每小时 3.6km，骑车人速度为每小时 10.8km，这时有一列火车从他们的后方过来，火车通过行人用 22s，通过骑车人用 26s，问这列火车的车身总长是( )m(忽略行人和骑车人在火车相遇中走过的距离)（分数：4.00）A.(A) 280B.(B) 224C.(C) 226D.(D) 28610.函数 f(x)图形如图 59 所示，它的不可导点为( ) （分数：4.00）
4、A.(A) x1，x 2，x 4，x 5B.(B) x2，x 4，x 5，x 6C.(C) x0，x 2，x 4，x 5D.(D) x0，x 2，x 4，x611.已知 ，A *是 A 的伴随矩阵，则(A *)-1=( )（分数：4.00）A.B.C.D.12.曲线 y=lnx 与 x 轴及直线 ，x=e 围成图形的面积是( ) （分数：4.00）A.B.C.D.13.已知两圆 x2+y2=10 和(x-1) 2+(y-3)2=20 相交于 A，B 两点，则直线 AB 的方程是( )（分数：4.00）A.(A) 3x-y=0B.(B) x-3y=0C.(C) 3x+y=0D.(D) x+3y=
5、014.展开式中的常数项是( ) （分数：4.00）A.(A) -36B.(B) 36C.(C) 84D.(D) -8415.三名工人甲、乙和丙分别加工 200 个零件，他们同时开始工作，当乙加工 200 个零件的任务全部完成时，甲才加工了 160 个，丙还有 48 个没有加工当甲加工 200 个零件的任务全部完成时，丙还有( )个零件没有加工（分数：4.00）A.(A) 10B.(B) 20C.(C) 30D.(D) 4016.已知 a，b，c，d 成等比数列，且曲线 y=x2-2x+3 的顶点是(b，c)，则 ad 等于( )（分数：4.00）A.(A) 3B.(B) 2C.(C) 1D.
6、(D) -217.从 5 张 100 元，3 张 200 元，2 张 300 元的奥运预赛门票中任取 3 张，则所取 3 张中至、少有 2 张价格相同的概率为( ) （分数：4.00）A.B.C.D.18.设 P 是双曲线 （分数：4.00）A.(A) 1 或 5B.(B) 6C.(C) 7D.(D) 919.甲、乙、丙 3 位同学选修课程，从 4 门课程中，甲选修 2 门，乙、丙各选修 3 门，则不同的选修方案共有( )（分数：4.00）A.(A) 36 种B.(B) 48 种C.(C) 96 种D.(D) 192 种20.矩阵 （分数：4.00）A.(A) (1，0，1) TB.(B) (
7、0，1，-1) TC.(C) (-1，-1，1) TD.(D) (2，1，-1) T21.一只船顺流而行的航速为 30km/h，已知顺水航行 3h 和逆水航行 5h 的航程相等，则此船顺水漂流 1h的航程为( )km（分数：4.00）A.(A) 4B.(B) 6C.(C) 8D.(D) 1022.当 x+时，f(x)=ln(1+ （分数：4.00）A.(A) f(x)与 g(x)是同阶无穷小，但不等价B.(B) f(x)与 g(x)是等价无穷小C.(C) f(x)比 g(x)是高阶无穷小D.(D) f(x)比 g(x)是低阶无穷小23.园林工人要在周长 300m 的圆形花坛边等距离地栽上树他们
8、先沿着花坛的边每隔 3m 挖一坑，当挖完30 个坑时，突然接到通知：改为每隔 5m 栽一棵树这样，他们还要挖( )个坑才能完成任务（分数：4.00）A.(A) 55B.(B) 54C.(C) 53D.(D) 5224.已知曲线 的一条切线的斜率为 （分数：4.00）A.(A) 6B.(B) 2C.(C) 1D.(D) 325.设 1， 2， 3， 4都是 n 维向量，判断下列命题是否成立 如果 1， 2， 3线性无关， 4不能用 1， 2， 3线性表示，则 1， 2， 3， 4线性无关； 如果 1， 2线性无关， 3， 4都不能用 1， 2线性表示，则 1， 2， 3， 4线性无关； 如果存在
9、 n 阶矩阵 A，使得A 1，A 2，A 3，A 4线性无关，则 1， 2， 3， 4线性无关； 如果 1=A 1， 2=A 2， 3=A 3， 4=A 4，其中 A 可逆， 1， 2， 3， 4线性无关，则 1， 2， 3， 4线性无关；其中成立的为( )（分数：4.00）A.(A) 都成立B.(B) C.(C) D.(D) E.(E) 工程硕士(GCT)数学-1 答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、B单项选择题/B(总题数：25，分数：100.00)1.如图 58 所示，在长方形内有四条线段，把长方形分成若干块已知有三块图形的面积分别是13，35，49那么图中阴影部分的
10、面积是( ) （分数：4.00）A.(A) 97 B.(B) 84C.(C) 62D.(D) 100解析：解析 如图 66 所示，设 SEHG =a，S FHN =b，S BGC =C，S CND =d，阴影部分面积为 x，则有，两方程相加，得 x=97，选(A)2.若 AB-A-B=E， （分数：4.00）A.(A) 6B.(B) 9 C.(C) -9D.(D) 18解析：解析 (A-E)B=A+E，而 A-E 可逆，并且有|A-E|B|=|A+E| |B|=3.设复数 z 满足|z+i|+|z-i|=2，则|z+i+1|的最小值为( )（分数：4.00）A.(A) 1 B.(B) C.(C
11、) 2D.(D) 解析：解析 |z+i|+|z-i|=2 表示以(0，-1)、(0，1)为端点的线段，|z+i+1|表示圆心为(-1，-1)的圆，故当 r=1 时|z+i+1|取最小值，选(A)4.线性方程组 （分数：4.00）A.(A) a-4 时，方程组有唯一解 B.(B) a-4 时，方程组无解C.(C) a-4 时，方程组有无穷多解D.(D) a-1 时，方程组有无穷多解解析：解析 方程变形为 ，则5.设 ，当 x0 时，与 f(x)等价的无穷小量是( ) （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 6.计算 的值为( ) （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 若只有一项
12、，即 ，两项 ，依次类推 +7.若 f(sinx)=3cos2x，则 f(cosx)=( )（分数：4.00）A.(A) 3-cos2xB.(B) 3-sin2xC.(C) 3+cos2x D.(D) 3+sin2x解析：解析 f(sinx)=3-cos2x=3-(1-2sin 2x)=2sin2x+2，则 f(x)=2x2+2，故 f(x)=2x2+2，从而有 f(cosx)=2cos2x+2=3+cos2x，选(C)8.用 10 以内的质数组成一个三位数，使它能同时被 3、5 整除，这个数最小是 m，最大是 n 则 n-m 等于( )（分数：4.00）A.(A) 360 B.(B) 345
13、C.(C) 330D.(D) 375解析：解析 10 以内质数有：2、3、5、7：同时能被 5 罄除，个位上数只能县 5；又能被 3 罄除。这个三位数各数位之和也必须是 3 的倍数，所以只能用 3 和 7故可以得到这个数最小 m 是 375，最大 n 是735，所以 n-m=360，选(A)9.路旁一条平行小路上，有一个行人与一个骑自行车的人同时向南行进，行人速度为每小时 3.6km，骑车人速度为每小时 10.8km，这时有一列火车从他们的后方过来，火车通过行人用 22s，通过骑车人用 26s，问这列火车的车身总长是( )m(忽略行人和骑车人在火车相遇中走过的距离)（分数：4.00）A.(A)
14、 280B.(B) 224C.(C) 226D.(D) 286 解析：解析 行人的速度为 1m/s，骑车人速度为 3m/s，设火车车长为 l，速度为 v，则 ，解得10.函数 f(x)图形如图 59 所示，它的不可导点为( ) （分数：4.00）A.(A) x1，x 2，x 4，x 5B.(B) x2，x 4，x 5，x 6C.(C) x0，x 2，x 4，x 5D.(D) x0，x 2，x 4，x6 解析：解析 显然左右导数不相等的点是 x0，x 2，x 4，x 6，故这些点是不可导点，选(D)11.已知 ，A *是 A 的伴随矩阵，则(A *)-1=( )（分数：4.00）A.B.C. D
15、.解析：解析 由 知， ，而|A|=2，故12.曲线 y=lnx 与 x 轴及直线 ，x=e 围成图形的面积是( ) （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 如图 67 所示，面积为 ，选(B) 13.已知两圆 x2+y2=10 和(x-1) 2+(y-3)2=20 相交于 A，B 两点，则直线 AB 的方程是( )（分数：4.00）A.(A) 3x-y=0B.(B) x-3y=0C.(C) 3x+y=0D.(D) x+3y=0 解析：解析 相交直线方程是(x-1) 2+(y-3)2-(x2+y2)=20-10x+3y=0，选(D)14.展开式中的常数项是( ) （分数：4.00）A.
16、(A) -36B.(B) 36C.(C) 84D.(D) -84 解析：解析 ，k=6 时为常数项，为-15.三名工人甲、乙和丙分别加工 200 个零件，他们同时开始工作，当乙加工 200 个零件的任务全部完成时，甲才加工了 160 个，丙还有 48 个没有加工当甲加工 200 个零件的任务全部完成时，丙还有( )个零件没有加工（分数：4.00）A.(A) 10 B.(B) 20C.(C) 30D.(D) 40解析：解析 设甲加工的速度是每小时 x 个，乙的加工速度是每小时 y 个，根据题意有16.已知 a，b，c，d 成等比数列，且曲线 y=x2-2x+3 的顶点是(b，c)，则 ad 等于
17、( )（分数：4.00）A.(A) 3B.(B) 2 C.(C) 1D.(D) -2解析：解析 y=x 2-2x+3 的顶是(1，2)，所以 ad=2，选(B)17.从 5 张 100 元，3 张 200 元，2 张 300 元的奥运预赛门票中任取 3 张，则所取 3 张中至、少有 2 张价格相同的概率为( ) （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 分为两张相同的和三张相同的，两张相同的可以是 100 元的，也可以是 200 元或 300 元的，故概率为 ；三张相同的可以使 100 元的或 200 元的，概率为 澈至少有两张价格相同的概率为，选(C)18.设 P 是双曲线 （分数：4
18、.00）A.(A) 1 或 5B.(B) 6C.(C) 7 D.(D) 9解析：解析 由渐近线方程 得 a=2，从而|PF 2|=|PF1|=4|PF2|=7，选(C)19.甲、乙、丙 3 位同学选修课程，从 4 门课程中，甲选修 2 门，乙、丙各选修 3 门，则不同的选修方案共有( )（分数：4.00）A.(A) 36 种B.(B) 48 种C.(C) 96 种 D.(D) 192 种解析：解析 20.矩阵 （分数：4.00）A.(A) (1，0，1) TB.(B) (0，1，-1) TC.(C) (-1，-1，1) T D.(D) (2，1，-1) T解析：解析 解方程组(A-I)X=21
19、.一只船顺流而行的航速为 30km/h，已知顺水航行 3h 和逆水航行 5h 的航程相等，则此船顺水漂流 1h的航程为( )km（分数：4.00）A.(A) 4B.(B) 6 C.(C) 8D.(D) 10解析：解析 设水流速度为 x，则船在静水中的速度为 30-x，根据题意，有 303=(30-2x)522.当 x+时，f(x)=ln(1+ （分数：4.00）A.(A) f(x)与 g(x)是同阶无穷小，但不等价B.(B) f(x)与 g(x)是等价无穷小C.(C) f(x)比 g(x)是高阶无穷小 D.(D) f(x)比 g(x)是低阶无穷小解析：解析 23.园林工人要在周长 300m 的
20、圆形花坛边等距离地栽上树他们先沿着花坛的边每隔 3m 挖一坑，当挖完30 个坑时，突然接到通知：改为每隔 5m 栽一棵树这样，他们还要挖( )个坑才能完成任务（分数：4.00）A.(A) 55B.(B) 54 C.(C) 53D.(D) 52解析：解析 显然原来每隔 15m 处挖的坑还可以使用，90m 中这样的坑有 6 个，在这 90m 中还需要挖 12个；总共剩下 210m，这样需要挖 42 个，故还需要挖 54 个，选(B)24.已知曲线 的一条切线的斜率为 （分数：4.00）A.(A) 6B.(B) 2C.(C) 1D.(D) 3 解析：解析 令25.设 1， 2， 3， 4都是 n 维
21、向量，判断下列命题是否成立 如果 1， 2， 3线性无关， 4不能用 1， 2， 3线性表示，则 1， 2， 3， 4线性无关； 如果 1， 2线性无关， 3， 4都不能用 1， 2线性表示，则 1， 2， 3， 4线性无关； 如果存在 n 阶矩阵 A，使得A 1，A 2，A 3，A 4线性无关，则 1， 2， 3， 4线性无关； 如果 1=A 1， 2=A 2， 3=A 3， 4=A 4，其中 A 可逆， 1， 2， 3， 4线性无关，则 1， 2， 3， 4线性无关；其中成立的为( )（分数：4.00）A.(A) 都成立B.(B) C.(C) D.(D) E.(E) 解析：解析 若 3， 4成比例时命题不正确，选(B)
