1、工程硕士(GCT)数学-25 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)1.（分数：4.00）A.B.C.D.2.设|a+2|1，|b+2|2，则正确的不等式为( )A|a-b|3 B|a-b|2 C|a-b|1 D|a+b|7（分数：4.00）A.B.C.D.3.下面四个图形中的实线部分表示函数 y=1-|x-x2|的图像是( )（分数：4.00）A.B.C.D.4.已知-2x 2+5x+c0 的解为 ，则 c 为( )（分数：4.00）A.B.C.D.5.在 （分数：4.00）A.B.C.D.6.在等差数列 an中，满足 3a4=7a7，且 a10，S n是数列 h。)前 n
2、项的和，若 Sn取得最大值，则 n=( )A7 B8 C9 D10（分数：4.00）A.B.C.D.7.已知 ，那么， =( )（分数：4.00）A.B.C.D.8.已知向量 a=(cos，sin)，向量 （分数：4.00）A.B.C.D.9.（分数：4.00）A.B.C.D.10.如右图所示，半径为 r 的 的圆 ABC 上，分别以 AB 和 BC 为直径作两个半圆，则阴影部分面积 a与阴影部分面积 b 有( )（分数：4.00）A.B.C.D.11.若椭圆 的左右焦点分别为 F1，F 2，线段 F1F2被抛物线 y2=2bx 的焦点分成 5:3 的两段，则此椭圆的离心率为( )（分数：4.
3、00）A.B.C.D.12.棱长均为 4 的正三棱柱 ABCA1B1C1中，M 为 A1B1的中点，则点 M 到 BC 的距离为( )（分数：4.00）A.B.C.D.13.从数 1，2，3，4，5 中随机抽取 3 个数字(允许重复)组成一个三位数，其各位数字之和等于 9 的概率为( )（分数：4.00）A.B.C.D.14.已知两点 A(3，2)和 B(-1，4)到直线 mx+y+3=0 的距离相等，则 m 的值为( )（分数：4.00）A.B.C.D.15.定义域为 R 的函数 y=f(x)的值域为a，b，则函数 y=f(x+a)的值域为( )A2a，a+b B0，b-a Ca，b D-a
4、，a+b（分数：4.00）A.B.C.D.16.设 ，则 （分数：4.00）A.B.C.D.17.设 f(x)有连续导数，且 f(0)=0，f(0)0， （分数：4.00）A.B.C.D.18.设 （分数：4.00）A.B.C.D.19.已知 f(x)的一个原函数为 ln2x，那么xf(x)dx=( )Aln 2x-2lnx B-ln 2x+2lnxC-ln 2x+2lnx+C Dln 2x-2lnx+C（分数：4.00）A.B.C.D.20.设 ，则（分数：4.00）A.B.C.D.21.曲线 y=ex与其过原点的切线及 y 轴所围成图形的面积为( )（分数：4.00）A.B.C.D.22.
5、齐次线性方程组 （分数：4.00）A.B.C.D.23.已知 ，若矩阵 X 满足 AX+2B=BA+2X，则 X4=( )（分数：4.00）A.B.C.D.24.设 1=(1，2，1) T， 2=(2，3，0) T， 3=(1，a+2，-2) T，=(1，3，0) T已知 不能被 1， 2， 3线性表出，则 a=( )A3 B-1 C-3 D1（分数：4.00）A.B.C.D.25.3 阶矩阵 A 的特征值是 1，2，3，A *是 A 的伴随矩阵，那么|A *-E|=( )A12 B10 C9 D8（分数：4.00）A.B.C.D.工程硕士(GCT)数学-25 答案解析(总分：100.00，做
6、题时间：90 分钟)1.（分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 观察分子上单独括号内为：偶数 a(a+3)+2=a2+3a+2=(a+1)(a+2)分母上对应单独括号内位：偶数(a-1)(a+2)+2=a(a+1)即有所以原式=2.设|a+2|1，|b+2|2，则正确的不等式为( )A|a-b|3 B|a-b|2 C|a-b|1 D|a+b|7（分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 因为|a+2|1，|b+2|2，所以-3a-1，-4b0那么 0-b4所以-3a+(-b)3，即-3a-b3 3.下面四个图形中的实线部分表示函数 y=1-|x-x2|的图像是( )（分数：4.00
7、）A.B. C.D.解析：解析 解决本题的关键是去掉绝对值当 x-x20 时，得 0x1函数 y=1-|x-x2|=x2-x+1；当 x-x20 时，得 x1 或 x0，函数 y=1-|x-x2|=-x2+x+1所以图像只能是选项 B4.已知-2x 2+5x+c0 的解为 ，则 c 为( )（分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 因为-2x 2+5x+c0 的解为 所以令-2x 2+5x+c=0，则方程的解为 和 3所以由韦达定理： ，得5.在 （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 在 的展开式中，一般项为令 ，得 r=6所以 x5的系数是6.在等差数列 an中，满足 3a4
8、=7a7，且 a10，S n是数列 h。)前 n 项的和，若 Sn取得最大值，则 n=( )A7 B8 C9 D10（分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 因为 3a4=7a7，所以 3(a1+3d)=7(a1+6d) 即由于 a10，所以 d0解不等式 an0，即 ，解得7.已知 ，那么， =( )（分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 因为 所以解得又因为 所以即 从而得所以8.已知向量 a=(cos，sin)，向量 （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 因为向量 A=(cos，sin)，向量 ，所以则当且仅当9.（分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 1
9、0.如右图所示，半径为 r 的 的圆 ABC 上，分别以 AB 和 BC 为直径作两个半圆，则阴影部分面积 a与阴影部分面积 b 有( )（分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 由题意 ，则有从图中可知，11.若椭圆 的左右焦点分别为 F1，F 2，线段 F1F2被抛物线 y2=2bx 的焦点分成 5:3 的两段，则此椭圆的离心率为( )（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 设椭圆 (ab0)的左右焦点坐标分别为(-c，0)，(c，0)，则抛物线 y2=2bx 的焦点为由题意知又椭圆的离心率为所以12.棱长均为 4 的正三棱柱 ABCA1B1C1中，M 为 A1B1的中点，则
10、点 M 到 BC 的距离为( )（分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 设 MDB 1C1，垂足为 D；则 MD=2sin60= 在正方形 BCB1C1中作 DEBC，垂足为 E，连接 ME因为 B1C1分别垂直于 MD，DE，所以 B1C1垂直于面 MDE，即 B1C1ME又 BCB 1C1，所以 MEBC，即|ME|为所求距离，且MDE 为直角三角形，所以13.从数 1，2，3，4，5 中随机抽取 3 个数字(允许重复)组成一个三位数，其各位数字之和等于 9 的概率为( )（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 从数 1，2，3，4，5 中随机抽取 3 个数字共有 53=1
11、25 种抽取方法从这五个数中抽取三个数，组成的三位数各位数字之和等于 9 的有以下情况：三个数互不相同：1，3，5 或 2，3，4，有 种抽法；有 2 个数相同：2，2，5 或 4，4，1，有种抽法；有三个数相同：3，3，3 只有一种抽法所以概率14.已知两点 A(3，2)和 B(-1，4)到直线 mx+y+3=0 的距离相等，则 m 的值为( )（分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 由两点 A(3，2)和 B(-1，4)到直线 mx+y+3=0 的距离相等，有 解得 m=-6 或15.定义域为 R 的函数 y=f(x)的值域为a，b，则函数 y=f(x+a)的值域为( )A2a，a
12、+b B0，b-a Ca，b D-a，a+b（分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 因为函数 y=f(x+a)只是将函数 y=f(x)向左平移了 a 个单位，但其值域不会发生变化，所以函数 y=f(x+a)的值域为a，b故选 C16.设 ，则 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 设 ，则 y=f2(u)当 x=0 时，所以17.设 f(x)有连续导数，且 f(0)=0，f(0)0， （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 因为所以若当 x0 时，F(x)与 xk是同阶无穷小量，则 (d0，d 为常数)所以有18.设 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 当
13、 x0 时，所以上式=19.已知 f(x)的一个原函数为 ln2x，那么xf(x)dx=( )Aln 2x-2lnx B-ln 2x+2lnxC-ln 2x+2lnx+C Dln 2x-2lnx+C（分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 由题意知20.设 ，则（分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 因为所以21.曲线 y=ex与其过原点的切线及 y 轴所围成图形的面积为( )（分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 设切点坐标为(x 0，y 0)，如右图所示，则切线方程为 y-y0=(ex)|x=x0(x-x0)，即 将(0，0)点代入切线方程中，得 x0=1因此，所求切
14、线方程为 y=ex从而所求图形的面积为22.齐次线性方程组 （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 因为 AB=0，所以|AB|=0 |A|B|=0 即|A|=0 或|B|=0从而排除 B、D又 ，所以在 A、C 中， 的值能满足|A|=0 即可=-1 代入|A|，得=3 代入|A|，得23.已知 ，若矩阵 X 满足 AX+2B=BA+2X，则 X4=( )（分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 因为 AX+2B=BA+2X，所以 AX-2X=BA-2B (A 一 2E)X=B(A-2E)由于所以矩阵 A-2E 可逆(A-2E)-1(A-2E)X=(A-2E)-1B(A-2E)
15、X=(A-2E)-1B(A-2E)所以 X2=(A-2E)-1B(A-2E)(A-2E)-1B(A-2E)=(A-2E)-1B2(A-2E)X4=(A-2E)-1B4(A-2E)求得所以 =24.设 1=(1，2，1) T， 2=(2，3，0) T， 3=(1，a+2，-2) T，=(1，3，0) T已知 不能被 1， 2， 3线性表出，则 a=( )A3 B-1 C-3 D1（分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 因为 不能被 1， 2， 3线性表出，所以不存在数 x1，x 2，x 3使=x 1 1+x2 2+x33 3成立，即线性方程组 无解所以当 a=-1 时， 此时 r(A)=2，25.3 阶矩阵 A 的特征值是 1，2，3，A *是 A 的伴随矩阵，那么|A *-E|=( )A12 B10 C9 D8（分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 若矩阵 A 的特征值是 (0)，则 A-1的特征值为 ，A *的特征值为 ，A *-E 的特征值则为 ，因为|A|= 1 2 3=123=6所以
