1、经济类专业学位联考综合能力数学基础（线性代数）-试卷 1及答案解析(总分：76.00，做题时间：90 分钟)一、逻辑推理(总题数：41，分数：76.00)1.单项选择题_2.下列各项中，为某五阶行列式中带有正号的项是( )。（分数：2.00）A.a 13 a 44 a 32 a 41 a 55B.a 21 a 15 a 32 a 41 a 54C.a 31 a 25 a 43 a 14 a 52D.a 15 a 31 a 22 a 44 a 533.设 A是 3阶方阵，且|A|=2，则|AA|等于( )。（分数：2.00）A.4B.一 4C.16D.一 164.齐次方程组 （分数：2.00）A
2、.=一 2，且|B|=0B.=一 2且|B|0C.=1，且|B|=0D.=1 且|B|05.设 A是 mn矩阵，B 是 nm矩阵，则( )。（分数：2.00）A.当 mn 时，必有行列式|AB|0。B.当 mn 时，必有行列式|AB|=0。C.当 nm 时，必有行列式|AB|0。D.当 nm 时，必有行列式|AB|=0。6.设矩阵 A是 n阶的，经过若干次初等变换得到矩阵 B，则必有( )。（分数：2.00）A.|A|=|B|B.|A|B|C.若|A|0，则|B|0D.若|A|=0，则|B|=07.若 1 ， 2 ， 3 ， 1 ， 2 都是 4维列向量，且 4阶行列式| 1 ， 2 ， 3
3、， 1 |=m，| 1 ， 2 ， 2 ， 3 |=n，则 4阶行列式| 3 ， 2 ， 1 ， 1 + 2 |=( )。（分数：2.00）A.m+nB.一(m+n)C.nmD.mn8.设 f(x)= （分数：2.00）A.1B.2C.3D.49.是 A=(a ij ) 33 ，满足 A*=A T ，其中 A*为 A的伴随矩阵，A T 是 A的转置矩阵，如果 a 11 ,a 12 ，a 13 为三个相等的正数，则 a 11 为( )。 （分数：2.00）A.B.C.D.10.行列式 （分数：2.00）A.1000B.-1000C.2000D.一 200011.设 A是 m阶矩阵，B 是 n阶矩
4、阵，且|A|=a，|B|=b，若 M= （分数：2.00）A.一 3abB.3 m abC.(一 1) mn 3 m abD.(一 1) (m+1)n 3 m ab12.关于命题“方阵 A满足 A 2 =A，且 AE，则 A不可逆”有如下四种证明，正确的是( )。（分数：2.00）A.由于 A 2 =A，所以|A| 2 =|A|，故|A|(|A|一 1)=0因为 AE，故|A|1因此|A|=0，A 不可逆B.由于 A 2 =A，故 A(AE)=0，因为 AE，所以因为 A=0，所以 A不可逆C.反证法：若 A可逆，在 A 2 =A两边左乘 A -1 ，得 A=E，与假设条件 AE 矛盾，所以
5、A不可逆D.由于 A 2 =A，故 A(AE)=0从而|A|AE|=0，因为 AE，所以因为|AE|0，因此因为|A|=0，A不可逆13.已知 3阶矩阵 A可逆，将 A的第 2列与第 3列交换得 B，再把 B的第 1列的一 2倍加到第 3列得到 C，则满足 PA -1 =C -1 的矩阵 P为( )。 （分数：2.00）A.B.C.D.14.设 A，P 都是三阶方阵，P T 为 P的转置矩阵，且 P T AP= 若 P=( 1 ， 2 ， 3 )，Q=( 1 + 2 ， 2 ， 3 )，则 Q T AQ为( )。 （分数：2.00）A.B.C.D.15.填空题_16.设矩阵 （分数：2.00）
6、填空项 1:_17.设 n阶矩阵 A= （分数：2.00）填空项 1:_18.已知 A是 3阶矩阵， 1 ， 2 ， 3 是 3维线性无关的列向量，如果 A 1 = 1 + 2 ，A 2 = 2 + 3 ，A 3 = 1 + 3 ，则行列式|A|= 1。（分数：2.00）填空项 1:_19.设 A，B 均为 n阶矩阵，|A|=2，|B|=一 3，则|2A -1 B*|= 1；|A -1 B*一 A*B -1 |= 2。（分数：2.00）填空项 1:_20.设 （分数：2.00）填空项 1:_21.若 （分数：2.00）填空项 1:_22.若 4阶矩阵 A与 B相似，矩阵 A的特征值为 （分数：
7、2.00）填空项 1:_23.设矩阵 （分数：2.00）填空项 1:_24.设 ， 均为 3维列向量， T 是 的转置矩阵，如果 （分数：2.00）填空项 1:_25.试完成下列各小题 (1)已知三角矩阵 A的逆矩阵为 A -1 = 则 A的伴随矩阵 A*的逆矩阵为 1。 (2)设 A= （分数：2.00）填空项 1:_26.计算题_27.已知 a 23 a 31 a ij a 64 a 56 a 15 是 6阶行列式中的一项，试确定 i，j 的值，然后确定该项所带的符号为正还是为负（分数：2.00）_28.设行列式 （分数：2.00）_29.已知 A= （分数：2.00）_30.设 A为 n
8、阶非零矩阵，A*是 A的伴随矩阵，A T 是 A的转置矩阵，当 A*=A T 时，证明|A|0。（分数：2.00）_31.试计算下列行列式 （分数：2.00）_32.已知 D= （分数：2.00）_33.已知 是 n维列向量，且 T =1，如果 A=E一 T ，证明：|A|=0。（分数：2.00）_34.设 n元线性方程组 Ax=b，其中 （分数：2.00）_35.设 F(x)= （分数：2.00）_36.设 A= （分数：2.00）_37.已知 A是 1 , 2 阶对称矩阵，B 是 （分数：2.00）_38.已知 （分数：2.00）_39.求 A= （分数：2.00）_40.已知 A是 n阶
9、对称矩阵，且 A可逆，如(AB) 2 =E，化简 (E+A -1 B T ) T (E一 BA -1 ) -1 。（分数：2.00）_41.设 B= （分数：2.00）_经济类专业学位联考综合能力数学基础（线性代数）-试卷 1答案解析(总分：76.00，做题时间：90 分钟)一、逻辑推理(总题数：41，分数：76.00)1.单项选择题_解析：2.下列各项中，为某五阶行列式中带有正号的项是( )。（分数：2.00）A.a 13 a 44 a 32 a 41 a 55B.a 21 a 15 a 32 a 41 a 54C.a 31 a 25 a 43 a 14 a 52D.a 15 a 31 a
10、22 a 44 a 53 解析：3.设 A是 3阶方阵，且|A|=2，则|AA|等于( )。（分数：2.00）A.4B.一 4C.16D.一 16 解析：4.齐次方程组 （分数：2.00）A.=一 2，且|B|=0B.=一 2且|B|0C.=1，且|B|=0 D.=1 且|B|0解析：5.设 A是 mn矩阵，B 是 nm矩阵，则( )。（分数：2.00）A.当 mn 时，必有行列式|AB|0。B.当 mn 时，必有行列式|AB|=0。 C.当 nm 时，必有行列式|AB|0。D.当 nm 时，必有行列式|AB|=0。解析：6.设矩阵 A是 n阶的，经过若干次初等变换得到矩阵 B，则必有( )。
11、（分数：2.00）A.|A|=|B|B.|A|B|C.若|A|0，则|B|0D.若|A|=0，则|B|=0 解析：7.若 1 ， 2 ， 3 ， 1 ， 2 都是 4维列向量，且 4阶行列式| 1 ， 2 ， 3 ， 1 |=m，| 1 ， 2 ， 2 ， 3 |=n，则 4阶行列式| 3 ， 2 ， 1 ， 1 + 2 |=( )。（分数：2.00）A.m+nB.一(m+n)C.nm D.mn解析：8.设 f(x)= （分数：2.00）A.1B.2 C.3D.4解析：9.是 A=(a ij ) 33 ，满足 A*=A T ，其中 A*为 A的伴随矩阵，A T 是 A的转置矩阵，如果 a 11
12、 ,a 12 ，a 13 为三个相等的正数，则 a 11 为( )。 （分数：2.00）A. B.C.D.解析：10.行列式 （分数：2.00）A.1000B.-1000C.2000 D.一 2000解析：11.设 A是 m阶矩阵，B 是 n阶矩阵，且|A|=a，|B|=b，若 M= （分数：2.00）A.一 3abB.3 m abC.(一 1) mn 3 m abD.(一 1) (m+1)n 3 m ab 解析：12.关于命题“方阵 A满足 A 2 =A，且 AE，则 A不可逆”有如下四种证明，正确的是( )。（分数：2.00）A.由于 A 2 =A，所以|A| 2 =|A|，故|A|(|A
13、|一 1)=0因为 AE，故|A|1因此|A|=0，A 不可逆B.由于 A 2 =A，故 A(AE)=0，因为 AE，所以因为 A=0，所以 A不可逆C.反证法：若 A可逆，在 A 2 =A两边左乘 A -1 ，得 A=E，与假设条件 AE 矛盾，所以 A不可逆 D.由于 A 2 =A，故 A(AE)=0从而|A|AE|=0，因为 AE，所以因为|AE|0，因此因为|A|=0，A不可逆解析：解析：选项(A)中错误的认为 AE，则|A|1因为在实际中，矩阵可以不等，但是行列式是可以相等的。故(A)错误。 选项(B)中由 AE，推出 A=0，这是一种严重的错误，矩阵的运算并没有像数量运算那些特征。
14、 选项(C)是正确的。 选项(D)中 AE，推出|AE|0，这也是一种常见的错误。13.已知 3阶矩阵 A可逆，将 A的第 2列与第 3列交换得 B，再把 B的第 1列的一 2倍加到第 3列得到 C，则满足 PA -1 =C -1 的矩阵 P为( )。 （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：根据题中要求我们可以得出 则可以推出：14.设 A，P 都是三阶方阵，P T 为 P的转置矩阵，且 P T AP= 若 P=( 1 ， 2 ， 3 )，Q=( 1 + 2 ， 2 ， 3 )，则 Q T AQ为( )。 （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：Q=( 1 + 2 ， 2 ，
15、 3 )=( 1 ， 2 ， 3 ) 记作 Q=PB，因此 Q T =B T P T ，故 Q T AQ=B T P T APB=B T (P T AP)B= 15.填空题_解析：16.设矩阵 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：因为 AA*=A*A=|A|E，而|A|=3，将原矩阵方程两端右乘 A，有 3AB=6B+A，3(A 一 2E)B=A，3 3 |A一 2E|B|=|A| 17.设 n阶矩阵 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由于矩阵 A具有多行(列)加起来是同一个常数这个特征，故我们可以将各列都加到第
16、n列，再利用行列式的性质进行计算。18.已知 A是 3阶矩阵， 1 ， 2 ， 3 是 3维线性无关的列向量，如果 A 1 = 1 + 2 ，A 2 = 2 + 3 ，A 3 = 1 + 3 ，则行列式|A|= 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：19.设 A，B 均为 n阶矩阵，|A|=2，|B|=一 3，则|2A -1 B*|= 1；|A -1 B*一 A*B -1 |= 2。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：(一 1) n-1 6 n-1 ， ）解析：20.设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：a=5）解析：2
17、1.若 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：22.若 4阶矩阵 A与 B相似，矩阵 A的特征值为 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：24）解析：23.设矩阵 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：3）解析：解析：由于 24.设 ， 均为 3维列向量， T 是 的转置矩阵，如果 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：5）解析：解析：设 =( 1 ， 2 ， 3 ) T ，=(b 1 ，b 2 ，b 3 ) T ，则 而 T =(a 1 ，a 2 ，a 3 ) 25.试完成下列各小题 (1)已知三角矩阵 A的逆
18、矩阵为 A -1 = 则 A的伴随矩阵 A*的逆矩阵为 1。 (2)设 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：(1)由 AA*=|A|E，知 A*=|A|A -1 ,(A*) -1 = 26.计算题_解析：27.已知 a 23 a 31 a ij a 64 a 56 a 15 是 6阶行列式中的一项，试确定 i，j 的值，然后确定该项所带的符号为正还是为负（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 由于在行列式的计算中，是不同行不同列相乘再加总而得到行列式的值的，由此可知该题中 i=4，j=2。 关于所带的符号，我们可以根据得出的逆系数的奇偶性来判断。由
19、于逆系数是把该项中的行指标或逆指标固定，而计算另外一组下表的奇偶数来分析的。本题中我们将行标按顺序排列固定得到： a 15 a 23 a 31 a 42 a 56 a 64 则其列下表的数字依次为 5，3，1，2，6，4，逆系数=4+2+0+0+1=7 即为奇数，从而该项前的符号应为负的。)解析：28.设行列式 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：16 80)解析：29.已知 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：|EA|=0 )解析：30.设 A为 n阶非零矩阵，A*是 A的伴随矩阵，A T 是 A的转置矩阵，当 A*=A T 时，证明|A|0。（分数：2.00）_正确答案：
20、(正确答案：由于 A*=A T ，根据 A*的定义有 A ij =a ij ( )解析：31.试计算下列行列式 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)一 9 (2)从第 1行开始，依次把每行加至下一行，得 )解析：32.已知 D= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：将第 3行的一 1倍加至第 1行，有 )解析：33.已知 是 n维列向量，且 T =1，如果 A=E一 T ，证明：|A|=0。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 A=E 一 T = 一 =0， 所以 是齐次方程组 Ax=0的非零解， 故|A|=0)解析：34.设 n元线性方程组 Ax=b，其中 （分数
21、：2.00）_正确答案：(正确答案：记 n阶行列式|A|的值为 D n 。 当 n=1时，D 1 =2a，命题正确； 当 n=2时， =3a 2 ,命题正确 当 n=k时，按第一列展开，则有 )解析：35.设 F(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)1 (2)一(a 11 +a 22 +a 33 +a 44 ) )解析：36.设 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：37.已知 A是 1 , 2 阶对称矩阵，B 是 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 A= )解析：38.已知 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：39.求 A=
22、 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：用伴随矩阵得 )解析：40.已知 A是 n阶对称矩阵，且 A可逆，如(AB) 2 =E，化简 (E+A -1 B T ) T (E一 BA -1 ) -1 。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：原式=E T +(A -1 B T ) T AA -1 一 BA -1 -1 =E+B(A -1 ) T (A一 B)A -1 -1 =E+B(A T ) -1 A(AB) -1 =(E+BA -1 )A(A-B)=(A+B)(A一 B)。)解析：41.设 B= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：X(EC -1 B) T C T =XC(EC -1 B) T =X(C一 B) T =E 即 X=X(C一 B) T (CB) T -1 =E(C一 B) T -1 =(CB) T -1 )解析：
